Boundary-value problem for an elliptic functional differential equation with dilation and rotation of arguments

Full Text

1. Введение. Основные обозначения В теории упругости [4, 19, 23], теории многомерных диффузионных процессов [12], а также в связи с нелокальными краевыми задачами типа А. В. Бицадзе, А. А. Самарского [2, 10, 11] возникает необходимость рассматривать эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованиями аргументов старших производных, которые могут отображать некоторые точки границы внутрь области. Так, например, упругие модели конструкций, содержащих многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем, могут быть сведены к сильно эллиптическим системам дифференциально-разностных уравнений. В работах А. Л. Скубачевского была построена общая теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений: получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой © Л. Е. Россовский, А. А. Товсултанов, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 697 698 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. А. ТОВСУЛТАНОВ части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Был обнаружен эффект появления степенных особенностей у производных решений в некоторых точках как на границе, так и внутри области. Наиболее полно эти результаты представлены в [13, 22]. Кроме того, в [13] обсуждаются приложения эллиптических функционально-дифференциальных уравнений к лазерным системам с обратной связью, а также к известной гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора. Краевые задачи для эллиптических уравнений, содержащих в старшей части сжатия и растяжения независимых переменных, рассматривались в работах [5, 20] (изотропные, т. е. одинаковые по всем координатам, сжатия или растяжения), а также в [6, 7] (ортотропные сжатия: например, сжатие по одной координате и растяжение по другой). При этом краевые задачи рассматривались в областях, содержащих начало координат - неподвижную точку преобразования сжатия. Это предположение не позволяло воспользоваться уже имеющейся теорией нелокальных задач, например, свести задачу к нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения, а также напрямую переносить методы, развитые для дифференциально-разностных уравнений. Кроме того, в указанной ситуации не работает известный принцип локализации, основанный на разбиении единицы и широко используемый в теории краевых задач для исследования гладкости решений, доказательства априорных оценок, «замораживания» переменных коэффициентов. Переход от уравнений с изотропными сжатиями к уравнениям с ортотропными сжатиями также потребовал применения существенно иной техники. У таких уравнений был обнаружен ряд новых свойств в зависимости от структуры орбит точек области под действием соответствующей группы преобразований. Эллиптическое функционально-дифференциальное уравнение, содержащее комбинацию сжатия и сдвигов аргумента, было изучено в [8]. Уравнениям, содержащим комбинацию сжатий (растяжений) и поворотов аргумента в старших производных искомой функции, посвящены работы [9, 14]. В статье [14] рассматривалась краевая задача μu + div(T (P, Rα)∇u)= f (x) (x ∈ Ω), (1.1) u|∂Ω = 0, (1.2) где Ω - ограниченная область в R2, μ ∈ C, f ∈ L2(Ω), а T (P, Rα) - функциональный оператор с растяжениями (сжатиями) и поворотами. Он определяется следующим образом. Вводятся унитарные в L2(R2) оператор P, действующий по формуле P u(x)= p-1u(p-1x)= p-1u(p-1x1, p-1x2) при p > 1, и оператор Rα, определенный при α ∈ R формулой Rαu(x)= u(xα)= u(x1 cos α - x2 sin α, x1 sin α + x2 cos α). α Если число α несоизмеримо с π, то полагаем T (P, Rα) = ), amk PmRk , где суммирование производится по произвольному конечному набору целых индексов m и k (которые могут принимать значения обоих знаков) Если же α соизмеримо с π и n - наименьшее натуральное число такое, что nα кратно 2π, то полагаем T (P, Rα)= "\' am0Pm + "\' am1PmRα + ... + "\' am,n α - 1PmRn-1, где суммы берутся по произвольным конечным наборам целых индексов m. Коэффициенты amk в суммах - комплексные числа. Для корректного определения оператора T (P, Rα) функция, на которую действует оператор, считается продолженной нулем в R2 \ Ω. Обозначим a˜mk = amk cos kα и введем функцию t˜(λ, w)= "\' a˜mk λmwk (λ, w ∈ C) в случае, если число α несоизмеримо с π, либо функции t˜k(λ)= "\' a˜m0λm + "\' a˜m1ei2πk/nλm + ... + "\' a˜m,n (λ ∈ C; k = 0, 1,... ,n - 1), - 1ei2π(n-1)k/n λm если α соизмеримо с π. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ФДУ С РАСТЯЖЕНИЕМ И ПОВОРОТОМ 699 Был получен следующий результат: для всякой ограниченной области Ω, содержащей начало координат, условие либо Re t˜(λ, w) > 0 (|λ| = |w| = 1) (α несоизмеримо с π) Re t˜k(λ) > 0 (|λ| = 1; k = 0, 1,... ,n - 1) (α соизмеримо с π) 0 является необходимым и достаточным для существования постоянных c1 > 0, c2 );: 0 таких, что при всех u ∈ C∞(Ω) выполнено неравенство 2 (Ω) Re (T (P, Rα)∇u, ∇u)L2 H1 (Ω) );: c1 u 2 2 - c2 u L2 (Ω) . (1.3) Неравенства, подобные (1.3), принято называть неравенствами типа Гординга, а соответствующие уравнения в этом случае сильно эллиптическими. Пространство Соболева Hs(Ω) для натурального s состоит из всех (комплекснозначных) функций, принадлежащих L2(Ω) вместе с обобщенными производными до порядка s включительно. Это гильбертово пространство со скалярным произведением r (u, v)Hs (Ω) = "\' |α| s Ω Dαu(x)Dαv(x) dx, где α = (α1,... , αn) - мультииндекс, |α| = α1 + ... + αn, Dα = (-i∂/∂x1)α1 ... (-i∂/∂xn )αn . 0 Через H˚s(Ω) обозначается замыкание множества C∞(Ω) финитных бесконечно дифференцируемых функций в Hs(Ω). В H˚s(Ω) можно ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле ˚s (u, v)∗ H (Ω) = "\' r |α|=s Ω Dαu(x)Dαv(x) dx. В частности, при s =1 и n = 2, r r 2 r 2 (u, v)H1 (Ω) = Ω j j uv¯ + "\' ux v¯x j=1 dx, (u, v)H˚1 (Ω) = Ω j j "\' ux v¯x j=1 dx. Обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) называется функция u ∈ H˚1(Ω), удовлетворяющая при всех v ∈ H˚1(Ω) интегральному тождеству 2 (Ω) μ(u, v)L2 (Ω) - (T (P, Rα)∇u, ∇v)L2 = (f, v)L2 (Ω). Для сильно эллиптического уравнения (1.1) краевая задача (1.1), (1.2) фредгольмова, а ее спектр состоит из изолированных собственных значений конечной кратности и располагается внутри симметричного угла с вершиной в нуле, охватывающего положительную вещественную полуось, раствора меньше π. Доказательство этих фактов, опирающееся на неравенство (1.3), проводится стандартными методами функционального анализа (подобного сорта рассуждения можно найти, например, в [5, с. 78]). Иллюстрируя полученный результат на примере уравнения 2 "\' r 1 -1 √ √ - j=1 uxj (x)+ ap- uxj (p ∈ x)+ buxj (-(x1 + 3x2)/2, ( 3x1 - x2)/2) = f (x) (x Ω), xj или, коротко, -div((I + aP + bRα)∇u)= f (x) (x ∈ Ω), в котором α = 2π/3, а b ∈ R, получаем существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле при условии |a|- b/4 < 1, если b < 0, и при условии |a| + b/2 < 1, если b > 0. Таким образом, условия однозначной разрешимости могут быть связаны не только с абсолютной величиной коэффициента в уравнении, но и с его сигнатурой. Для уравнения 2 "\' 1 -1 -1 - j=1 (uxj (x)+ ap- uxj (p (x1 cos α - x2 sin α),p (x1 sin α + x2 cos α))xj = f (x) (x ∈ Ω), 700 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. А. ТОВСУЛТАНОВ или, коротко, -div((I + aPRα)∇u)= f (x) (x ∈ Ω), (1.4) получаем следующее: каков бы ни был угол α, если |a cos α| < 1, то задача Дирихле имеет единственное обобщенное решение при всех f ∈ L2(Ω). В частности, при α = π/2 задача однозначно разрешима для любых p > 1 и a ∈ C. То, что в данном случае условие на a и p пропадает, имеет элементарное объяснение: при формальном дифференцировании получаем 2 "\'(ux (x)+ ap-1ux (-x2/p, x1/p))x = Δu(x). j j j j=1 Настоящая статья посвящена уравнению (1.4) и некоторым его модификациям. Эти уравнения будут рассмотрены более подробно и при всех значениях коэффициентов, не только в условиях сильной эллиптичности. Однако на область Ω будет наложено дополнительное условие геометрического характера. Отметим, что при отсутствии поворотов (есть только сжатия и растяжения аргументов) соответствующие результаты приведены в [5, гл. 1]. В классе функционально-дифференциальных уравнений с аффинными преобразованиями имеется прототип: уравнение пантографа y˙ = ay(λt)+ by(t). Это уравнение и различные его обобщения в одномерном случае находят применение в самых разных областях: астрофизике [1], нелинейных колебаниях [18], биологии [15] и др. Они активно изучаются, начиная с 1970-х годов, см., например, [3, 16, 17]. 2. Уравнение со сжатием и поворотом аргумента Композицию PRα, являющуюся унитарным оператором в L2(R2), будем обозначать Pα, Pαu(x)= p-1u(p-1xα)= p-1u(p-1(x1 cos α - x2 sin α), p-1(x1 sin α + x2 cos α)). Очевидно, P ∗ -1 αu(x)= Pα u(x)= pu(px-α). Кроме того, для функций в R2 имеют место соотношения -α ∇Pαu = p-1Pα∇ u, (2.1) div(Pα∇u)= p cos α ΔPαu = p-1 cos α PαΔu. (2.2) В формуле (2.1) используется краткое обозначение ∇-αu для операции поворота вектора градиента на угол (-α): ∇-αu = ( ux1 cos α + ux2 sin α \ . -ux1 sin α + ux2 cos α Равенства (2.1), (2.2) можно понимать как для гладких функций, так и в смысле обобщенных функций. Они проверяются непосредственно. Формула (2.2), в частности, выражает тот факт, что оператор Лапласа инвариантен относительно ортогональных преобразований вектора неза- α висимых переменных. Аналогичные формулы справедливы с участием P -1 вместо Pα: ∇P -1 -1 α u = pPα ∇αu, (2.3) div(P -1∇u)= p-1 cos α ΔP -1u = p cos αP -1Δu. (2.4) α α α Лемма 2.1. Обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) однородной задачи Дирихле для уравнения -div((I + aPα)∇u)= f (x) (x ∈ Ω) (2.5) - то же, что обобщенное решение однородной задачи Дирихле для уравнения -Δ(I + ap cos α Pα)u = f (x) (x ∈ Ω). Доказательство. Действительно, при u ∈ C∞(Ω) и v ∈ C∞(Ω), интегрируя по частям и используя формулу (2.4), будем иметь ((I + aPα)∇u, ∇v)L2 0 0 = (∇u, (I + aP -1)∇v) 2 = 2 (Ω) α L2 (Ω) = -(u, div((I + aP -1)∇v)) = -(u, (I + ap cos αP -1)Δv)) . α L2 (Ω) α L2 (Ω) КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ФДУ С РАСТЯЖЕНИЕМ И ПОВОРОТОМ 701 0 В силу плотности C∞(Ω) в H1(Ω) это равенство распространяется, очевидно, на все функции ∈ H˚1(Ω). С другой стороны, (∇(I + ap cos α Pα)u, ∇v)L2 = -((I + ap cos α Pα)u, Δv)) = -(u, (I + ap cos αP -1)Δv))L (Ω) 2 (Ω) L2 (Ω) α 2 при всех u ∈ H˚1(Ω) и v ∈ C∞(Ω). Остается полученное для v ∈ C∞(Ω) равенство 0 ((I + aPα)∇u, ∇v)L2 0 = (∇(I + ap cos α Pα)u, ∇v) 2 продолжить на все функции v ∈ H˚1(Ω). 2 (Ω) L2 (Ω) Спектр оператора Pα : L2(R2) → L2(R2), так же, как и оператора P, совпадает со всей единичной окружностью [5, с. 17]. При |λ| > 1 для его резольвенты справедливо представление ∞ ∞ (λI - Pα)-1 = λ-1(I - λ-1Pα)-1 = λ-1 "\' λ-kPk = "\' λ-(k+1)Pk, поскольку λ-1Pα < 1. Таким образом, ∞ k=0 α α k=0 (λI - Pα)-1u(x)= "\' λ-(k+1)p-ku(p-kxkα), если |λ| > 1. (2.6) k=0 При |λ| < 1, наоборот, имеем ∞ ∞ (λI - Pα)-1 = -P -1(I - λP -1)-1 = -P -1 "\' λk P -k = - "\' λk-1P -k, α α α поскольку λP -1 < 1. Получаем ∞ α α k=0 α k=1 (λI - Pα)-1u(x)= - "\' λk-1pku(pkx k=1 -kα ), если |λ| < 1. (2.7) На основе формул (2.6), (2.7) может быть получен следующий результат, связанный с действием оператора λI - Pα в пространствах Соболева Hs(Ω). Лемма 2.2. Пусть Ω ⊂ R2 - ограниченная область, инвариантная относительно преобразования координат x ⊕→ p-1xα, а именно, Тогда: 2 Ω ⊂ pΩ-α = {px-α ∈ R : x ∈ Ω}. (2.8) а) если |λ| > 1, то оператор λI - Pα : Hs(Ω) → Hs(Ω) является изоморфизмом (линейным гомеоморфизмом) для всех s = 0, 1,... ; б) если |λ| < p-s для некоторого s = 0, 1,... , то изоморфизмом будет оператор λI - Pα : -α H˚s(Ω) → H˚s(pΩ ). Доказательство. а) Очевидно, оператор λI - Pα : Hs(R2) → Hs(R2) ограничен для любого s = 0, 1,... . Рассмотрим ограниченный обратный оператор (λI - Pα)-1 : L2(R2) → L2(R2), действующий на функции u ∈ L2(R2) по формуле (2.6). При u ∈ H1(R2) первые производные общего члена ряда (2.6) имеют вид λ-(k+1)∇Pk -(k+1) -k k α u = λ p Pα ∇-kαu. Получаем I k I I (k+1) I -(k+1) I I -k I k I -(k+1) -k I|λ- ∇Pα u|I L2 (R2 ) = |λ| 2 p I|Pα ∇u|IL (R2 ) = |λ| p |∇u| L2 (R2 ) , откуда следует, что оператор в (2.6) является ограниченным и в H1(R2). Аналогично обстоит дело с производными высших порядков: при каждом следующем дифференцировании члена ряда (2.6) возникает улучшающий сходимость ряда множитель p-k. Итак, λI - Pα непрерывно и взаимно однозначно отображает пространство Hs(R2) на себя для любого s = 0, 1,... при |λ| > 1. Далее, для u ∈ Hs(R2) положим v = (λI - Pα)u ∈ Hs(R2). Благодаря условию (2.8) сужение образа v|Ω однозначно определяется сужением u|Ω, так что λI - Pα корректно определен и как ограниченный линейный оператор в Hs(Ω) для таких областей Ω. При этом формула (2.6), построенная лишь на неотрицательных степенях оператора Pα, показывает, что сужение прообраза u|Ω также 702 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. А. ТОВСУЛТАНОВ однозначно определяется сужением v|Ω. Тем самым показано, что ограниченный оператор в (2.6) является обратным к оператору λI - Pα : Hs(Ω) → Hs(Ω). б) Условие |λ| < p-s, в свою очередь, обеспечивает возможность s-кратного почленного диффеs ренцирования ряда в формуле (2.7). Для таких λ оператор λI - Pα также непрерывно и взаимно однозначно отображает пространство Hs(R2) на себя. Далее, если функция u ∈ H˚s(Ω) продолжена нулем в R2, то она принадлежит Hs(R2), ее образ v = (λI - Pα)u из Hs(R2) равен нулю вне pΩ-α, а сужение v на pΩ-α принадлежит H˚ (pΩ-α) в силу условия (2.8). Наоборот, если v - -α продолженная нулем в R2 функция из H˚s(pΩ ), то, как показывает формула (2.7), ее прообраз u из Hs(R2) равен нулю вне Ω (суммирование в (2.7) начинается с k = 1) и сужение u на Ω принадлежит H˚s(Ω). Лемма доказана. При |λ| = 1, как показывает следующее утверждение, свойства оператора λI - Pα, действующего на функции в ограниченной области, близки в некотором смысле к ситуации, описанной в пункте а) леммы 2.2 (случай |λ| > 1). Лемма 2.3. Пусть Ω ⊂ R2 - ограниченная область, удовлетворяющая условию (2.8), |λ| = 1, u ∈ L2(Ω) и v = (λI - Pα)u. Тогда для функции u(x) в Ω справедливо представление ∞ u(x)= "\' λ-(k+1)p-kv(p-kxkα) (x ∈ Ω), (2.9) k=0 где ряд сходится в L2(Ω). При этом, если v ∈ Hs(Ω), то и u ∈ Hs(Ω). Доказательство. Запишем частичную сумму ряда (2.9), подставляя вместо v(x) выражение λu(x) - p-1u(p-1xα): λ-1(λu(x) - p-1u(p-1xα)) + λ-2p-1(λu(p-1xα) - p-1u(p-2x2α)) + ... ... + λ-M p-M +1(λu(p-M +1x(M Оценим второе слагаемое: - 1)α) - p-1u(p-M x Mα)) = u(x) - (pλ)-M u(p-M x Mα). λ-M PM 2 -2M r -M 2 r 2 α u L2 (Ω) = p |u(p Ω xMα)| dx = p-M ΩMα |u(y)| dy → 0, M → ∞, в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега и очевидного соотношения mes(p-M ΩMα)= p-2M mes(Ω). Второе утверждение леммы получается почленным дифференцированием ряда (2.9). Нам понадобится также векторный вариант части утверждений леммы 2.3 и пункта а) леммы 2.2. Лемма 2.4. Пусть Ω ⊂ R2 - ограниченная область, удовлетворяющая условию (2.8). Тогда: а) если |λ| > 1, то оператор u ⊕→ λu - Pαu-α является изоморфизмом пространства вектор- 2 функций L2(Ω); b) если |λ| = 1, u ∈ L2(Ω) и v = λu - Pαu ∈ L2(Ω), то u представляется сходящимся в L2 2 2(Ω) рядом -α 2 ∞ α v-kα(x) (x ∈ Ω). u(x)= "\' λ-(k+1)Pk k=0 Доказательство. Достаточно заметить, что и в этом случае при |λ| > 1 оператор u ⊕→ v := 2 2 λu - Pαu-α имеет ограниченный обратный в L2(R ), действующий по формуле ∞ α v-kα u = "\' λ-(k+1)Pk ( Pαu-α L2 2 = u 2 k=0 2 2 ). Переход от R к области Ω, а также к значениям |λ| = 1 вполне 2 (R ) L2 (R ) аналогичен изложенному при доказательстве лемм 2.2 и 2.3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ФДУ С РАСТЯЖЕНИЕМ И ПОВОРОТОМ 703 Приведенное ниже утверждение уточняет полученный в [14] для уравнения (1.1) результат и, кроме того, содержит алгоритм решения краевой задачи. Формально, решение сводится к тому, что в уравнении (2.5) следует «продифференцировать» функциональный оператор I + aPα, а затем применить к обеим частям ограниченный оператор (I + ap-1 cos αPα)-1. Однако, имея дело с обобщенным решением, соответствующие выкладки приходится проводить в интегральном тождестве. Предложение 2.1. Пусть Ω - ограниченная область, удовлетворяющая условию (2.8) и 0 ⊗= |a cos α| 1. Тогда задача Дирихле для уравнения (2.5) имеет единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) при любой функции f ∈ L2(Ω). Это решение является обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δu(x)= (I + ap-1 cos αPα)-1f (x) (x ∈ Ω), u|∂Ω = 0. Доказательство. В силу леммы (2.1) обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) задачи Дирихле для уравнения (2.5) определяется из интегрального тождества 2 (Ω) (∇(I + ap cos α Pα)u, ∇v)L2 = (f, v)L2 (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)). (2.10) Обозначим ω = (I + ap cos α Pα)u, тогда ∇ω = ∇u + a cos αPα∇-αu. По лемме 2.4 с учетом неравенства 0 ⊗= |a cos α| 1 будем иметь ∞ α ∇u = "\'(-a cos α)k Pk∇ -kα ω. (2.11) k=0 α Вместе с каждой функцией v ∈ H˚1(Ω) подставим в интегральное тождество (2.10) функцию P -kv (k = 1, 2,.. .): в силу условия (2.8) последняя также принадлежит H˚1(Ω). В соответствии с (2.3) получим (∇ω, pk P -k∇kαv) 2 = (f, P -kv) , α L2 (Ω) α L2 (Ω) α или, перенося вращение вектора градиента и функциональный оператор P -k с ∇v на ∇ω (в виде сопряженных преобразований), (Pk ∇ α -kα ω, ∇v)L2 (Ω) 2 = p-k(Pkf, v) . α L2 (Ω) Умножая полученные равенства на (-a cos α)k, суммируя по всем индексам k = 0, 1,... и принимая во внимание (2.11), приходим к тождеству 2 (Ω) (∇u, ∇v)L2 = (g, v)L2 (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)), (2.12) определяющему обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δu = g в области Ω с функцией ∞ α g = "\'(-ap-1 cos α)k Pkf = (I + ap-1 cos αPα)-1f ∈ L2(Ω). k=0 В обратную сторону при помощи подобных выкладок тождество (2.10) выводится из тождества (2.12). Утверждение теоремы следует теперь из существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью из L2(Ω). Замечание 2.1. В предложении 2.1 неявно содержится и утверждение о гладкости обобщенного решения u, поскольку исходная задача сведена к задаче Дирихле для уравнения Пуассона. В условиях предложения 2.1 функциональный оператор (I + ap-1 cos αPα)-1 ограничен по лемме 2.2 не только в L2(Ω), но и во всей шкале пространств Соболева Hs(Ω) (s );: 0), так что для гладкости u в Ω остается наложить соответствующие требования на ∂Ω. Так, хорошо известно, что если g ∈ Hs(Ω) и ∂Ω ∈ Cs+2, то u ∈ Hs+2(Ω) и выполняется оценка u Hs+2 (Ω) c1 g Hs (Ω) c2 f Hs (Ω). 704 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. А. ТОВСУЛТАНОВ Стоит отметить также, что при |a cos α| = 1 уравнение (2.5) уже не является сильно эллиптическим. Тем не менее, как показывает предложение 2.1, и в этом случае краевая задача однозначно разрешима. Существенным дополнением к предложению 2.1 является результат ниже. Оказывается, при |a cos α| > 1 краевая задача перестает быть корректной и становится «сильно» недоопределенной. Предложение 2.2. Пусть Ω - ограниченная область, удовлетворяющая усиленному условию инвариантности Ω ⊂ pΩ-α (2.13) и |a cos α| > 1. Тогда задача Дирихле для уравнения (2.5) имеет обобщенные решения для любой функции f ∈ L2(Ω), причем при f = 0 существует бесконечно много линейно независимых обобщенных решений соответствующей однородной задачи. Доказательство. С учетом леммы 2.1 речь идет об обобщенных решениях задачи Дирихле для уравнения -Δ(I + ap cos α Pα)u = f (x) (x ∈ Ω). Поскольку в условиях теоремы |ap cos α|-1 < p-1, оператор I + ap cos α Pα = ap cos α ((ap cos α)-1I + Pα) в силу пункта б) леммы 2.2 непрерывно и взаимно однозначно отображает пространство H˚1(Ω) -α на все пространство H˚1(pΩ ). Построим теперь функцию ω в pΩ-α ⊃ Ω следующим образом. Пусть ω1 ∈ H˚1 (Ω) - решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона - Δω1 = f в Ω, а ω2 - произвольная функция из -α H˚1(pΩ \ Ω). Положим ( ω1(x), x ∈ Ω, ω(x)= ω2(x), x ∈ pΩ-α \ Ω. -α Очевидно, что w ∈ H˚1(pΩ ). Проверим, что лежащая в H˚1(Ω) функция u = (I + ap cos α Pα)-1ω есть обобщенное решение рассматриваемой задачи. Действительно, для любой функции v ∈ H˚1(Ω) справедлива цепочка (∇(I + ap cos α Pα)u, ∇v)L2 = (∇ω, ∇v) 2 = (∇ω1, ∇v) 2 = (f, v) . 2 (Ω) L2 (Ω) L2 (Ω) L2 (Ω) Предпоследнее равенство следует из того, что на Ω функция ω совпадает с ω1. Мы показали, что для всякой функции f существует как минимум целое семейство обобщенных решений рассмат- -α риваемой задачи, «параметризованное» произвольной функцией из H˚1(pΩ \ Ω). Замечание 2.2. В отличие от ситуации, описанной в предложении 2.1, построенные в предложении 2.2 решения не обязаны быть гладкими. Действительно, если посмотреть в этом случае на вид обратного оператора ∞ α (I + ap cos α Pα)-1 = "\'(-1)k-1(ap cos α)-k P -k, k=1 то получается, что в части Ω \ p-1Ωα области Ω построенное обобщенное решение u = (I + -α ap cos α Pα)-1ω совпадает с функцией (ap cos α)-1ω2(px ). Таким образом, если ω2 -α ∈/ H2(pΩ \ Ω) (локально), то и сужение u на Ω \ p-1Ωα не принадлежит H2(Ω \ p-1Ωα) (локально). То же самое относится к сужению u на p-1Ωα \ p-2Ω2α и т. д. Такое «щепетильное» отношение к вопросу о перестановке операции дивергенции и функционального оператора в уравнении (2.5) обосновано. Так, предположим, что |a cos α| p, но нас интересуют только гладкие решения краевой задачи, u ∈ H˚1(Ω) ∩ H2(Ω). Такие решения удовлетворяют уравнению (2.5) почти всюду, и его теперь можно переписать в виде -(I + ap-1 cos αPα)Δu = f (x) (x ∈ Ω). В силу неравенства на коэффициенты по-прежнему существует ограниченный обратный оператор (I + ap-1 cos αPα)-1 : L2(Ω) → L2(Ω), и мы приходим к эквивалентному уравнению -Δu = (I + ap-1 cos αPα)-1f, для которого задача Дирихле имеет единственное решение u ∈ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ФДУ С РАСТЯЖЕНИЕМ И ПОВОРОТОМ 705 2 H˚1(Ω) ∩ H2(Ω) и u H2 (Ω) c f L (Ω) (считаем, что граница области обладает нужной гладкостью). Получается, что при 1 < |a cos α| p одновременно с бесконечномерным многообразием негладких обобщенных решений существует единственное гладкое решение краевой задачи для уравнения 2.5, непрерывно зависящее от правой части f. 3. Уравнение с растяжением, сжатием и поворотом аргумента Рассмотрим теперь аналогичную задачу Дирихле для уравнения α -div((I + bP -1)∇u)= f (x) (x ∈ Ω), (3.1) α b ∈ C, с оператором P -1 вместо оператора Pα. Необходимое и достаточное условие сильной эллиптичности уравнения (3.1) выглядит следующим образом: |b cos α| < 1. Эквивалентной (с точки зрения обобщенного решения) записью уравнения (3.1) будет α -Δ(I + bp-1 cos αP -1)u = f (x) (x ∈ Ω) (проверяется аналогично лемме 2.1). Здесь ситуация с разрешимостью в определенном смысле обратная по отношению к уравнению (2.5): обобщенное решение всегда единственно, но при |b cos α| );: 1 задача становится «сильно» переопределенной. Предложение 3.1. Пусть Ω - ограниченная область, удовлетворяющая условию (2.13). Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения (3.1) единственно, при этом а) если 0 < |b cos α| < 1, то всякое обобщенное решение имеет вид ∞ -α u(x)= "\'(-b cos α)kω(pkx k=0 ), (3.2) где w есть решение задачи Дирихле для уравнения -Δω(x)= f (x) в Ω; б) если |b cos α| );: 1, то задача разрешима тогда и только тогда, когда функция f ортогональна бесконечномерному подпространству в L2(Ω). Отметим, что при использовании формулы (3.2) функцию ω следует считать продолженной нулем вне Ω. Доказательство. а) Рассмотрим оператор I + bp-1 cos αP -1 = P -1(bp-1 cos αI + Pα). α α По лемме 2.2, пункт б), оператор bp-1 cos αI + Pα осуществляет изоморфизм пространства H˚1(Ω) -α на пространство H˚1(pΩ α ). Но в таком случае, очевидно, сам оператор I +bp-1 cos αP -1 является изоморфизмом пространства H˚1(Ω), а обратный имеет вид ∞ (I + bp-1 cos αP -1)-1 = (bp-1 cos αI + Pα)-1Pα = "\'(-bp-1 cos α)k P -k, α α k=0 α что соответствует формуле (3.2). Итак, замена (I + bp-1 cos αP -1)u = ω сводит исходную задачу к эквивалентной задаче Дирихле для уравнения Пуассона -Δω(x)= f (x) в Ω. α б) В этой ситуации замена P -1u = ω сводит вопрос нахождения обобщенного решения u ∈ H˚1(Ω) задачи Дирихле для уравнения (3.1) к определению функции ω ∈ H˚1(p-1Ωα) из интегрального тождества 2 (Ω) (∇(I + p(b cos α)-1Pα)ω, ∇v)L2 2 = p(b cos α)-1(f, v)L (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)), которое, как видно из доказательства предложения 2.1, равносильно тождеству 2 (Ω) (∇ω, ∇v)L2 = (g, v)L2 (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)) с новой функцией g = p2(pb cos αI + Pα)-1f ∈ L2(Ω). Здесь мы учли, что |b cos α|-1 1. Стоит подчеркнуть, что функция ω, являющаяся обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δω = g в Ω, принадлежит пространству H˚1(p-1Ωα) и тождественно равна нулю 706 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. А. ТОВСУЛТАНОВ вне p-1Ωα. Тогда, очевидно, и функция g должна обращаться в ноль в Ω \ p-1Ωα. Кроме того, равенство 2 (p (∇ω, ∇v)L2 -1 Ωα) = (g, v)L2 (p-1Ωα ) (3.3) фактически выполнено уже для любой функции v ∈ H1(p-1Ωα). Нетрудно видеть (см., например, [5, с. 30]), что для существования функции ω ∈ H˚1(p-1Ωα), удовлетворяющей (3.3) при любой v ∈ H1(p-1Ωα), необходимо и достаточно, чтобы функция g была ортогональна в скалярном произведении в L2(p-1Ωα) всем гармоническим функциям, принадлежащим H1(p-1Ωα). Итак, в случае |b cos α| );: 1 задача Дирихле для уравнения (3.1) разрешима при тех и только тех f ∈ L2(Ω), для которых функция g = p2(pb cos αI + Pα)-1f ∈ L2(Ω) обращается в нуль вне p-1Ωα, а в L2(p-1Ωα) ортогональна всем гармоническим функциям из H1(p-1Ωα). Понятно, что для функции f это означает выполнение бесконечного числа условий ортогональности в L2(Ω) (их можно записать при помощи сопряженного к p2(pb cos αI + Pα)-1 оператора). При f =0 имеем g = 0, а значит, и ω вместе с u = Pαω равны нулю, т. е. обобщенное решение для уравнения (3.1) всегда единственно. α Замечание 3.1. В условиях пункта а) предложения 3.1 обобщенное решение существует и единственно, но не обязательно принадлежит H2(Ω), и непрерывная зависимость решения от правой части гарантируется лишь относительно H1-нормы, поскольку обратный оператор (I + bp-1 cos αP -1)-1 (формула (3.2)), вообще говоря, неограничен в H2(Ω). Наконец, в области Ω, удовлетворяющей усиленному условию инвариантности (2.13), рассмотрим уравнение 1 -div ((I + γ1Pα + γ-1P - )∇u) = f (x) (x ∈ Ω), (3.4) α естественным образом обобщающее уравнения (2.5) и (3.1). По аналогии с предыдущим уравнение (3.4) можно записывать в виде 1 -Δ(I + γ1p cos α Pα + γ-1p- α cos α P -1)u = f (x) (x ∈ Ω). Считаем, что 0 ⊗= γ±1 ∈ C и cos α ⊗= 0. Согласно сказанному во введении, уравнение (3.4) является сильно эллиптическим тогда и только тогда, когда -1 Re(1 + γ1 cos αz + γ cos α z-1) > 0 (z ∈ C, |z| = 1) (через z мы обозначили произведение λw; z также пробегает всю единичную окружность). Отметим, что из условия (2.13) вытекает 0 ∈ Ω. Нетрудно выписать соответствующие ограничения на коэффициенты в явном виде (ϕ1 := arg γ1, ϕ-1 := arg γ-1): 1 Re (1 + γ1 cos αz + γ-1 cos α z- )=1 + cos αl|γ1| cos(ϕ + ϕ1)+ |γ-1| cos(ϕ - ϕ-1)l = =1 + cos αl(|γ1| cos ϕ1 + |γ-1| cos ϕ-1) cos ϕ + (|γ-1| sin ϕ-1 - |γ1| sin ϕ1) sin ϕl = 2 =1 + cos α |γ1| 2 + |γ-1| + 2|γ1γ-1| cos(ϕ1 + ϕ-1) sin(ϕ + ϕ0) > 0 для всех ϕ ∈ R (здесь ϕ0 - некоторый фиксированный угол, зависящий от γ±1). Таким образом, необходимым и достаточным условием сильной эллиптичности уравнения (3.4) будет неравенство | cos α| | |γ1 2 | + |γ-1 2 +2 Re (γ1γ-1) < 1. Для более детального изучения уравнения (3.4) факторизуем функциональный оператор под знаком лапласиана: 1 -1 -1 I + γ1p cos α Pα + γ-1p- cos α Pα = γ1p cos α(λ1I - Pα)(λ2I - Pα)Pα . Здесь λ1, λ2 - корни квадратного уравнения -1 (γ1p cos α)λ2 + λ + γ p-1 cos α = 0. Без ограничения общности считаем 0 < |λ2| |λ1|. Поведение решений краевой задачи для уравнения (3.4) описывается в терминах этих корней: все зависит от расположения λ1,2 на комплексной плоскости относительно окружности |λ| = p-1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ФДУ С РАСТЯЖЕНИЕМ И ПОВОРОТОМ 707 Теорема 3.1. а) Пусть |λ1| );: p-1, |λ2| < p-1. Тогда для любой функции f ∈ L2(Ω) существует единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) задачи Дирихле для уравнения (3.4) (корректная задача). б) Пусть |λ2| |λ1| < p-1. Тогда обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения (3.4) существует для любой функции f ∈ L2(Ω), при этом соответствующая однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых обобщенных решений (недоопределенная задача). в) Пусть p-1 |λ2| |λ1|. Тогда обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения (2.5) единственно, а для существования решения необходимо и достаточно, чтобы функция f была ортогональна некоторому бесконечномерному подпространству в пространстве L2(Ω) (переопределенная задача). Доказательство. α а) По лемме 2.2 оператор (λ2I -Pα)P -1 есть изоморфизм пространства H˚1(Ω). Поэтому замена α (λ2I - Pα)P -1u = ω сводит исходную задачу к интегральному тождеству 2 (Ω) (∇(λ1I - Pα)ω, ∇v)L2 2 = (γ1p cos α)-1(f, v)L (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)), которое при |λ1| );: p-1 равносильно тождеству 2 (Ω) (∇ω, ∇v)L2 = p(γ1 cos α)-1 ((p2λ1I - Pα)-1f, v) L2 (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)) (см. доказательство предложения 2.1). Последнее единственным образом определяет ω ∈ H˚1(Ω) 2 с оценкой ω H1 (Ω) c1 (p2λ1I - Pα)-1f L (Ω). Тогда для единственного обобщенного решения u = Pα(λ2I - Pα)-1ω ∈ H˚1 (Ω) рассматриваемой задачи имеет место оценка u H1 (Ω) c2 ω H1 (Ω) c3 f L2 (Ω) (регулярность границы гарантирует для функции ω и более сильную оценку ω H2 (Ω) 2 c4 f L2 (Ω), но для функции u соответствующую оценку в H -норме записать уже нельзя). α б) В этом случае по лемме 2.2 весь оператор γ1p cos α(λ1I - Pα)(λ2I - Pα)P -1 осуществляет -α изоморфизм пространства H˚1(Ω) на пространство H˚1(pΩ к нахождению функции ). Поэтому исходная задача сводится α -α ω = γ1(λ1I - Pα)(λ2I - Pα)P -1u ∈ H˚1(pΩ ) в области pΩ-α ⊃ Ω из интегрального тождества 2 (Ω) (∇ω, ∇v)L2 = (f, v)L2 (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)), которое отвечает строго внутренней подобласти Ω более широкой области pΩ-α. Получается недоопределенная задача. Построение бесконечномерного нуль-пространства такой задачи проведено в предложении 2.2. α в) Здесь мы осуществляем замену P -1u = ω ∈ H˚1(p-1Ωα), и для функции ω, равной нулю вне p-1 Ωα ⊂ Ω, имеем тождество 2(Ω) (∇(λ1I - Pα)(λ2I - Pα)ω, ∇v)L2 2 = (γ1p cos α)-1(f, v)L (Ω) (v ∈ H˚1(Ω)), эквивалентное тождеству 2 (Ω) (∇ω, ∇v)L2 = p4(γ1p cos α)-1 ((p2λ2I - Pα)-1(p2λ1I - Pα)-1f, v) L2(Ω) = = p3 ((γ1 cos αP 2 + pPα + p2γ cos αI)-1f, v) (v ∈ H˚1(Ω)). α -1 L2(Ω) Получается, что обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в Ω тождественно равно нулю в части Ω \ p-1Ωα. Это переопределенная задача. Бесконечномерное ортогональное дополнение к (замкнутому) образу оператора такой краевой задачи построено в доказательстве пункта б) предложения 3.1. 708 Л. Е. РОССОВСКИЙ, А. А. ТОВСУЛТАНОВ Непосредственным вычислением можно убедиться, что сильно эллиптическому уравнению (3.4) отвечает следующее расположение корней λ1,2: |λ1| > p-1, |λ2| < p-1. Источником краевой задачи в обобщенной постановке для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения в дивергентной форме с симметричным оператором может быть задача на поиск минимума квадратичного функционала. Проиллюстрируем подобную связь на примере. Пример 3.1. Рассмотрим задачу поиска минимума функционала r J (u)= Ω ((T ∇u, ∇u) - 2f u) dx на пространстве функций u ∈ H˚1(Ω). Здесь Ω - произвольная ограниченная область в R2, T = I + aPα, скобки (., .) означают скалярное произведение векторов в R2, f ∈ L2(Ω), а функция u считается продолженной нулем вне Ω. Коэффициент a и все пространства в этом примере - вещественные. Из вышеизложенного следует, что условие |a cos α| < 1 обеспечивает оценку (коэрцитивность функционала) r J0(u) := Ω r (T ∇u, ∇u) dx );: (1 - |a cos α|) Ω 2 |∇u| dx (u ∈ H˚1 (Ω)). Запишем первую вариацию (производную Гато) функционала J в элементе u. Для этого зафиксируем произвольную функцию v ∈ H˚1(Ω) и подставим u + τv, τ ∈ R, вместо u в функционал J. Получим J (u + τv)= J (u)+ τB(u, v)+ τ 2J0(v), где билинейная форма B(u, v) на H˚1(Ω) имеет вид r 2 (Ω) ((T ∇u, ∇v)+ (T ∇v, ∇u) - 2fv) dx = ((T + T ∗)∇u, ∇v)L2 - Ω -1 - 2(f, v)L2 (Ω) = ((2I + aPα + aP )∇u, ∇v) 2 - 2(f, v) . Условие d α L2 (Ω) L2 (Ω) J (u + τv) dτ τ =0 = B(u, v)= 0 (v ∈ H˚1(Ω)) является необходимым, а при |a cos α| < 1, очевидно, и достаточным условием строгого глобального минимума функционала J. С другой стороны, это условие определяет обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) краевой задачи α -div ((I + (a/2)(Pα + P -1))∇u) = f (x) (x ∈ Ω), u|∂Ω = 0. Эта задача при дополнительном условии (2.13) на область исследована в теореме 3.1 для всевозможных значений параметров, но сильно эллиптическим соответствующее уравнение будет только при |a cos α| < 1.

About the authors

L. E. Rossovskii

RUDN University

Author for correspondence.
Email: lrossovskii@gmail.com
Moscow, Russia

A. A. Tovsultanov

Kadyrov Chechen State University; North Caucasus Center for Mathematical Research VSC RAS

Email: a.tovsultanov@mail.ru
Grozny, Russia; Vladikavkaz, Russia

References

Supplementary files