On homogenization of the Lavrent’ev-Bitsadze equation in a partially perforated domain with the third boundary condition on the boundary of the cavities. Subcritical, critical and supercritical cases

Full Text

Введение Асимптотический анализ задач в микронеоднородных средах является важной частью теории дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают во многих прикладных областях, таких как материаловедение, современное производство композиционных материалов с различными свойствами, строительство, нефтеразработка, ракетостроение и др., а также в естественных науках, таких как химия, физика, биология, биофизика и биохимия, геология и др. Эти исследования приводят к математическим моделям, включающим уравнения и краевые условия с малыми параметрами, характеризующими размеры микронеоднородностей. Часто рассматриваются уравнения в перфорированных или полуперфорированных областях, которые требуют применения методов асимптотического анализа, теории усреднения, теории пограничного слоя и т. д. Случай уравнения Стокса рассмотрен в [25, 26, 29, 30, 33]. Модельные задачи для оператора Лапласа с различными граничными условиями на границе полостей рассмотрены в работах [4, 5, 12, 13, 27, 28]. Краевые условия третьего рода рассматривались в работах [2, 3, 22-24]. Интересные результаты получены для сходимости аттракторов в перфорированных областях. В работах [14, 16] рассмотрена ситуация случайных полостей. Двумерное уравнение Навье-Стокса изучено в [1, 20]. В этих работах доказана слабая сходимость аттракторов. Сильная сходимость доказана в [15]. Уравнения Гинзбурга-Ландау изучены в [17-19]. В этих работах рассмотрены докритический, критический и закритический случаи. В работах [7, 8] моделировались задачи, связанные с изучением физико-химических свойств струи газа в камере сгорания и сопле жидкостного реактивного двигателя. В настоящей работе рассматривается уравнение переменного типа Лаврентьева-Бицадзе в полуперфорированной области. В соответствии с моделью предполагается, что перфорация находится только в «эллиптической» части области, а в «гиперболической» она отсутствует, как, впрочем, и правая часть уравнения в «гиперболической» части области предполагается равной нулю. Доказательство существования и единственности решения такой задачи в полуперфорированной области можно найти в [7]. Отметим, что вопросы существования и единственности решений задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе поднимались ранее. В работе [32] изучалась смешанная задача для такого уравнения. Там установлена нормальная разрешимость задачи в весовых пространствах, весами при этом являются степени расстояния до угловых точек области. Отметим также, что в случае, когда область, в которой рассматривается задача, является односвязной (например, она может быть конформно отображена на полукруг), однозначная разрешимость в Соболевском пространстве W21 установлена в [9]. В работе строится усреднённая задача (аналогично см. [7]) и доказывается оценка отклонения решения исходной задачи от решения усреднённой задачи в интегральной норме. 1. Предварительные определения и постановка задачи Для простоты будем рассматривать двумерную область. В многомерном случае потребуется более сложный анализ уравнения в «гиперболической» части области. Рассматривается уравнение вида -uεyy - (signy)uεxx = f(x,y) в полуперфорированной области Dε, перфорированная часть которой расположена в полуплоскости y > 0 и имеет локально периодическую структуру с характерным размером ε, а часть, лежащая в нижней полуплоскости y < 0, имеет однородную структуру. На внешней границе области выставлено однородное условие Дирихле, тогда как на границе полостей выставлено краевое условие третьего рода (условие Фурье) с параметром εα, отвечающим за диссипацию энергии. Исследуется асимптотическое поведение решения при стремлении малого параметра ε к нулю. Полагаем, что f ∈ C1(R2) и обращается в ноль при y < 0. Выделяются три различных случая: α > 1 (докритический, или субкритический случай), α = 1 (критический случай) и α < 1 (закритический, или суперкритический случай). Перейдём к строгому определению области и краевой задачи в этой области. Определим сначала перфорированную часть области. Пусть D1 - полукруг, лежащий в полуплоскости y > 0, граница области ∂D1 состоит из двух частей Γ0 и Γ, где Γ0 - является частью окружности единичного радиуса с центром в точке (x = 1,y = 0), а Γ - отрезок [0, 2] на оси абсцисс y = 0. Обозначим : dist(, dist( , . Задавая 1-периодическую по ξ и η гладкую функцию Φ(x,y,ξ,η) такую, что const > 0, при , определяем , и строим перфорированную область следующим образом: . В соответствии с приведённой конструкцией, граница области Dε1 состоит из Γ0, Γ, которые формируют внешнюю границу области, и границы «дырок», которую мы обозначим Также обозначим , т. е. тонкий слой около границы области без перфорации. Обозначим также S(x,y) = {(ξ,η) ∈ T2 |Φ(x,y,ξ,η) = 0}, ω(x,y) = {(ξ,η) ∈ T2 |Φ(x,y,ξ,η) > 0}. Здесь T2 - 2-мерный тор. Далее мы будем опускать буквы (x,y) в обозначении ячейки периодичности и границы полости, будем писать S и ω, соответственно. Рис. 1. Двумерная полуперфорированная область Fig. 1. Two-dimensional partially perforated domain Замечание 1.1. Следует отметить, что перфорация области подходит непосредственно к оси {y = 0}. Поэтому ожидается влияние перфорации на эффективное поведение решения в окрестности интерфейса Γ. Теперь остаётся добавить к «эллиптической» области Dε1 «гиперболическую» часть D2, которую мы определяем как часть полуплоскости y < 0, ограниченную сверху отрезком Γ, а снизу - отрезками прямых («характеристик» уравнения) Γ1 := {(x,y) : x = -y, x ∈ [0, 1]} и Γ2 := {(x,y) : x = y + 2, x ∈ [1, 2]}. Итак, построена область Dε = Dε1 ∪ (intΓ) ∪ D2 (см. рис. 1). Рассматривается задача в Dε, ⎨uε = 0 на Γ0 ∪ Γ1, (1.1) ∂uε на Sε, где - внутренняя нормаль к границе включений. Предполагается, что коэффициент q является неотрицательной достаточно гладкой функцией в D1, а также 1-периодической по третьему и четвёртому аргументу. Будем исследовать асимптотическое поведение решения uε(x,y) при ε → 0. Решение краевой задачи (1.1) может быть разбито на две части. Сначала мы решаем уравнение в «гиперболической» части D2. В этой области функция u(x,y) = F(x + y) + G(x - y), где F(s) и G(t) - произвольные достаточно гладкие функции. С учётом краевых условий на Γ1 получаем, что F(0) + G(2x) = 0 и, следовательно, G ≡ 0, а F(0) = 0. Такое решение инициирует на «интерфейсе» Γ между «эллиптической» и «гиперболической» частями области Dε условие ux = uy. Решая отдельно краевую задачу для уравнения Пуассона в области Dε1 вида в Dε1, ⎪⎪⎪uε = 0 на Γ0, на Γ, (1.2) на Sε, получаем условия для однозначного нахождения функции F(s) (см. аналогично [32]). Введём обозначения пространств , где δj ∈ (0,1/2], j = 1;2, ρ1 = ρ1(x,y) - расстояние до начала координат, ρ2 = ρ2(x,y) -расстояние до точки (2,0), здесь |∇2u|2 - сумма квадратов обобщённых частных производных второго ∂u порядка, а равенствапонимаются в смысле следов функций. Пусть. Обозначим Ясно, что v1 ∈ W22(Dε1), v2 ∈ H1(Dε1). В силу классической теоремы о следе v1 ∈ W21(Γ), v2 ∈ L2(Γ), и следовательно, . (1.3) Решение задачи (1.2) понимается как элемент пространства, который удовлетворяет уравнению задачи (1.2) почти всюду, а граничные значения понимаются в смысле следов. Замечание 1.2. В работе [32] изучалась задача (1.2) в однородной области без перфорации с целью решения модели Лаврентьева-Бицадзе для смешанной задачи. Там установлена нормальная разрешимость задачи (1.2) в весовых пространствах, весами при этом являются степени расстояния до точек (0,0) и (2,0). Принципиальным же является вопрос об однозначной разрешимости (которая в общем случае не следует из нормальной). Доказательство однозначной разрешимости в пространстве с некоторыми δ1,δ2 ∈ (0,1/2] для перфорированной области с условием Неймана на границе полостей проведено в [7]. Доказательство для задачи с третьим краевым условием на границе полостей совершенно аналогично доказательству из [7], которое опирается на лемму Хопфа-Олейник (см. [11]), а также на вложение (см. [7, предложение 1]), доказательство которого опирается на результаты из [6, 10], и мы его здесь не приводим. Умножим уравнение задачи на uε и проинтегрируем по частям. Запишем это равенство: (1.4) Здесь uεx понимается в смысле следа функции. При этом (см. (1.3)) . 2. Априорные оценки Для того, чтобы перейти к рассмотрению вопросов усреднения, предварительно мы должны получить априорные оценки решений задачи (1.2). Имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Решение uε задачи (1.2) удовлетворяет неравенству где константа K > 0 не зависит от ε. Доказательство. В равенстве (1.4) рассмотрим третье слагаемое в левой части. Имеем . Далее, используя стандартную технику интегральных оценок, учитывая неравенство для следов и неравенство типа Фридрихса получаем необходимую оценку. Теорема доказана. 3. Усреднение в «эллиптической» части области и оценки Этот раздел посвящён изучению асимптотического поведения решений уравнения Пуассона ε = -f(x,y) в области Dε1 с краевыми условиями uε = 0 нана Γ и ∂uε + Δu ∂nε . В последующих пунктах отдельно разберёмся с докритическим, критическим и закритическим случаями. 3.1. Критический случай α = 1. 3.1.1. Формальная асимптотическая процедура. Выпишем ведущие члены асимптотического разложения решения uε(x) задачи (1.2) в виде (3.1) Подставляя выражение (3.1) в уравнение (1.2), принимая во внимание соотношения (3.2) , получаем в области Dε1 равенство Аналогично, подставляя (3.1) в граничные условия задачи (1.2), получаем на соотношение Заметим, что нормальный вектор nε имеет вид , (3.5) где n- нормаль к Можно увидеть, что Поэтому, . Собирая члены порядка ε-1 в (3.3) и порядка ε0 в (3.4), получаем задачу на ячейке периодичности в ω, (3.6) на S(x,y), которая рассматривается в классе 1-периодических по ξ и η функций; здесь x и y - параметры. Условием разрешимости задачи является равенство , которое выполняется автоматически. Решение этой задачи является первым корректором в (3.1). На следующем шаге собираем члены порядка ε0 в (3.3) и порядка ε1 в (3.4). Имеем (3.7) . 1-периодическое по ξ и η решение этой задачи является следующим членом разложения решения uε(x,y). Из структуры задачи (3.6) естественно искать решение u1(x,y,ξ,η) в виде , где 1-периодические по ξ и η функции M(x,y,ξ,η) = (M1(x,y,ξ,η),M2(x,y,ξ,η)) являются классическими решениями задач в ω, (3.8) на S(x,y). Здесь x и y играют роль параметров. Теперь перепишем задачу (3.7) в виде в ω, на S(x,y). Записываем условие разрешимости этой задачи и с помощью формулы Гаусса-Остроградского, имея в виду самосопряжённость предельного оператора (подробнее см. [22]), получаем Здесь скобками · обозначен интеграл по ячейке периодичности, 1-периодические по ∩ω ξ и η функции Mi(x,y,ξ,η) являются решениями ячеичных задач (3.8), а также Применяя методы из [11], можно показать, что матрица этого уравнения является положительно определённой (см. аналогично [22]). Далее подставляем анзац (3.1) в краевое условие задачи (1.2) на Γ и приравниваем члены с соответствующими степенями ε; приходим к усреднённой (предельной) задаче вида в D1, (3.10) на Γ, на Γ0. Замечание 3.1. Отметим, что функции не определены во всей области D1. Применяя технику симметрического продолжения (см. [31, теорема 8.1]), можно продолжить функции M(x,y,ξ,η) во внутренность полостей, сохраняя регулярность этих функций. За продолженными функциями сохраняем те же обозначения. Замечание 3.2. Отметим интересную особенность краевого условия задачи (3.10) на Γ. В усреднённой задаче нормальная составляющая косой производной перешла в конормальную, тогда как касательная составляющая осталась без изменений. Имеет место теорема. Теорема 3.1. Пусть f ∈ C1(R2) и пусть q(x,y,ξ,η) -достаточно гладкая неотрицательная функция, 1-периодическая по ξ и η. Тогда для достаточно малых ε задача (1.2) имеет единственное решение, которое удовлетворяет оценке (3.11) где u0 и u1 -решения задач (3.10) и (3.6) соответственно, а константа K1 не зависит от ε. Замечание 3.3. На самом деле в теореме 3.1 условие неотрицательности может быть заменено на более слабое . 3.1.2. Вспомогательные утверждения. В этом пункте сформулируем леммы из [2, 21, 22], которые нам понадобятся в дальнейшем анализе. Лемма 3.1. Если выполнены условия теоремы 3.1, то имеет место неравенство для любой v ∈ H1(Dε1,Γ0) с константой C1, не зависящей от ε. Лемма 3.2. Если , то для любой); константа C2 не зависит от ε. Лемма 3.3. Пусть yε -решение задачи в Dε1, на Γ0, на Sε, где функция hε(x,y) = f(x,y) для и равна 0 в остальных случаях. Тогда 3.1.3. Основная оценка. Доказательство теоремы 3.1. Для обоснования построенной формальной асимптотики необходимо оценить невязку . Продолжим функции Mi(x,y,ξ,η) в слой (см. замечание 1.1) и подставим в уравнение (1.2). Здесь - гладкая срезающая функция , такая что при dist dist); более того, |∇ξηχε(ξ,η)| и |Δξηχε(ξ,η)| равномерно ограничены. Имеем Принимая во внимание равенства в Dε1, и (3.9), можно переписать (3.12) в области(см. аналогично [22]). Также мы поступаем с выражением . Далее, имея в виду, что на Γ0, умножаем полученное уравнение из (3.12) на v(x,y) и интегрируем по области Dε1. После применения формулы Грина получаем Теперь, используя (3.13) и граничное условие из (3.10), оцениваем Используя лемму 3.2, оцениваем . Члены I1 и I4 удовлетворяют . Тождество I5 ≡ 0 следует из граничных условий задачи (3.6). Для оценки слагаемого I6 применяем технику доказательства леммы 3.2 (см. [22]). Получаем ; здесь мы использовали C1-гладкость функции f(x,y). Учитывая лемму 3.3, можно считать, что функция f(x) равна нулю в слое. Поэтому I7 = 0. Слагаемое I3 оценивается следующим образом: . Из свойств срезающей функции χε(ξ,η) следует, что . Подставляя v = u0+εχεu1-uε в (3.14) и учитывая полученные выше оценки, с помощью леммы 3.1 и очевидной оценки получаем (3.11). Теорема доказана. 3.2. Докритический случай α > 1. 3.2.1. Формальная процедура и главная оценка. Подставляем выражение в уравнение (1.2). С учетом (3.2) выводим Аналогично на Используя (3.5) и собирая слагаемые с соответствующими степенями ε в (3.15) и (3.16), приходим к следующим вспомогательным задачам: ⎧Δξηu1,-1 (x,y,ξ,η) = 0 в ω, ⎨ ∂u1,-1(x,y,ξ,η) (3.17) = 0 на S(x,y), ∂n˜ (3.18) и задаче (3.6) для u0,1 (x,y,ξ,η), решения которых рассматриваются в классе 1-периодических по ξ и η функций. Из (3.17) получаем, что функция u1,-1 не зависит от ξ. Фактически можно взять u1,-1 ≡ 0. Тогда u1,0 ≡ 0 решает задачу (3.18). На следующем шаге собираем слагаемые порядка ε0 в (3.15) и порядка ε1 в (3.16). Получаем Представляя , где 1-периодические компоненты вектор-функции M(x,y,ξ,η) = (M1(x,y,ξ,η),M2(x,y,ξ,η)) являются решениями задач (3.8), выводим из (3.19) следующую задачу: в ω, на S(x,y). Действуя так же, как и в пункте 3.1.1, записываем условие разрешимости и применяем те же рассуждения, что и в пункте 3.1.1. В результате получаем усреднённую (предельную) задачу , (3.20) , ⎪⎩ u0 = 0 на Γ0. Предельное поведение решения задачи (1.2) в этом случае определяется следующей теоремой. Теорема 3.2. Предположим, что f ∈ C1(R2), и пусть q(x,y,ξ,η) -достаточно гладкая неотрицательная функция, 1-периодическая по ξ и η. Тогда для достаточно малых ε задача (1.2) имеет единственное решение, которое удовлетворяет неравенству - , где u0 и u0,1 -решения задач (3.20) и (3.6), соответственно, с константой K2, не зависящей от ε. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1 и основано на следующей лемме (см. аналогично [22]). Лемма 3.4. Для любой v ∈ H1(Dε1) . 3.3. Закритический случай 3.3.1. Теорема усреднения. Следующая теорема описывает предельное поведение решения. Теорема 3.3. Если f ∈ C1(R2) и q(x,y,ξ,η) -достаточно гладкая положительная функция, 1-периодическая по ξ и η, то для всех достаточно малых ε задача (1.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее оценке , (3.21) где K3 не зависит от ε. Доказательство теоремы 3.3. Записываем интегральное тождество задачи (1.2), из которого с помощью неравенства Коши-Буняковского получаем равномерную ограниченность семейства uε(x) в H1(Dε1). Действительно, Поэтому (3.22) Если выполняются условия теоремы, то Q(x,y) - строго положительная функция, которая удовлетворяет неравенству . Это неравенство может быть легко доказано с использованием шагов доказательства леммы 3.2 (см. [22]). С другой стороны, имеем . Используя последние оценки с учётом (3.22), выводим (3.21). Теорема доказана. 4. Предельная задача во всей области Чтобы завершить построение предельной задачи во всей области, надо вспомнить, что в «гиперболической» области решение имеет вид F(x + y), которое, в свою очередь, инициирует на «интерфейсе» Γ условие ux = uy. После усреднения изменилась задача в «эллиптической» части области, а значит, и условие на «интерфейсе». Кроме того, в критическом случае α = 1 в задаче появляется дополнительный потенциал, и она во всей области принимает следующий вид: в D1, в D2, на Γ0 ∪ Γ1, на Γ, на Γ. В докритическом случае α > 1 задача имеет вид , , на Γ0 ∪ Γ1, на Γ, на Γ. Здесь u0 = ·u0-обозначается скачок функции.в «гиперболической» части и u0 = u0+ в «эллиптической» части области Dε. Символом [ ] В закритическом случае α < 1 решение в эллиптической части стремится к нулю при ε → 0. Условие согласования на интерфейсе Γ сразу влечёт в пределе F ≡ 0. Таким образом, решение исходной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе во всей области стремится к нулю.

About the authors

G. A. Chechkin

Lomonosov Moscow State University; Ufa Science Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: chechkin@mech.math.msu.su
Moscow, Russia; Ufa, Russia

References

Supplementary files