A study of the solvability of the Bingham alpha model

Full Text

1. Постановка задачи Движение однородной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью в ограниченной области Ω ⊂ Rn, n = 2,3, на отрезке времени [0,T], T > 0, определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши (см., например, [2]): div v(t,x) = 0, t ∈ [0,T], x ∈ Ω, (1.1) где v(t,x) - неизвестная вектор-функция скорости движения частицы жидкости, p(t,x) - неизвестная функция давления, f(t,x) -заданная плотность внешних сил,- неизвестный девиатор тензора напряжений. Для корректной постановки эту систему дополняют реологическим (определяющим) соотношением, которое указывает тип изучаемой жидкости. В данной работе рассматриваются вязкопластические жидкости. Главная особенность вязкопластических жидкостей проявляется в задержке начала течения до тех пор, пока действующие напряжения τ не превысят некоторую величину τ∗, называемую пределом текучести, или начальным напряжением сдвига. При τ > τ∗ структура жидкости разрушается, а при обратном снижении напряжения τ τ∗ - восстанавливается. Этот процесс происходит достаточно быстро. Примером вязкопластических жидкостей служат концентрированные суспензии [25]. Наличие у вязкопластических жидкостей предела текучести дало им второе название, широко используемое а английской литературе, - yield-stress liquids [28]. © А.В. Звягин, Н.В. Толстой, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 604 Заметим, что в 1890 г. профессор Новороссийского университета Федор Никифорович Шведов первым обнаружил отклонение свойств растворов желатина от теории Ньютона и для объяснения полученных результатов ввел понятие пластичности [24]. За рубежом этот тип жидкостей ассоциируется с именем Бингама, предложившим в 1922 г. для описания течения красок понятие предела текучести [16]. Реологическое соотношение для таких моделей имеет следующий вид: σ = ⎨ |E(v)|, если, (1.2) если |E(v)| = 0, где-тензор скорости деформации,- коэффициент вязкости среды. Изучение таких математических моделей было начато достаточно давно (см., например, [10, 12, 19, 27]). В данной работе для системы уравнений (1.1), (1.2) изучается альфа-модель. Альфа-модели представляют собой своего рода регуляризованные приближенные системы, которые зависят от некоторого положительного параметра α, причем регуляризация осуществляется путем некоторой фильтрации вектора скорости, который стоит в аргументе нелинейного члена (см. [8, 20]). Интерес к изучению альфа-моделей в первую очередь связан с их применением к исследованию эффектов турбулентности для потоков жидкости, а также с лучшими по сравнению с исходными моделями численными результатами. Отметим, что при изучении турбулентного потока жидкости одной из определяющих характеристик является большой диапазон пространственных и временных масштабов. Это характерное свойство является источником затруднений, как в теоретических исследованиях, так и в вычислениях на практике. Более того, во многих практических приложениях физически значимые характеристики потока часто сосредоточены на больших масштабах по пространству, как это видно, например, при численном гидродинамическом прогнозировании погоды. В связи с этим было приложено немало усилий для моделирования крупномасштабной динамики турбулентного течения путем фильтрации более мелких масштабов. Как правило, такая фильтрация происходит за счет применения обратного оператора Гельмгольца к первому или второму аргументу билинейного оператора системы уравнений движения среды (или ко всему оператору). Параметр альфа имеет размерность квадрата длины и определяет масштаб, при котором высокочастотные (по пространству) моды будут отфильтровываться. Соответствующие регуляризованные системы принято называть альфа-моделями. При этом в теоретических исследованиях идея использования такого рода аппроксимаций впервые возникла в работе Ж. Лере [21] (в данной работе Ж. Лере использовал общий вид ядра фильтрации) для доказательства существования слабого решения системы уравнений Навье- Стокса. Позднее на этой идее были построены различные альфа-модели для уравнений Эйлера [17, 18], Навье-Стокса [6, 15], Лере [3, 4], Джеффриса-Олдройда [23], дробного Фойгта [5, 7] и др. Данная работа продолжает изучение альфа-моделей и рассматривает разрешимость следующей начально-краевой задачи для альфа-модели движения жидкости Бингама: (1.3) , если, (1.4) если |E(v)| = 0, u = (I - α2Δ)-1v, (1.5) div v = 0, (1.6) v|∂Ω = 0, v|t=0 = v0. (1.7) В работе рассматривается задача (1.3)-(1.7) с периодическим условием по пространственной переменной, которую в дальнейшем будем называть периодической (по пространственной переменной) начально-краевой задачей для альфа-модели Бингама. Для формулировки основного результата сначала введем необходимые функциональные пространства и дадим определение слабого решения изучаемой начально-краевой задачи (1.3)-(1.7). 2. Определение слабого решения Введем необходимые обозначения. Пусть . Через обозначим пространство периодических вектор-функций со значениями в Rn и с периодами i = 1,...,n. Введем множество . Через V 1 обозначим замыкание Φ по норме W21(Ω), V 2 -замыкание Φ по норме W22(Ω). Через V 0 обозначим замыкание Φ по норме L2(Ω). Через V -1 обозначим сопряженное к V 1 пространство. Обозначим через D(A) = V 2 и рассмотрим на D(A) оператор A : Av = -πΔv, где π - проектор Лере, π : L2(Ω) → V 0, v ∈ D(A). Оператор A - монотонный линейный самосопряженный оператор, и для каждого β ∈ R можно определить Aβ с областью определения D(Aβ) ⊂ V 0 (см. [11]). Обозначим V β = D(Aβ/2). Можно показать, что оператор A является изоморфизмом из V β+2 в V β. Подробное определение пространств, а также их свойства можно найти в [11]. Одним из основных функциональных пространств является пространство с нормой Обозначим через , оператор Δα = (J + α2A), где J = πI, I - тождественный оператор. В силу [11, лемма 4.4.4] оператор Δα обратим. Применим проектор Лере π : L2(Ω) → V 0 к обеим частям равенства v = (I - α2Δ)u для β = 3 и выразим из последнего равенства u: u = (J + α2A)-1v = Δ-α1v. Так как v(t) ∈ V 1, получим, что u(t) ∈ V 3 при п.в. t ∈ [0,T]. Пусть f ∈ L2(0,T;V -1) и v0 ∈ V 1. Дадим определение слабого решения рассматриваемой задачи. Определение 2.1. Пара функций (v,σ) ∈ W1 × L2(0,T;L2(Ω)) называется слабым решением начально-краевой задачи (1.3)-(1.7) для альфа-модели Бингама, если для всех ϕ ∈ V 1 и почти всех t ∈ (0,T) она удовлетворяет равенству (2.1) а также реологическому соотношению (1.4) и начальному условию v|t=0 = v0. Здесь символ «:» для двух матриц A = (aij), B = (bij) обозначает. Основным результатом работы являются следующие теоремы: Теорема 2.1. Пусть f ∈ L2(0,T;V -1) и v0 ∈ V 1. Тогда начально-краевая задача (1.3)-(1.7) имеет хотя бы одно слабое решение (v,σ) ∈ W1 × L2(0,T;L2(Ω)). Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Кроме того, если рассмотреть семейство альфа-моделей (1.3)-(1.7), зависящих от параметра αm, то существует последовательность решений vm этого семейства, которая при стремлении αm к нулю сходится к слабому решению исходной начально-краевой задачи (см. определение (7.1)). Для доказательства разрешимости рассматриваемой начально-краевой задачи (1.3)-(1.7) будет использоваться аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики (см. [9]). Для этого вводится семейство вспомогательных задач (раздел 3), зависящих от малого параметра, доказываются априорные оценки решений (раздел 4) и на основе теории топологической степени Лере-Шаудера для вполне непрерывных векторных полей доказывается существование слабых решений вспомогательной задачи (раздел 5). Далее, для доказательства разрешимости исследуемой альфа-модели на основе необходимых оценок устанавливается предельный переход (раздел 6). В заключение показывается, что последовательность решений исследуемой альфа-модели сходится к решению исходной модели (раздел 7). 3. Аппроксимационная задача «Приблизим» реологическое соотношение модели Бингама (1.4) следующим неньютоновским соотношением: . При такой аппроксимации реологического соотношения (1.4) мы можем исключить в постановке задачи неизвестную σ и рассматривать задачу только о нахождении скорости v. При этом также аппроксимируем интегральное равенство (2.1), добавив в него слагаемое Таким образом, для доказательства разрешимости исходной начально-краевой задачи исследуется следующая аппроксимационная задача (для фиксированного δ > 0): Задача 3.1. Найти функцию , удовлетворяющую для любого ϕ ∈ V 2 и почти всех t ∈ (0,T) соотношению и начальному условию v(0) = v0. Перепишем аппроксимационную задачу в операторном виде. Для этого введем следующие операторы: ; ; ; Заметим, что аппроксимационную задачу 3.1 можно записать в виде операторного уравнения: - (3.1) решение которого должно удовлетворять начальному условию v(0) = v0. Рассмотрим свойства операторов из уравнения (3.1). Отметим, что для исследуемых операторов можно доказать и более сильные результаты, чем приведенные ниже, но мы приводим только те, которые будут в дальнейшем использоваться. Для удобства через C мы будем обозначать константы, конкретное значение которых для нас не важно. Если важен точный вид константы, то она будет выписываться в явном виде. Лемма 3.1. Для оператора А имеют место следующие свойства: 1. Для любой функции v ∈ L2(0,T;V 1) функция Av принадлежит L2(0,T;V -1), оператор A : L2(0,T;V 1) → L2(0,T;V -1) непрерывен и имеет место оценка . (3.2) 2. Для любой функции v ∈ W2 функция Av принадлежит L2(0,T;V -1), кроме того, оператор A : W2 → L2(0,T;V -2) вполне непрерывен. Доказательство данной леммы см. в [11]. Лемма 3.2. Для оператора K имеют место следующие свойства: 1. Отображение K : L4(Ω) → V -1 непрерывно, и для него имеет место оценка . (3.3) 2. Для любого v ∈ L4(0,T;L4(Ω)) функция K(v) принадлежит L2(0,T;V -1), и отображение K : L4(0,T;L4(Ω)) → L2(0,T;V -1) непрерывно. 3. Для любой функции v ∈ W2 функция K(v) принадлежит L2(0,T;V -2), отображение K : W2 → L2(0,T;V -2) является вполне непрерывным, и для него имеет место оценка . (3.4) Доказательство. 1. Для любых v ∈ L4(Ω), ϕ ∈ V 1, используя неравенство Гельдера, мы получим 1/2 , откуда следует неравенство (3.3). Отметим, что здесь мы воспользовались следующей известной оценкой (см. [1, 14]): - . (3.5) Покажем непрерывность отображения K : L4(Ω) → V -1. Для произвольных vm,v0 ∈ L4(Ω) имеем: , откуда следует, что . Вновь используя неравенство (3.5), преобразуем правую часть последнего неравенства: Таким образом, . (3.6) Полагая vm → v0 в L4(Ω), получаем непрерывность отображения K : L4(Ω) → V -1. 2. Пусть v ∈ L4(0,T;L4(Ω)). В силу оценки (3.3) при почти всех t ∈ (0,T) имеем . Возведем это неравенство в квадрат, проинтегрируем по t от 0 до T и оценим правую часть сверху: . Поскольку правая часть последнего неравенства конечна, то конечна и левая часть. Таким образом, для v ∈ L4(0,T;L4(Ω)) мы имеем, что K(v) ∈ L2(0,T;V -1). Переходим теперь к доказательству непрерывности отображения K : L4(0,T;L4(Ω)) → L2(0,T;V -1). Пусть последовательность {vm} ⊂ L4(0,T;L4(Ω) сходится к некоторому пределу v0 ∈ L4(0,T;L4(Ω)). Из неравенства (3.6) получим, что при почти всех t ∈ (0,T) имеет место оценка . Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по t от 0 до T. Воспользовавшись неравенством Гельдера, получим: . Заметим, что Имеем в итоге . Так как правая часть неравенства стремится к нулю при m → +∞, то стремится к нулю и левая часть. А это и значит, что отображение K : L4(0,T;L4(Ω)) → L2(0,T;V -1) непрерывно. 3. Для доказательства нам потребуется следующий результат (см. [13]): Теорема 3.1. Пусть V,H,V ∗ - тройка гильбертовых пространств, таких что V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗. Здесь вложения непрерывны, H∗ и V ∗ - сопряженные пространства, пространства H и H∗ отождествлены по теореме Рисса. Если функция v принадлежит пространству L2(0,T;V ), а ее производная v принадлежит L2(0,T;V ∗), то функция v почти всюду равна некоторой непрерывной функции из [0,T] в H (то есть функции из C([0,T],H)). В силу данной леммы каждая функция v ∈ W2 принадлежит C([0,T];V 0). Поэтому каждая функция изметим, что имеет место вложение (см., например, [22]):W2 принадлежит не только L2(0,T;V 2), но иL2(0L,T2(0;V,T2;)V∩2L)∞∩(0L,T∞(0;V,T0);V⊂0L).4(0Далее за-,T;V 1). Таким образом, для пространства W2 имеет место вложение: . Опять воспользуемся следующим результатом из [13]: Теорема 3.2. Пусть X0,F,X1 - тройка банаховых пространств, удовлетворяющих условию X0 ⊂ F ⊂ X1. Здесь вложения непрерывны, пространства X0,X1 - рефлексивны, вложение X0 → F - компактно. Пусть T > 0 - фиксированное число и α0,α1 - два конечных числа, таких что αi > 1, i = 0,1. Предположим, что пространство с нормой . Тогда вложение пространства Y в пространство Lα0(0,T;X0) компактно. В силу последней теоремы имеет место компактное вложение: Y → L4(0,T;L4(Ω)). Таким образом, действие отображения K можно представить следующим образом: ⊂ → -K→ 1) ⊂ L2(0,T;V -2). W2 Y L4(0,T;L4(Ω)) L2(0,T;V - Здесь первое и последнее вложения непрерывны, второе вложение вполне непрерывно, и отображение K : L4(0,T;L4(Ω)) → L2(0,T;V -1) непрерывно в силу пункта 2 леммы 3.2. Таким образом, отображение K : W2 → L2(0,T;V -1) вполне непрерывно. Оценим теперь . Имеем: , откуда для любой функции v ∈ W2 при почти всех t ∈ (0,T) имеет место оценка: . Возводя это неравенство в квадрат и интегрируя полученное неравенство по отрезку [0,T], получим: , откуда следует требуемое неравенство (3.4). Лемма 3.3. Для оператора Bδ имеют место следующие свойства: 1. Для любой функции v ∈ L2(0,T;V 1) функция Bδ(v) принадлежит L2(0,T;V -2), оператор Bδ : L2(0,T;V 1) → L2(0,T;V -2) непрерывен, и имеет место оценка (3.7) где C - константа, не зависящая от функция v и δ. 2. Для любой функции v ∈ W2 функция Bδ(v) принадлежит L2(0,T;V -2), и оператор Bδ : W2 → L2(0,T;V -2) вполне непрерывен. Доказательство. 1. Для любой функции v ∈ L2(0,T;V 1) при любом ϕ ∈ V 2 при почти всех t ∈ (0,T) имеем . Здесь мы воспользовались неравенством. Следовательно, при почти всех t ∈ (0,T) имеет место неравенство Возводя последнее неравенство в квадрат и интегрируя по t от 0 до T, мы и получим, что B(v) ∈ L2(0,T;V -2) и имеет место требуемая оценка (3.7). Докажем непрерывность оператора Bδ : L2(0,T;V 1) → L2(0,T;V -2). Пусть последовательность vn сходится к некоторой функции v0 в L2(0,T;V 1). Тогда при почти всех t ∈ (0,T) для произвольного ϕ ∈ V 2 получим: . Отсюда в силу произвольности ϕ получаем, что . Возведя в квадрат и проинтегрировав, получим: . То есть 2. Аналогично доказательству пункта 3 леммы 3.2 имеем компактное вложение W2 ⊂ Y ⊂ L2(0,T;V 1). Тогда действие оператора Bδ : W2 → L2(0,T;V -2) можно представить в виде следующей композиции: W2 ⊂ Y ⊂ L2(0,T;V 1) --B→δ L2(0,T;V -2). Здесь первое вложение непрерывно, второе вложение компактно, а отображение Bδ в силу первого пункта теоремы непрерывно. Таким образом, отображение Bδ : W2 → L2(0,T;V -2) непрерывно как суперпозиция непрерывного и вполне непрерывного отображения. Введем также операторы L и N с помощью равенств , Лемма 3.4. Операторы L и N имеют следующие свойства: 1. оператор L : W2 → L2(0,T;V -2) × V 1 непрерывно обратим; 2. оператор N : W2 → L2(0,T;V -2) × V 1 компактен. Доказательство. 1. Непрерывная обратимость оператора следует из приведенной ниже теоремы о разрешимости абстрактной параболической задачи. Теорема 3.3. Для любой правой части f ∈ L2(0,T;V -1) и начального условия v0 ∈ V 1 задача имеет единственное решение v в пространстве , непрерывно зависящее от f и v0. Для решения также имеет место оценка . (3.8) Доказательство этой теоремы проводится на основе аппроксимационно-топологического подхода к исследованию задач гидродинамики (см. [9]). Сначала рассматриваемая задача аппроксимируется (в уравнение добавляется член) и доказывается существование решения приближенного уравнения в пространстве. Затем на основе априорных оценок решений, не зависящих от ε, показывается, что из последовательности решений можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся слабо к решению исходной задачи при ε → 0. Единственность решения получается на основе неравенства Гронуола-Беллмана. Полное изложение доказательства здесь не приводится в силу своего объема. 2. Компактность оператора N : W2 → L2(0,T;V -2) × V 1 непосредственно вытекает из компактности его первой компоненты (каждое слагаемое компактно). 4. Априорные оценки Помимо вспомогательной задачи 3.1, рассмотрим семейство операторных уравнений - , (4.1) решение которых удовлетворяет начальному условию v(0) = λv0. Заметим, что при λ = 1 задача (4.1) совпадает с (3.1). Тогда задача (4.1) с начальным условием v(0) = λv0 может быть переписана в виде v = λL-1((f,v0) - N(v)), где λ ∈ [0, 1]. (4.2) Теорема 4.1. Для решения v ∈ W2 семейства (4.2) имеют место следующие оценки: (4.3) , (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) Доказательство. Пусть v ∈ W2 - решение (4.2). Тогда в силу приведенных выше рассуждений v является решением (4.1) и удовлетворяет начальному условию v(0) = λv0. Применим обе части (4.1) к функции v ∈ W2. Имеем . Вспоминая определения операторов, получаем следующее равенство: Преобразуем слагаемые в последнем равенстве: ; ; ; Таким образом, получим: . Воспользуемся в правой части неравенствами Юнга и Коши: . Заметим, что . Тогда получаем оценку . Проинтегрировав последнее неравенство от 0 до t ∈ [0,T], получим следующую оценку: , которую можно переписать в виде: . Так как каждое слагаемое в левой части последнего неравенства неотрицательно, то получаем следующие оценки: ; Правые части этих неравенств не зависят от t, поэтому можно перейти к max по t ∈ [0,T] в левой части: esssupt∈[0,T]; . Отсюда следуют требуемые неравенства (4.3) и (4.4). Теперь применим к уравнению (4.1) пробную функцию Av. Получим: Преобразуем и оценим слагаемые в последнем равенстве: ; ; ; Отсюда в силу непрерывности вложения W11(Ω) ⊂ L3/2(Ω) получаем: . Далее рассмотрим следующее слагаемое: Дифференцируя функцию E{ij(|Ev) |} как сложную функцию от E(v) (суперпозицию функmax δ, (v) ции и функции g(v) = E(v)), получим: Рассмотрим два случая. Первый случай: Второй случай . В итоге получим: . Таким образом, получаем оценку ; (4.8) Разделим это неравенство на . Получим: . Так как , то полученное неравенство можно переписать в виде: . Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до T: . Воспользуемся тем, что и Получим неравенство (4.9) где. Теперь выберем r, p, q так, чтобы:. По интерполяционному неравенству и неравенству Гельдера получаем: . Рассмотрев коэффициенты так, что, получим: . Первый множитель ограничен вследствие (4.9), второй из-за (4.8). Отсюда получаем оценку: Для получения оценок (4.6) и (4.7) заметим, что если v является решением операторного уравнения (3.1), то имеет место равенство: Следовательно: . (4.10) В силу неравенства (3.8), левую часть можно оценить следующим образом: , откуда . Правую часть (4.10) в силу неравенств (3.3), (3.7) можно оценить следующим образом: Следовательно, . Умножая последнее неравенство на , получим . Здесь мы воспользовались тем, что . Обозначив последнюю часть неравенства через C, мы получаем требуемое неравенство (4.6). Аналогично Отсюда . Обозначив правую часть последнего неравенства через C, мы получим требуемую оценку на (4.7). Отметим, что константа C в этой оценке не зависит от δ. 5. Доказательство существования решений аппроксимационной задачи Теперь мы готовы сформулировать теорему о существовании решений операторного уравнения (3.1). Для ее доказательства будет использоваться теория топологической степени Лере- Шаудера для вполне непрерывных векторных полей. Теорема 5.1. Для операторного уравнения (3.1) существует хотя бы одно решение v ∈ W2. Доказательство. По теореме 4.1 все решения семейства операторных уравнений (4.2) удовлетворяют априорным оценкам (4.6) и (4.7). Из оценок (4.6) и (4.7) следует, что- некоторая постоянная. Тогда все решения операторного уравнения лежат в шаре BR ⊂ W2 с центром в нуле и радиусом R = C + 1. По лемме 3.4 оператор L : W2 → L2(0,T;V -2)×V 1 непрерывно обратим, тогда ни одно решение семейства уравнений (4.2) не принадлежит границе того же шара BR. В силу лемм 3.2, 3.3, 3.4 и доказанных свойств операторов K(v),Bδ,N(v), оператор I - λL-1((f,v0) - N(v)) : L2(0,T;V -2) × V 1 → W2 является вполне непрерывным. Таким образом, вполне непрерывное векторное поле v -λL-1((f,v0) -N(v)) не вырождено на границе шара BR, а значит, для этого векторного поля определена степень Лере-Шаудера degLS(I - λL-1((f,v0) - N(v)),BR,0). По свойствам гомотопической инвариантности и нормировки степени получаем, что degLS(I - L-1((f,v0) - N(v)),BR,0) = degLS(I,BR,0) = 1. Так как эта степень отлична от нуля, то существует хотя бы одно решение v ∈ W2 операторного уравнения (3.1). Таким образом, из вышеприведенных рассуждений следует, что аппроксимационная задача 3.1 имеет хотя бы одно решение v ∈ W2. 6. Предельный переход В этом разделе мы перейдем в аппроксимационной задаче 3.1 к пределу при δ → 0. Тем самым будет доказана теорема 2.1. В силу теоремы 5.1 для каждого δ > 0 существует решение аппроксимационной задачи 3.1. То есть существует v ∈ W2, которая для любого ϕ ∈ V 2 удовлетворяет интегральному равенству и начальному условию vδ(0) = v0. В силу априорных оценок (4.3)-(4.7) имеют место следующие сходимости: vδ → v слабо в L2(0,T;V 1); vδ → v сильно в L2(0,T;L4(Ω)); vδ → v сильно в Lr(0,T;V 1); слабо в L2(0,T;V -2); δvδ → u слабо в L2(0,T;V 4). Из указанных сходимостей и в силу непрерывности оператора Δ-α1 : L2(0,T;V 1) → L2(0,T;V 3) получим, что: при δ → 0; при δ → 0; 0; Однако в смысле распределений δA2v сходится к нулю. Отсюда, в силу единственности предела, w = 0. Далее, так как Eij(vδ) ограничено сверху константой, не зависящей от δ, то это выраmax{δ,|E(vδ)|} жение сходится к некоторой функции w слабо, например, в Lp(0,T;Lp(Ω)) для любого 1 < p < ∞. Покажем теперь, что на самом деле при δ → 0 для функции σ ∈ L2(0,T;L2(Ω), удовлетворяющей при почти всех (t,x) ∈ [0,T] × Ω реологическому соотношению (1.4). Для этого введем последовательность функций и покажем, что она сходится в некотором смысле к функции. | В силу поточечной сходимости имеем, что припоследовательность σδ → σ. Рассмотрим множество A = {[0,T]×Ω}∩{|E(v)| = 0}∩{|σ| > τ∗} и предположим, что mes A = m > 0. Определим QT = [0,T] × Ω: Обозначим v0 = I - mτ∗ и заметим, что v0 > 0. Так как Iδ → I (в силу слабой сходимости δ → σ), то существует такое δ0, что для любого δ < δ0 выполнено v . Обозначим σ . Разделим A на три подобласти: . Разобьем интеграл Iδ на три частии рассмотрим их по отдельности: mes A2 ∩ A, , где I(δ1,δ) = (mes(A ∩ A3))1/2. v Заметим, что, получим . Получили противоречие с тем, что I(δ1,δ) → 0 при δ → 0, что следует из того, что |E(vδ)| → 0 почти всюду на A, следовательно, |E(vδ)| → 0 по мере. Итак, при |E(v)| = 0. Положим ( ) = 0 . имеем, что σδ → σ почти всюду на B. Для любого измеримого множества такого, что χij|QT\B = 0, имеем . Следовательно, по теореме Витали С другой стороны, σδ → σ слабо в L2(QT ). Отсюда и следует выполнение реологического соотношения при. Таким образом, переходя к пределу при δ → 0 в каждом из интегралов, получим, что пара (v,σ) удовлетворяет при почти всех t ∈ (0,T) для любого ϕ ∈ V 2 равенству и реологическому соотношению , если, если |E(v)| = 0. Это и завершает доказательство теоремы 2.1. 7. Сходимость решений при α → 0 В данном разделе рассмотрим вопрос сходимости решений альфа-модели Бингама. Поскольку при α = 0 рассматриваемая модель должна совпадать с исходной моделью Бингама, естественно ожидать и сходимости решений альфа-модели к решениям исходной модели при α → 0. Прежде чем непосредственно перейти к исследованию данного вопроса, мы введем необходимые понятия. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу, соответствующую исходной модели Бингама: (7.1) σ = ⎨ |E(v)|, если, (7.2) , div v(t,x) = 0, v|∂Ω = 0, v|t=0 = v0. (7.3) Пусть f ∈ L2(0,T;V -1) и v0 ∈ V 1. Сформулируем определение слабого решения для начальнокраевой задачи (7.1)-(7.3). Определение 7.1. Пара функций (v,σ) ∈ W1 × L2(0,T;L2(Ω)) называется слабым решением начально-краевой задачи (7.1)-(7.3) для альфа-модели Бингама, если для всех ϕ ∈ V 1 и почти всех t ∈ (0,T) она удовлетворяет равенству а также реологическому соотношению (7.2) и начальному условию v|t=0 = v0. Таким образом, в силу теоремы 2.1 при каждом фиксированном α задача (1.3)-(1.7) имеет слабое решение. Основная цель данного раздела - изучить сходимость слабых решений задачи (1.3)-(1.7) к слабым решениям задачи (7.1)-(7.3) при α → 0. Для этого рассмотрим последовательность чисел αm таких, что αm → 0 при m → ∞, и еще одно семейство вспомогательных задач, зависящих от параметра αm: (7.4) , если, (7.5) если |E(vm)| = 0, (7.6) div. (7.7) По доказанной теореме 2.1 при каждом αm существует слабое решение (vm,σm) вспомогательной задачи (7.4)-(7.7). Тогда для всех ϕ ∈ V 2 при почти всех t ∈ (0,T) имеет место равенство (7.8) В предельном переходе (пункт 6) при доказательстве теоремы 2.1 получаем, что полученное решение v задачи (1.3)-(1.7) удовлетворяет оценкам (4.3), (4.4), (4.7), из которых следует, что при m → ∞ vm → v∗ слабо в L2(0,T;V 1), vm → v∗ слабо в L∞(0,T;V 0), слабо в L4/3(0,T;V -1). Используя эти сходимости, перейдем к пределу в равенстве (7.8). Рассмотрим отдельно слагаемое с оператором K. . Отдельно оценим каждое слагаемое. Используя неравенство Гельдера, а также непрерывность вложения V 1 ⊂ L4(Ω), для всех ϕ ∈ V 2 получим . Остальные слагаемые оцениваются аналогичным образом. Таким образом, Следовательно, Проинтегрируем обе части последнего неравенства по t в пределах от 0 до T. Применив неравенство Гельдера, заключаем, что (7.9) Так как vm → v∗ слабо в слабо в L4/3(0,T;V -1), то в силу теоремы Обена-Симона [26] vm → v∗ сильно в L2(0,T;L4(Ω)). Таким образом, получаем, что два слагаемых в неравенстве (7.9) стремятся к нулю. Напомним, что . Поэтому (7.10) Таким образом, в силу неравенств (7.9) и (7.10), а также указанных сходимостей, получим при αm → 0. Следовательно, K(vm) → K(v∗) сильно в L1(0,T;V -2), а значит, и в пространстве . Для установления сходимостей в остальных слагаемых равенства (7.8) мы полностью повторим рассуждения, которые были проведены при доказательстве предельного перехода в предыдущем разделе. Все эти слагаемые сходятся в пространстве L4/3(0,T;V -1), а значит, и в пространстве . Таким образом, переходя в равенстве (7.8) к пределу при m → ∞ получим, что предельные функции v∗ и σ∗ удовлетворяют равенству . Следовательно, пара (v∗,σ∗) согласно определению 7.1 является слабым решением начальнокраевой задачи (7.1)-(7.3) для пробной функции ϕ ∈ V 2. Однако, заметим, что функция v∗ в силу полученных сходимостей удовлетворяет оценкам (4.3), (4.4), (4.7). Следовательно, каждое слагаемое последнего равенства выполнено и для произвольной пробной функции ϕ ∈ V 1. Таким образом, доказана сходимость слабых решений альфа-модели (7.4)-(7.7) к слабым решениям начально-краевой задачи (7.1)-(7.3). Теорема 2.2 доказана.

About the authors

A. V. Zvyagin

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: zvyagin.a@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3858-0827
SPIN-code: 1346-5864
Scopus Author ID: 55656343100
ResearcherId: M-7279-2016
Voronezh, Russia

N. V. Tolstoy

Voronezh State University

Email: nikolaitolstoi@vk.com
Voronezh, Russia

References

Supplementary files