Lower average estimate for the minimum modulus on circles foran entire function of genus zero

Full Text

1. Введение Напомним теорему об оценке снизу минимума модуля целой функции порядка ρ ∈ [0, 1] через степень максимума ее модуля. Обозначим . Всюду в работе f - непостоянная целая функция. Теорема 1.1. Пусть ρ ∈ [0, 1] и f -целая функция порядка ρ. Тогда для любого ε > 0 существует такая последовательность rn ↑ +∞, что справедливы соотношения , lnrn+1 = O(lnrn), n ∈ N. Известно также более сильное утверждение. © А.Ю. Попов, В.Б. Шерстюков, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 150 Теорема 1.2. Пусть целая функция f имеет порядок ρ ∈ [0, 1]. Тогда для любого ε > 0 существует множество E = Ef,ε ⊂ (1,+∞) положительной нижней логарифмической плотности, т. е. , такое, что Свой окончательный облик теоремы 1.1 и 1.2 приобрели благодаря усилиям многих известных аналитиков (см. основополагающие работы [11, 12, 15, 16]). Эти теоремы в том или ином виде вошли в авторитетные руководства по теории аналитических функций [3, 4, 10, 13]. О развитии тематики можно узнать из обзоров [2, 14]. Много дополнительной информации содержится в недавних публикациях [6-9], где изложены свежие подходы к постановке задачи о связи минимума и максимума модуля целой функции и серия новых результатов. Показатель cos(πρ) является точным: на классе всех целых функций порядка ρ его нельзя заменить б´ольшим (каково бы ни было число ρ ∈ [0, 1]), даже если в теореме 1.1 отказаться от ограничения lnrn+1 = O(lnrn), а в теореме 1.2 требовать лишь неограниченность множества E. Были построены примеры [12], показывающие, что последовательность rn в теореме 1.1, вообще говоря, нельзя выбрать без больших лакун, т. е. добиться, например, асимптотик lnrn+1 ∼ lnrn при n → ∞. Аналогичная ситуация в теореме 1.2: существуют такие функции f, что при достаточно малых ε > 0 дополнение R+ \ Ef,ε содержит бесконечно много длинных отрезков вида [Rn1-c, Rn], c > 0. От подобных лакун нельзя избавиться, если даже, ограничившись функциями порядка ρ ∈ (0,1), заменить показатель cos(πρ) - ε меньшим числом -1. В подтверждение нами в заключительном разделе 4 (см. там пример 4.1) построен следующий пример. Пусть {Rn}n∈N - произвольная быстро растущая последовательность, удовлетворяющая условию . (1.1) Тогда для любого ρ ∈ (0,1) существует целая функция g нормального типа при порядке ρ, все корни которой лежат на R+ и для которой справедливо такое предельное соотношение: . (1.2) Основным результатом статьи является следующее. Если мы хотим выполнения более слабой оценки минимума модуля через степень максимума модуля, меньшую -1, а именно m(f;rn) > M-1-δ(f;rn), δ > 0, n ∈ N, (1.3) то для любой целой функции f, являющейся бесконечным произведением нулевого рода с корнями на одном луче, требуемую последовательность радиусов окружностей rn ↑ +∞ можно подобрать, например, так, чтобы действовало ограничение , . (1.4) Точнее говоря, имеет место более сильный факт. Теорема 1.3. Пусть целая функция f является бесконечным произведением нулевого рода , (1.5) где {λn}n∈N -произвольная числовая последовательность, удовлетворяющая условиям . (1.6) Тогда для любого δ ∈ (0,1/3] при выборе a = exp(2/δ) справедливо соотношение . (1.7) Функции (1.5) с условием (1.6) обладают тем легко проверяемым, но важным свойством, что m(f;r) ≡ min |f(z)| = |f(r)|, M(f;r) ≡ max |f(z)| = f(-r), r > 0. (1.8) |z|=r |z|=r Как видно из (1.7), для целых функций изучаемого класса при указанном в теореме 1.3 сочетании параметров δ, a на каждом интервале вида (R,aR), где R > 0, найдется точка r, в которой верна оценка снизу m(f;r) > M-1-δ(f;r). Это обеспечивает выполнение оценки (1.3) на некоторой последовательности окружностей радиусов rn ↑ +∞ с ограничением (1.4). Действительно, точку r1, в которой выполняется неравенство (1.3), возьмем на интервале , а если имеется точка rn, в которой верно неравенство (1.3), то rn+1 берется на интервале , отношение концов которого равно exp(2/δ). Отделенность от нуля разности rn+1 -rn обеспечивает условие rn ↑ +∞. Мы докажем теорему 1.3 в разделе 3. Затем, в самом конце работы, будет построен пример, показывающий, что выбрать в теореме 1.3 величину a = a(δ), растущую слишком медленно - как (28/15)δ-1, при малых δ уже нельзя (см. пример 4.2 в разделе 4). Начнем со вспомогательных утверждений. 2. Леммы о специальных интегралах В дальнейшем потребуются интегралы рассматриваемые при. Они выражаются через элементарные функции по формулам , Возрастание второго интеграла очевидно. Отметим еще, что при всех y > 2. Нужные свойства первого интеграла F(y) соберем в отдельное утверждение. Лемма 2.1. 1. Функция F непрерывна на луче [0,+∞), отрицательна на луче (0,+∞), убывает на отрезке , возрастает на луче , 2. При верна оценка снизу F(y) > -4y-1 lny. 3. Если числа x0,y0 таковы, что , то при имеем . В частности, если, то . 4. Верна оценка Доказательство. 1. Первое свойство проверяется элементарно с использованием явного выражения для производной . 2. Пусть. Требуется доказать положительность функции . Поскольку lny2 > ln(y2 - 1) = ln(y - 1) + ln(y + 1), то достаточно доказать неравенство . Другими словами, нужно при всех проверить соотношение для элементарной функции h(s) = (1/s)lns. Но оно становится очевидным, если учесть, что эта функция возрастает на отрезке [2,e], убывает на луче [e,+∞), и h(2) = h(4). 3. Доказываемое свойство допускает эквивалентную переформулировку: если F(x0) = F(y0) при для всех . В таком виде оно сразу следует из общих фактов о поведении функции F, отмеченных в пункте 1. Если теперь для значения x0 = 1/4 выбрать, исходя из условия , то окажется, что 36 < y0 < 37, поскольку . Следовательно, y0/x0 < 148, и при любых интеграл будет, как показано выше, положительным. 4. Учитывая, что F(3) = -ln4, запишем . Все пункты леммы 2.1 обоснованы. Лемма 2.2. При любых x,y ∈ (0,+∞), x < y, верно неравенство . В частности, имеем , , Доказательство. Ввиду положительности функции F1 на луче (0,+∞) имеем , если 0 < x < y < +∞. Основное неравенство леммы доказано. Два других (см. (2.1)) следуют из него и оценок . Лемма 2.2 полностью доказана. 3. Доказательство основного результата Важную роль в дальнейшем играет следующее вспомогательное утверждение, установленное в нашей работе [8, лемма 3.1]. Лемма 3.1. Если числа a > 1, b > 1, α ∈ R таковы, что функция положительна всюду на луче x ∈ (0,+∞), то при любом R > 0 для произвольного канонического произведения (1.5) с условием на корни (1.6) справедливо неравенство . Пусть δ ∈ (0,1/3], a = exp(2/δ). Заметим, что. Согласно лемме 3.1 оценка (1.7), составляющая содержание теоремы 1.3, будет гарантирована, если мы докажем неравенство . (3.1) При x > 1/4 оно сразу же следует из второго утверждения пункта 3 леммы 2.1. Далее . Перепишем неравенство (3.1) в равносильной форме . С учетом отрицательности F(x), оценок (2.1) леммы 2.2 и равенства δ = 2/lna достаточно доказать, что , (3.2) . (3.3) Неравенство (3.2) следует из ограниченности снизу функции F числом -1,77 (см. пункт 1 леммы 2.1). Действительно, достаточно проверить справедливость неравенства Последнее неравенство верно в силу ограничения . Докажем неравенство (3.3). Если 2/a < x < e/a, то 2 < ax и ввиду возрастания функции F на луче [√2,+∞) (снова см. пункт 1 леммы 2.1) имеем -F(ax) < -F(2) = 1,5ln3 < 1,65. В то же время ln(1/x) > ln(a/e) = lna - 1. Поэтому достаточно доказать, что а это верно, так как lna (см. пункт 4 леммы 2.1) и одновременно ln(1/x) > lna - ln4 > lna - 1,4. Поэтому достаточно доказать, что 2(lna - 1,4) ⇔ 2,8 > 1,5< 0,5. lna lna Последнее верно при lna > 5,6. Осталось доказать неравенство (3.3) для значений x ∈ [4/a,1/4]. Положим x = a-s. Тогда . (3.4) Из (3.4) и пункта 2 леммы 2.1 видно, что достаточно установить справедливость неравенства . (3.5) Ниже (чтобы не разбивать изложение) мы покажем убывание функции s) на отрезке Ia, точнее - ее логарифма ϕ(s) = lns - ln(1 - s) + (1 - s)lna. Таким образом, остается проверить справедливость (3.5) только при s = 1 - ln4/lna, а именно - доказать неравенство (здесь мы учли тождество aln4/lna = 4). Но последнее неравенство очевидно выполнено, так как ln4/(1 - ln2) < 1,4/0,3 = 14/3 < 5 < lna. Для того, чтобы соотношение (3.3) было полностью обосновано, проверим отрицательность производной . - Поскольку минимум выражения s(1 - s) на отрезке Ia достигается на концах этого отрезка, то (3.6) Отрицательность величины (3.6) следует из неравенства lna < ln4(lna-ln4), которое равносильно неравенству lna > ln2 4/(ln4-1), заведомо верному при lna 6, так как ln2 4/(ln4-1) < 5,2. Справедливость неравенства (3.1) установлена. Теорема 1.3 доказана. 4. Примеры Этот раздел посвящен примерам, которые выявляют дополнительные обстоятельства, связанные как с классическими cos(πρ)-теоремами 1.1, 1.2, так и с новой теоремой 1.3 (см. короткое обсуждение во введении к работе). Пример 4.1. Пусть ρ ∈ (0,1). Зафиксируем какую-нибудь последовательность (1.1) и построим целую функцию g с положительными корнями, имеющую нормальный тип при порядке ρ и подчиненную предельному соотношению (1.2). Проверим, что всем перечисленным требованиям удовлетворяет бесконечное произведение , где νn = [Rnρ] (4.1) (квадратные скобки обозначают целую часть). Равномерная сходимость произведения (4.1) на компактах плоскости C обеспечивается условием . Тем самым g - целая функция. Множество корней функции g есть последовательность, состоящая из чисел Rn, n ∈ N, и каждая точка Rn в этой последовательности записана νn раз. Обозначив n(r) считающую функцию такой последовательности, т. е. количество корней функции (4.1) в круге имеем равенства . (4.2) Очевидно, что n(Rn) > Rnρ - 1. Поэтому . С другой стороны, ввиду сильной лакунарности последовательности {Rn} (см. (1.1)) из (4.2) находим . (4.3) Соотношение (4.3) показывает, что . Это влечет за собой равенство D = 1. Отсюда и из двусторонней оценки Валирона [15] , для типа произвольной целой функции f конечного порядка ρ > 0 через верхнюю ρ-плотность D множества ее корней получаем, что тип функции (4.1) при порядке ρ конечен и положителен. (Мы не ставим сейчас вопрос о точном вычислении ρ-типа функции (4.1). Подобные вопросы в увязке с точными оценками типа целой функции через плотностные характеристики распределения ее корней рассмотрены в обзорах [1, 5].) Перейдем к доказательству соотношения (1.2). В силу (4.1) и отмеченных выше равенств (1.8) имеем . (4.4) Очевидно, что при все сомножители произведения (4.4) с номерами меньше 1. Поэтому при любом r ∈ (0, Rn] верно неравенство , где . (4.5) Поскольку нас интересуют значения , а величина согласно (1.1) с ростом n значительно превосходит Rn-1, то грубая оценка сверху сомножителей произведения Πn вполне достаточна. Применив ее, получим неравенство , (4.6) действующее при достаточно больших . Имеем также 1 - u < e-u для . Следовательно, (4.7) при всех r ∈ (0, Rn]. Из (4.5)-(4.7) находим . (4.8) При n → ∞ правая часть неравенства (4.8) стремится к нулю равномерно по r на отрезках . Действительно, на таких отрезках r2Rnρ-2 минорируется величиной ln2 Rn, которая благодаря условию по порядку больше, чем. Соотношение (1.2) доказано. Обсуждение примера 4.1 завершено. Пример 4.2. Пусть P - многочлен степени p ∈ N, все корни которого x1, ...,xp действительны и положительны, но не обязательно различны. Предположим, что P(0) = 1, и запишем многочлен P в виде произведения . В работе [8, лемма 2.1] нами получен следующий результат. Лемма 4.1. Пусть a > 1, d > 0 и выполняется неравенство , (4.9) a {Rn}n∈N -произвольная возрастающая и столь быстро стремящаяся к +∞ последовательность положительных чисел, что Rn lim = 0. n→∞ Rn+1 Тогда для любого ρ ∈ (0, 1) существует целая функция G нормального типа при порядке ρ, являющаяся каноническим произведением нулевого рода с корнями, лежащими на луче (0,+∞) действительной оси, такая, что выполнено предельное соотношение . (4.10) Неравенство (4.9) с максимумом по отрезку [1, a] после соответствующей замены переменной может быть переписано как условие, в котором максимум берется по произвольному наперед заданному отрезку положительной полуоси с отношением концов, равным a. Этим обстоятельством мы воспользуемся ниже. Рассмотрим специальный многочлен пятой степени (4.11) с положительными корнями x1 = x2 = x3 = 7/8 и x4 = x5 = 7/4. Покажем, что при заданном δ ∈ (0, 1/33] условие (4.9) будет выполнено для многочлена P(δz), если выбрать a = (28/15)δ-1 и d = 1 + δ. Иными словами, требуется убедиться в справедливости неравенства , (4.12) с многочленом P(z) из формулы (4.11). Для этого потребуются следующие две леммы. Лемма 4.2. Пусть параметры α,δ связаны условием (4.13) Тогда функция (4.14) убывает на отрезке x ∈ [δ, α], а в точке x = δ мажорируется величиной . Доказательство. Производная функции (4.14) имеет вид и отрицательна при всех x ∈ (δ, α] в силу (4.13). Осталось обосновать неравенство , равносильное неравенству . (4.15) Воспользуемся тем, что , и оценим сверху левую часть (4.15) величиной . Поскольку 0 < δ < α, то δ3 δ4 δ3 δ3 δ3 + < + = < 0, -2α2 3α3 -2α2 3α2 -6α2 и неравенство (4.15) выполнено. Лемма 4.2 доказана. Лемма 4.3. Пусть параметры α,β связаны условием 0 < α < β. Тогда многочлен (4.16) на отрезке x ∈ [α, β] достигает максимума в точке , и значение этого максимума есть . В частном случае β = 2α величина указанного максимума выражается числом 6561/12500. Доказательство леммы 4.3 не приводим ввиду его полной элементарности. Вернемся к обоснованию неравенства (4.12). Зафиксируем произвольное δ ∈ (0, 1/33]. Пусть сначала x ∈ [δ, 7/8]. Используя обозначения (4.11), (4.14), запишем для таких x представление . Для каждой из фигурирующих здесь функций семейства (4.14) условие (4.13) выполнено с очевидным запасом. По лемме 4.2 справедливы оценки . Учтем равенство и получим, что . (4.17) Пусть теперь x ∈ [7/8, 7/4]. Тогда , (4.18) если принять обозначение (4.16). По лемме 4.2 для рассматриваемых x имеем . Кроме того, . Следовательно, . (4.19) Пусть, наконец, x ∈ [7/4, 28/15]. На таком отрезке функция |P(x)|P 1+δ(-x) по-прежнему имеет вид (4.18), но теперь возрастает, достигая своего максимума в точке x = 28/15. Прямой подсчет дает для этого максимума выражение . Тем самым при условии имеем . (4.20) Окончательно из (4.17), (4.19), (4.20) получим соотношение (4.12). В свете леммы 4.1 это позволяет утверждать следующее. Если мы выберем какую-нибудь возрастающую к +∞ последовательность положительных чисел Rn со свойством Rn = o(Rn+1) при n → ∞, то для любых ρ ∈ (0,1) и δ ∈ (0, 1/33] найдется целая функция G нормального типа при порядке ρ с положительными корнями, такая, что предельное соотношение (4.10) выполнено с d = 1 + δ и a = (28/15)δ-1. При таком выборе параметров, как показывает обсуждаемый пример, утверждение (1.7) теоремы 1.3 теряет силу. Подчеркнем, что функция G предъявляется как каноническое произведение нулевого рода, общая конструкция которого предложена в [8, доказательство леммы 2.1]. Применительно к нашей ситуации имеем . Построение примера 4.2 завершено.

About the authors

A. Yu. Popov

Lomonosov Moscow State University; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Author for correspondence.
Email: aypopov.msu@yandex.ru
Moscow, Russia

V. B. Sherstyukov

Lomonosov Moscow State University; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Email: shervb73@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files