On Complexification of Real Spaces and Its Manifestations in the Theory of Bochner and Pettis Integrals

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Данная работа является продолжением нашей предыдущей работы [12]; обе были вдохновлены работой [26], в которой авторы изучали некоторые явления для случайных величин, возникающие при вложении области, из которой берутся эти величины, т. е. гильбертова пространства, в более широкое комплексное гильбертово пространство, или когда данная область, будучи комплексным гильбертовым пространством, допускает существование «случайных собственных векторов». Более детальную информацию можно найти во введении к работе [12]. В [12] мы рассматривали линейные пространства в следующих четырех ситуациях: вещественное пространство допускает умножение на комплексные скаляры без изменения самого множества; вещественное пространство вложено в более широкое множество с умножением на комплексные скаляры; комплексное пространство имеет инволюцию и, таким образом, содержит «вещественные» и «мнимые» элементы; комбинация предыдущих ситуаций. Также мы изучили, как они проявляются в случае, когда исходное пространство обладает дополнительными структурами: топологией, нормой, скалярным произведением, равно как и то, что происходит с линейными операторами, действующими в таких пространствах. В настоящей работе мы развиваем результаты, полученные в [12], и устанавливаем связи между интегралами Бохнера и Петтиса для функций, принимающих значения в вещественных и комплексных банаховых и гильбертовых пространствах. Проведенный анализ мы применяем к Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 706 изучению сильных и слабых случайных величин со значениями в вещественных и комплексных банаховых и гильбертовых пространствах, в частности, некоторых свойств их математических ожиданий. Необходимо заметить, что за работой [26] последовала работа [24], в которой вместо комплексных скаляров рассматриваются кватернионные. Наш подход в этом отношении будет опубликован позднее, где мы частично применим техники, разработанные в [4, 13, 14, 16]. Также отметим, что рассмотрение иных классов скаляров, гиперболических и бикомплексных чисел можно найти в [15]. Стоит упомянуть и о том, что исследование комплексификации вещественных линейных пространств содержится в работах М. Риса [18] и Г. О. Торина [23], поскольку во многих областях математики (например, в теории интерполяции, квантовой механике или теории стохастических процессов) она необходима для решения определенных задач. Данная тема вызывала интерес и в последующем, см., например, работы И. Э. Вербицкого и П. П. Середы [1, 2], Г. А. Сухомлинова [20], А. Дефанта [5], Дж. И. Кривина [10, 11] и Т. Фигеля, Т. Иванца и А. Пельтшински [7]. Также см. книгу А. Зигмунда [27]. 2. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. Внутренняя комплексификация. Начнем с напоминания о том, что R-линейное пространство X допускает умножение на комплексные скаляры тогда и только тогда, когда существует автоморфизм u пространства X такой, что u2 = -IdX - тождественный автоморфизм, т. е. u выполняет роль умножения на i. В этом случае X называется внутренне комплексифицируемым, а возникающее C-линейное пространство называется внутренней алгебраической комплексификацией пространства X. Автоморфизм u носит название «комплексифицирующего автоморфизма». Пусть Ω - это произвольное непустое множество, X - R-линейное пространство. Рассмотрим множество Φ := {φ| φ :Ω → X}. (2.1) С поточечным сложением и умножением на вещественные скаляры Φ превращается в вещественное линейное пространство. И хотя мы заинтересованы в изучении пространств X с большим количеством структур, но даже на таком общем уровне можно сделать некоторое утверждение. Теорема 2.1. При соблюдении вышеизложенных условий и предположении, что X допускает комплексифицирующий автоморфизм u, множество Φ также допускает внутреннюю комплексификацию. Доказательство. Определим отображение uΦ :Φ → Φ как uΦ(φ) := u ◦ φ ∀ φ ∈ Φ. Так как u обратим, то uΦ является взаимно-однозначным отображением. Это очевидным образом подтверждает, что uΦ обладает всеми необходимыми свойствами. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, однако можно делать выводы, «управляя» постоянными функциями в Φ. Прежде всего, возьмем x ∈ X и соответствующую постоянную функцию в Φ Определим множество ψx : ω ∈ Ω 1→ x ∈ X. CΦ := {φ ∈ Φ | φ является постоянной} и отображение ϕ : X → CΦ, заданное как ϕ(x) := ψx. Это отображение является биективным R-линейным отображением. В самом деле: § ϕ(x + y)= ψx+y = ψx + ψy = ϕ(x)+ ϕ(y). § Даны x ∈ X, a ∈ R, и тогда § Биективность ϕ очевидна. ϕ(ax)= ψax = aψx = aϕ(x). Конечно, обратное к ϕ отображение ϕ-1 из CΦ в X также является R-линейным. Теорема 2.2. Пусть X - вещественное линейное пространство и Φ - такое же, как в (2.1). Если Φ допускает комплексифицирующий автоморфизм uΦ, переводящий постоянные функции в постоянные функции, то X допускает комплексифицирующий автоморфизм. Доказательство. Вспомним, что автоморфизм uΦ определяет на Φ умножение на i, а именно, uΦ(φ)= iφ ∀φ ∈ Φ. x Тот факт, что uΦ переводит постоянные функции из Φ в постоянные функции, означает, что для любого x ∈ X существует � ∈ X такой, что т. е. Зададим u : X → X как uΦ(ψx)= ψx � uΦ ◦ ϕ(x)= ϕ(x). � u(x) := (ϕ-1 ◦ uΦ ◦ ϕ)(x) := x. Таким образом, u является R-линейным отображением и удовлетворяет u2 = (ϕ-1 ◦ uΦ ◦ ϕ) ◦ (ϕ-1 ◦ uΦ ◦ ϕ)= -IdX , следовательно, отображение u - комплексифицирующий автоморфизм для X. Если X - это вещественное линейное пространство, не допускающее комплексифицирующий автоморфизм, то по теореме 2.2 существуют два возможных варианта для пространства функций Φ: оно либо не допускает комплексифицирующий автоморфизм, либо допускает, но при этом комплексифицирующий автоморфизм не переводит постоянные функции в постоянные функции. В качестве примера рассмотрим множество Ω = {1, 2} и вещественное линейное пространство X = R. В этом случае вещественное линейное пространство Φ= {f : {1, 2, }→ R} ∼= R2 (2.2) допускает комплексифицирующий автоморфизм uΦ(x, y) := (-y, x). Пусть задана постоянная функция ψa ∈ Φ, тогда, используя (2.2), получаем, что ψa = (a, a) и uΦ(ψa)= (-a, a), что не является постоянной функцией. Этот пример противоречит тому факту, что X = R не допускает комплексифицирующий автоморфизм. 2. Внешняя комплексификация. Вспомним, что внешняя комплексификация вещественного линейного пространства X предполагает поиск более широкого комплексного пространства X�C такого, что X ⊂ X�C. Обычный способ построения внешней комплексификации (см. [12, п. 2.2]) заключается в рассмотрении прямой суммы X ⊕ X (которая является R-линейным пространством) и определении операции умножения на комплексные скаляры следующим образом: (a + ib) · (x, y) := (ax - by, ay + bx), ∀(x, y) ∈ X ⊕ X, a + ib ∈ C. В силу того, что определена операция умножения на комплексные скаляры, X ⊕ X можно обозначить как X�C. Также известно, что подмножество {(x, 0) | x ∈ X} является R-линейным пространством, изоморфным X; подмножество {(0, x) | x ∈ X} можно записать как i · {(x, 0) | x ∈ X}, и, ассоциируя {(x, 0) | x ∈ X} с X, получаем изоморфизм двух C-линейных пространств: X�C = X + iX. Пространство функций Φ, заданное в (2.1), является R-линейным пространством. Таким образом, мы вправе рассмотреть его внешнюю комплексификацию Φ�C =Φ + iΦ; тогда всякий элемент φ1 + iφ2 ∈ Φ умножается на произвольное комплексное число a + ib по правилу: (a + ib)(φ1 + iφ2)= (aφ1 - bφ2)+ i(aφ2 + bφ1). 3. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И ПЕТТИСА ДЛЯ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. Случай внутренней комплексификации. Пусть (X, · ) - это вещественное банахово пространство с комплексифицирующим автоморфизмом u, а XC - его внутренняя алгебраическая комплексификация. Имеются примеры, показывающие, что норма · в X необязательно совместима с комплексной структурой XC (см. [12, п. 4]). Однако существуют некоторые способы определения новых норм на X, которые уже будут совместимы с комплексной структурой. Рассмотрим следующую формулу: x C := sup{ x cos θ + u(x) sin θ : θ ∈ [0, 2π] }, (3.1) θ Следующее утверждение было доказано в [3]. Для удобства приведем доказательство и здесь. Лемма 3.1. Формула (3.1) задает норму на внутренней комплексификации XC пространства X; кроме того, если u непрерывен, то x � x C � (1 + u ) x . (3.2) Доказательство. Доказательство того, что (3.1) обладает всеми свойствами нормы на XC, является прямым, кроме доказательства факта, что ∀λ ∈ C λx C = |λ|· x C. (3.3) Возьмем λ ∈ C и представим тогда λ = |λ|· (cos θλ + i sin θλ), λx C = |λ|· (cos θλ + i sin θλ) · x C = |λ|· x cos θλ + u(x) sin θλ C = = |λ|· sup { (x cos θλ + u(x) sin θλ) · cos θ + u(x cos θλ + u(x) sin θλ) · sin θ : θ ∈ [0, 2π]} = θ = |λ|· sup { x(cos θλ · cos θ - sin θλ · sin θ)+ u(x)(sin θλ · cos θ + cos θλ · sin θ : θ ∈ [0, 2π]} = θ = |λ|· sup { x cos(θλ + θ)+ u(x) sin(θλ + θ) : θ ∈ [0, 2π]} = θ f1 1 = |λ|· sup 1x cos θ + u(x) sin θ 1 : θ ∈ [0, 2π] = |λ|· x C, 1 1 θ что доказывает (3.3). Наконец, чтобы доказать (3.2), отметим сперва, что x = x cos 0 + u(x) sin 0 - это некоторый элемент множества { x cos θ + u(x) sin θ : θ ∈ [0, 2π]}, тогда x � x C. Возьмем теперь произвольный θ ∈ [0, 2π]. Так как u непрерывно, получим, что x cos θ + u(x) sin θ � (1 + u ) · x . Замечание 3.1. Если u непрерывно, то из (3.2) можно заключить: 1. если (X, · ) - вещественное банахово пространство, то (XC, · C) - комплексное банахово пространство; 2. нормы · и · C порождают эквивалентные топологии; 3. нельзя утверждать, что нормы · и · C эквивалентны, потому что понятие эквивалентности норм применимо только к нормам, действующим на линейных пространствах с одинаковыми скалярами. Обозначим, как обычно, через B(X) и B(XC) соответствующие борелевские σ-алгебры. Очевидно, что (X, B(X)) и (XC, B(XC)) - измеримые пространства. В дальнейшем речь пойдет о (Ω, A, μ), конечном пространстве с мерой μ : A -→ R, и об X, вещественном нормированном пространстве с непрерывным комплексифицирующим автоморфизмом u. Как известно, функция ψ :Ω -→ X называется простой, если она имеет форму k ψ = \ vj χA j j=1 k где vj ∈ X, Aj ∈ A, j = 1,...,k - непересекающиеся множества такие, что Ω= J Aj . Интеграл j=1 от простой функции ψ по A ∈A определяется как r k ψdμ = \ vj μ(A ∩ Aj ). A j=1 Обозначим через J и JC множества простых функций из Ω в X и из Ω в XC, соответственно; ясно, что J - это R-линейное пространство, а JC - C-линейное пространство. Если задана функция ψ : Ω → X, записываем ψC, если X рассматривается как XC. Скажем, что ψC -комплексная версия ψ. Очевидно, что значения ψC и ψ одинаковы, однако они принадлежат линейным пространствам различной природы, т. е. ψ принадлежит множеству {ϕ :Ω -→ X | ϕ является функцией} , являющемуся вещественным линейным пространством, а ψC принадлежит {ϕC :Ω -→ XC | ϕC является функцией} , которое является комплексным линейным пространством. Вспомним также следующее определение (см. [19]). Определение 3.1. Функция ψ :Ω → X называется сильно измеримой, если существует такая последовательность {ψn} из J , что lim n→∞ ψn(ω) - ψ(ω) =0 μ-п.в. в Ω. Далее приведем аналогичное определение: Определение 3.2. Функция ψC : Ω → XC называется сильно измеримой, если существует такая последовательность {ψnC} из JC, что lim n→∞ ψnC(ω) - ψC(ω) C =0 μ-п.в. в Ω. Обозначим через B и BC множества всех функций ψ :Ω -→ X и ψC :Ω -→ XC, которые сильно измеримы. Если заданы ψ ∈ B и ψC ∈ BC, возьмем последовательности простых функций {ψn} и {ψnC} такими, что lim n→∞ ψn(ω) - ψ(ω) =0 почти всюду относительно μ (далее будем использовать обозначение «μ-п.в.») и lim n→∞ ψnC(ω) - ψC(ω) C =0 μ-п.в. в Ω. Вспомним (см. [19]), что интегралы Бохнера от ψ и ψC определяются следующим образом: r (B) Ω r ψ := lim n→∞ Ω ψn, (3.4) r (B) Ω r ψC := lim n→∞ Ω ψnC. (3.5) Как известно, интеграл Бохнера не зависит от выбора последовательности {ψn} or {ψnC}. Из уравнения (3.2) имеем: lim n→∞ n ψnC(ω) - ψC(ω) C =0 тогда и только тогда, когда lim →∞ ψn(ω) - ψ(ω) = 0, а учитывая замечание 3.1, получаем следующую теорему. Теорема 3.1. При вышеизложенных условиях ψ является сильно измеримой тогда и только тогда, когда сильно измерима ψC; кроме того, если задано A ∈ A, функция ψ интегрируема по Бохнеру на A тогда и только тогда, когда интегрируема по Бохнеру ψC, и r (B) A r ψ dμ = (B) A ψC dμ ∀ A ∈ A, где r (B) A ψ dμ обозначает интеграл Бохнера от ψ на A. Теперь вспомним понятие слабо измеримых функций. В первую очередь, как обычно, обозначим ∗ X∗ := {ϕ : X -→ R | ϕ - вещественная линейная} , XC := {ϕ : XC -→ C | ψ - комплексная линейная} . C Пусть даны ψ ∈ X∗ , ψ = ψ1 + iψ2, где ψ1, ψ2 : X -→ R. Так как ψ, в частности, C-линейна, имеем: или, что эквивалентно, откуда что сводится к ψ(ix)= iψ(x)= i(ψ1(x)+ iψ2(x)), ψ1(ix)+ iψ2(ix)= -ψ2(x)+ iψ1(x), ( ψ1(ix) = -ψ2(x), ψ1(x) = ψ2(ix), ψ2(x)= -ψ1(ix). (3.6) С учетом (3.6) и учитывая то, что автоморфизм u играет роль умножения на i, имеем: C ψ(x)= ψ1(x) - iψ1(ix)= ψ1(x) - i(ψ1 ◦ u)(x). (3.7) Говоря иначе, существует взаимно-однозначное отношение между X∗ и X∗ определяемое в (3.7). X∗ C Э ψ ←→ ψ1 ∈ X∗, Напомним еще немного определений. Определение 3.3. Функция f :Ω -→ X является R-слабо измеримой, если для любого ϕ ∈ X∗ вещественнозначная функция ϕ ◦ f : Ω -→ R измерима, а именно: существует {ϕn} , последовательность простых функций ϕ :Ω -→ R такая, что lim n → ∞|ϕn(ω) - (ϕ ◦ f )(ω)| =0 μ-п.в. на Ω. Определение 3.4. Функция g : Ω -→ XC является C-слабо измеримой, если для любого ψ ∈ X∗ C комплекснозначная функция ψ ◦ g :Ω -→ C измерима. Определение 3.5. Слабо измеримая функция f : Ω -→ X такая, что x∗ ◦ f ∈ L1 для всех x∗ ∈ X∗, называется интегрируемой по Петтису, если для всякого измеримого множества A ∈A существует такой элемент xA ∈ X, что r x∗(xA)= x∗ ◦ f ∀x∗ ∈ X∗. A В этом случае элемент xA называется интегралом Петтиса от f и обозначается как r xA = (P) A fdμ. Здесь возникает вопрос: если f : Ω -→ X является R-слабо измеримой, является ли функция fC :Ω -→ XC C-слабо измеримой? Следующая теорема дает положительный ответ на этот вопрос и, помимо этого, устанавливает отношение между соответствующими интегралами Петтиса. Теорема 3.2. Пусть (Ω, A, μ) определяется, как и ранее. Функция ψ : Ω -→ X является слабо измеримой тогда и только тогда, когда слабо измерима ψC :Ω -→ XC. Кроме того, на A ∈A функции ψ и ψC интегрируются по Петтису одновременно, и r (P) A r ψC dμ = (P) A ψ dμ. (3.8) Доказательство. Пусть дана слабо измеримая ψ, тогда ϕ∗ ◦ ψ измерима для любых ϕ∗ ∈ X∗. C Возьмем φ∗ ∈ X∗ . Из (3.7) знаем их вид: φ∗ = φ∗ - i(φ∗ ◦ u) при φ∗ ∈ X∗. (3.9) 1 1 1 1 Очевидно, что φ∗ ◦ u ∈ X∗, более того, φ∗ ◦ ψC = (φ∗ - iφ∗ ◦ u) ◦ ψC = φ∗ ◦ ψ - i(φ∗ ◦ u) ◦ ψ. 1 1 1 1 Из этой зависимости можно заключить, что ψ слабо измерима тогда и только тогда, когда слабо измерима ψC. Предположим теперь, что ψC - слабо измеримая, а φ∗ ◦ ψC интегрируема по Лебегу при любых C φ∗ ∈ X∗ , тогда из (3.9) следует, что интегралы r φ∗ ◦ ψC dμ и A r 1 φ∗ ◦ ψ dμ, A r 1 (φ∗ ◦ u) ◦ ψ dμ A существуют одновременно, т. е., φ∗ ◦ ψC является интегрируемой по Лебегу тогда и только тогда, когда интегрируемы по Лебегу φ∗ ◦ ψ и (φ∗ ◦ u) ◦ ψ. 1 1 Предположим, что ψC интегрируема по Петтису. Возьмем A ∈ A и положим xA ∈ XC таким, что r φ∗(xA)= C φ∗ ◦ ψC ∀φ∗ ∈ X∗ . A Видим теперь, что xA из X, и можем утверждать, что r φ(xA)= A φ ◦ ψ ∀φ ∈ X∗. Действительно, имея φ ∈ X∗, возьмем C φ∗ := φ - i(φ ◦ u) ∈ X∗ , тогда r φ∗(xA)= φ(xA) - i(φ ◦ u)= r (φ - i(φ ◦ u)) ◦ ψ = r φ ◦ ψ - i (φ ◦ u) ◦ ψ, откуда следует A A A r φ ◦ ψ = φ(xA). A Так как φ ∈ X∗ и A ∈A были выбраны произвольными, можем заключить, что ψ также интегрируема по Петтису, и что для любого A ∈A r (P) A r ψdμ = (P) A ψCdμ. Аналогично доказывается и то, что, если ψ интегрируема по Петтису, то интегрируема по Петтису и ψC, и что справедливо (3.8). 2. Случай внешней комплексификации. Пусть, снова, X - это вещественное банахово пространство с нормой · . Известно множество норм · C в X�C, которые продолжают исходную норму · на X, а именно, x C = x для всех x ∈ X. Из того, что X�C допускает разложение X�C = X + iX, немедленно вытекают два следствия. Первое состоит в том, что X можно рассматривать как подмножество X�C, а второе - что X�C обладает инволюцией: Inv(x + iy) := x - iy ∀x, y ∈ X. Интересующие нас нормы должны сохраняться при инволюции: x + iy C = x - iy C ∀x, y ∈ X. (3.10) В работе [12] было доказано, что норма, определяемая как z C = x + iy C := sup ( f 2 x cos θ - y sin θ + y cos θ - x sin θ 2 1/2 | θ ∈ [0, 2π] для любых z = x + iy ∈ X�C, является нормой в C-линейном пространстве X�C и обладает следующими свойствами: 1. она продолжает исходную норму · на X; 2. она сохраняет норму инволюции, т. е. удовлетворяет (3.10); 3. X�C с этой нормой является комплексным банаховым пространством. Теперь рассмотрим топологию, порожденную · C, и обозначим через B(X�C) борелевскую σалгебру на X�C. Пусть (Ω, A, μ) определяется, как и ранее. Вновь, в силу разложения X�C любая заданная функция ψ :Ω -→ X�C принимает вид ψ = ψ1 + iψ2, где ψ1, ψ2 :Ω -→ X. Тем самым вполне очевидно, что ψ является простой функцией тогда и только тогда, когда ψ1 и ψ2 также простые; следовательно, в данном случае ψ и ψ1, ψ2 интегрируемы одновременно, а в последнем случае r r ψ dμ = A A r ψ1 dμ + i A ψ2 dμ ∀ A ∈ A. Следующая теорема описывает общую ситуацию. Теорема 3.3. При вышеизложенных условиях заданная функция ψ :Ω → X�C с разложением ψ = ψ1 + iψ2, где ψf : Ω → X, α ∈ {1, 2}, является сильно измеримой тогда и только тогда, когда сильно измеримы ψ1 и ψ2. Кроме того, сильно измеримая функция ψ интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда интегрируемы по Бохнеру функции ψ1 и ψ2, и в этом случае r (B) A r ψ dμ = (B) A r ψ1 dμ + i(B) A ψ2 dμ ∀ A ∈ A. Доказательство. Для сильно измеримой функции ψ существует последовательность функций {ψn}, сходящаяся к ψ μ-п.в. и разложимая в виде ψn = ψn1 + iψn2. По определению нормы · C имеем: ψn(ω) - ψ(ω) C = (ψn1(ω)+ iψn2(ω)) - (ψ1(ω)+ iψ2(ω)) C = = (ψn1(ω) - ψ1(ω)) + i (ψn2(ω) - ψ2(ω)) C = 2 = sup {( (ψn1(ω) - ψ1(ω)) cos θ - (ψn2(ω) - ψ2(ω)) sin θ n2 2 n1 1 + (ψ (ω) - ψ (ω)) cos θ + (ψ (ω) - ψ (ω)) sin θ 2 1/2 + | θ ∈ [0, 2π] . (3.11) Так как θ =0 дает нам элемент из множества, по которому берется супремум, получим, что 2 ψn1(ω) - ψ1(ω) + ψn2(ω) - ψ2(ω) 2 � ψn(ω) - ψ(ω) C, (3.12) что доказывает, что функции ψ1 и ψ2 являются сильно измеримыми. Аналогично в обратную сторону: если ψ1 и ψ2 - сильно измеримые функции, то существуют последовательности функций {ψn1} и {ψn2} , которые сходятся к ψ1 и ψ2 μ-п.в., соответственно. Тогда, используя свойства нормы · C и неравенство треугольника, можно непосредственно доказать сходимость последовательности {ψn1 + iψn2} к ψ μ-п.в. Предполагая дополнительно, что ψ интегрируема по Бохнеру, получим: r lim n→∞ A ψn - ψ C dμ =0 ∀ A ∈ A, где ψn - простые функции. Из уравнений (3.11) и (3.12) можно сделать вывод, что r lim n→∞ A r n ψn - ψ C dμ =0 ⇔ lim →∞ A ψnf - ψf dμ = 0, для любых A ∈ A и α ∈ {1, 2}. Таким образом, интегрируемость функции ψ эквивалентна интегрируемости функций ψ1 и ψ2. Отметим, что ⎧ ⎫ ⎨r ⎬ ψn dμ ⎩A ⎭ ⎧ и ⎨r ⎩A ⎫ dμ ψnf ⎬ ⎭ при α = 1, 2 являются последовательностями Коши в X�C и X, соответственно. Следовательно, для любого A ∈A справедливо: r lim n→∞ A r ψn dμ = lim n→∞ A ⎛r ⎝ (ψn1 + iψn2) dμ = lim n→∞ A r ψn1 dμ + i A r ⎞ ψn2 dμ⎠ = r Как следствие имеем: r r = lim n→∞ A r ψn1 dμ + i lim n→∞ A ψn2 dμ. (3.13) (B) A ψ dμ = (B) A ψ1 dμ + i(B) A ψ2 dμ ∀ A ∈ A. Теперь мы хотим установить связь между функцией ψ : Ω -→ X�C и ее компонентами ψ1, ψ2 :Ω -→ X, где ψ = ψ1 + iψ2, в смысле слабой измеримости и интегрируемости по Петтису. Теорема 3.4. При вышеизложенных условиях заданная функция ψ :Ω -→ X�C с разложением ψ = ψ1 + iψ2, где ψ1, ψ2 :Ω -→ X, является слабо измеримой тогда и только тогда, когда слабо измеримы ψ1 and ψ2. Кроме того, ψ интегрируема по Петтису тогда и только тогда, когда интегрируемы по Петтису ψ1 и ψ2, и r (P) A r ψ dμ = (P) A r ψ1 dμ + i(P) A ψ2 dμ ∀ A ∈ A. Доказательство. Возьмем ψ :Ω → X�C. Для любой φ∗ ∈ (X�C)∗ при φ∗ = φ∗ + iφ∗, 1 2 f где φ∗ : X�C → R - вещественные линейные функционалы при α ∈ {1, 2}, выполняется следующее: φ∗ ◦ ψ = φ∗ ◦ (ψ1 + iψ2)= (φ∗ ◦ ψ1)+ i(φ∗ ◦ ψ2)= = ((φ∗ + iφ∗) ◦ ψ1)+ i((φ∗ + iφ∗) ◦ ψ2)= (φ∗ ◦ ψ1 - φ∗ ◦ ψ2)+ i(φ∗ ◦ ψ2 + φ∗ ◦ ψ1). (3.14) 1 2 1 2 1 2 1 2 Из уравнения (3.14) следует, что φ∗ ◦ ψ измерима по Лебегу тогда и только тогда, когда функции 1 ◦ ψ1 - φ2 ◦ ψ2 и φ1 ◦ ψ2 + φ2 ◦ ψ1 (3.15) φ∗ ∗ ∗ ∗ измеримы по Лебегу. Таким образом, отсюда немедленно следует, что если ψ1 и ψ2 слабо измеримы, то слабо измерима и ψ. Аналогично в обратную сторону: если ψ слабо измерима, докажем, ϕ∗ что слабо измеримы ψ1 и ψ2. Возьмем ϕ∗ ∈ X∗ и определим : X�C → C как (x1 + ix2) := ϕ (x1)+ iϕ (x2) (3.16) ϕ∗ ∗ ∗ ϕ∗ для любых x1 + ix2 ∈ X�C. Можно непосредственно показать, что является C-линейным функционалом. Предположение о том, что φ∗ ◦ ψ интегрируема по Лебегу, вместе с (3.14) приводит к тому, что ϕ∗ ◦ ψ1 - ϕ∗ ◦ ψ2 и ϕ∗ ◦ ψ2 + ϕ∗ ◦ ψ1 измеримы по Лебегу; следовательно, их разность и сумма также измеримы, и, так как ϕ∗ произвольна, это доказывает, что ψ1 и ψ2 слабо измеримы. Первая часть доказательства завершена. Что касается интегрируемости по Лебегу, уравнение (3.14) означает, что интегралы r φ∗ ◦ ψ dμ A и r r (φ∗ ◦ ψ1 - φ∗ ◦ ψ2) dμ, (φ∗ ◦ ψ2 + φ∗ ◦ ψ1) dμ 1 2 1 2 A A имеют конечные значения одновременно. Этот факт, наравне со схожим рассуждением в предыдущем разделе, позволяет утверждать, что φ∗ ◦ ψ интегрируема по Лебегу для любой φ∗ ∈ (X�C)∗ тогда и только тогда, когда ϕ∗ ◦ ψ1 и χ∗ ◦ ψ2 интегрируемы по Лебегу для любых ϕ∗, χ∗ ∈ X∗. Предположим дополнительно, что ψ интегрируема по Петтису. Тогда для любого заданного A ∈A существует единственный xA ∈ X�C такой, что r φ∗(xA)= φ∗ ◦ ψ dμ ∀ φ∗ ∈ ∗ X�C . (3.17) Из (3.14) имеем r r φ∗ ◦ ψ dμ = A [(φ∗ ◦ ψ1 - φ∗ ◦ ψ2)+ i((φ∗ ◦ ψ2 + φ∗ ◦ ψ1))] dμ = 1 2 1 2 A A r r = (φ∗ ◦ ψ1 - φ∗ ◦ ψ2) dμ + i ((φ∗ ◦ ψ2 + φ∗ ◦ ψ1)) dμ. (3.18) 1 2 1 2 A A С другой стороны, поскольку xA = x1A + ix2A, выполняется: φ∗(xA)= φ∗(x1A + ix2A)= φ∗(x1A)+ iφ∗(x2A)= = (φ∗ + iφ∗)(x1A)+ i(φ∗ + iφ∗)(x2A)= (φ∗(x1A) - φ∗(x2A)) + i(φ∗(x2A)+ φ∗(x1A)). (3.19) 1 2 Утверждаем, что 1 2 1 2 1 2 r (P) A ψf dμ = xfA, α ∈ {1, 2}. Действительно, возьмем любую ϕ∗ ∈ X∗ и рассмотрим, как в (3.16), C-линейный функционал ϕ∗ := ϕ∗ + iϕ∗. Таким образом, из (3.18) и (3.19) получим, что r ϕ∗(x1A) - ϕ∗(x2A)= r (ϕ∗ ◦ ψ1 - ϕ∗ ◦ ψ2) dμ = r ϕ∗ ◦ ψ1dμ - ϕ∗ ◦ ψ2dμ A и r ϕ∗(x2A)+ ϕ∗(x1A)= A A r (ϕ∗ ◦ ψ2 + ϕ∗ ◦ ψ1) dμ = A A r ϕ∗ ◦ ψ2dμ + A ϕ∗ ◦ ψ1dμ, откуда следует, что r ϕ∗(x1A)= r ϕ∗ ◦ ψ1dμ и ϕ∗(x2A)= ϕ∗ ◦ ψ2dμ, A A а поскольку ϕ∗ была выбрана произвольно, то получаем доказательство утверждения. Аналогично действуем и при доказательстве в обратную сторону. Предположим, что ψ1 и ψ2 интегрируемы по Петтису. Тогда для любого заданного A ∈ A существуют такие x1A и x2A, что для всех ϕ ∈ X∗ справедливо Покажем, что r (P) A r ψ1 dμ = x1A и (P) A r ψ2 dμ = x2A. (P) A ψ dμ = x1A + ix2A. Действительно, как и ранее, возьмем φ∗ ∈ (X�C)∗, где φ∗ = φ∗ + iφ∗, φ∗ : X�C → R при α ∈ {1, 2}. Из (3.18) и (3.19) имеем: 1 2 f r r φ∗ ◦ ψ dμ = A A r 1 φ∗ ◦ ψ1dμ - A ⎛r 2 φ∗ ◦ ψ2dμ + i ⎝ A r 1 φ∗ ◦ ψ2 dμ + A ⎞ 2 φ∗ ◦ ψ1 dμ⎠ = = (φ∗(x1A) - φ∗(x2A)) + i (φ∗(x2A)+ φ∗(x1A)) = φ∗(x1A + i x2A). 1 2 1 2 И вновь, поскольку φ∗ ∈ (X�C)∗ была выбрана произвольно, мы можем заключить, что утверждение верно. Таким образом, теорема доказана. 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ПРИНИМАЮЩИХ ЗНАЧЕНИЯ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Хотя данный раздел и является главным в нашей работе, введенные нами определения и доказанные теоремы позволяют описать и подать его содержание как немедленное следствие предыдущих разделов. Безусловно, все нижеизложенное по-прежнему сохраняет все мелкие детали и тонкости, представленные выше. Начнем со случая банаховых пространств. В данном разделе (Ω, A, μ) будет обозначать вероятностное пространство, т. е. теперь μ(Ω) = 1. Более того, будем использовать P вместо μ. Выпишем для удобства некоторые определения, приведенные в [8, 17, 21, 22, 25]. Пусть Z - вещественное или комплексное банахово пространство. 1. Простая функция ψ : Ω → Z называется простой случайной величиной (п.с.в. для краткости), если существуют z1,..., zn из Z и A1,..., An из A такие, что n n i Ai ∩ Aj = ∅ при i ≡= j, Ω= I Ai, ψ = \ ziIA , где IAi - характеристическая функция Ai. i=1 i=1 2. Интеграл от простой случайной величины называется ее математическим ожиданием (или просто ожиданием) ES [ψ], т. е. n ES [ψ] := \ ziP (Ai). i=1 3. Отображение ψ : Ω → Z называется сильной случайной величиной (с.с.в. для краткости), если ψ - сильно измеримая функция, а именно, существует последовательность п.с.в. {ψn} такая, что lim n→∞ 4. Если ψ - это с.с.в., и, кроме того, lim ψn - ψ =0 P -п.в. r ψn - ψ dP = 0, n→∞ Ω то ее математическое ожидание определяется через интеграл Бохнера: ESt[ψ] := lim n→∞ ES [ψn]. 5. Отображение ψ : Ω → Z называется слабой случайной величиной (сл.с.в. для краткости), если ψ - слабо измеримая функция, т. е. для всякой φ∗ ∈ Z∗ композиция φ∗ ◦ ψ является измеримой функцией и в данном случае называется случайной переменной (с.п.). 6. Если ψ - это сл.с.в., и, кроме того, E[φ∗ ◦ ψ] < ∞ для всех φ∗ ∈ Z∗ (другими словами, ψ - интегрируемая по Петтису функция), ее интеграл Петтиса называется математическим ожиданием ψ. Это означает, что существует единственный элемент zψ ∈ Z такой, что φ∗(zψ )= E[φ∗ ◦ ψ] ∀ φ∗ ∈ Z∗. Такой элемент zψ обозначается через EW [ψ]. Таким образом, выполняется следующее: для всякой φ∗ ∈ Z∗ φ∗(EW [ψ]) = E[φ∗ ◦ ψ]. 1. Случай внутренней комплексификации. Пусть теперь X - вещественное банахово пространство с комплексифицирующим автоморфизмом u; пусть XC - его внутренняя алгебраическая комплексификация; напомним, что если u непрерывен, то XC является комплексным банаховым пространством с нормой · C, задаваемой уравнением (3.1), а (XC, B(XC)) - измеримое пространство. Из определений выше вытекают три теоремы, являющиеся прямыми следствиями ранее доказанных теорем. Теорема 4.1. Пусть ψ определяется, как и ранее, и пусть ψC : Ω → XC. Тогда ψ является п.с.в тогда и только тогда, когда ψC тоже п.с.в., и в данном случае ES [ψ]= ES [ψC]. Теорема 4.2. При вышеизложенных условиях ψ является с.с.в. тогда и только тогда, когда ψC тоже с.с.в. Кроме того, ψ обладает математическим ожиданием тогда и только тогда, когда математическим ожиданием обладает и ψC, и в данном случае ESt[ψ]= ESt[ψC]. Теорема 4.3. При вышеизложенных условиях ψ является сл.с.в. тогда и только тогда, когда ψC тоже сл.с.в. Кроме того, ψ и ψC обладают математическими ожиданиями одновременно, и в данном случае EW [ψ]= EW [ψC]. 2. Случай внешней комплексификации. Теперь перейдем к случайным величинам, принимающим значения из внешней комплексификации X�C, которая является комплексным банаховым пространством с нормой · C; кроме того, (X�C, B(X�C)) является измеримым пространством. Теорема 4.4. Заданное отображение ψ = ψ1 + iψ2 :Ω → X�C является п.с.в. тогда и только тогда, когда ψ1 и ψ2 являются п.с.в., и для их математических ожиданий справедливо: ES [ψ]= ES [ψ1]+ iES [ψ2]. Теорема 4.5. Заданное отображение ψ = ψ1 + iψ2 :Ω → X�C является с.с.в. тогда и только тогда, когда ψ1 и ψ2 являются с.с.в., и для их математических ожиданий справедливо: ESt[ψ]= ESt[ψ1]+ iESt[ψ2]. Теорема 4.6. Отображение ψ = ψ1 + iψ2 : Ω → X�C является сл.с.в. тогда и только тогда, когда ψ1 и ψ2 являются сл.с.в. Кроме того, математическое ожидание ψ существует тогда и только тогда, когда существуют математические ожидания ψ1 и ψ2, и выполняется: EW [ψ]= EW [ψ1]+ iEW [ψ2]. 3. Гильбертовы пространства и внутренняя комплексификация. Рассмотрим теперь случай, когда H - вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением ⊆·, ·)R, сле- 1 R довательно, H - это банахово пространство с нормой h := ⊆h, h) 2 . Будем считать u комплексифицирующим автоморфизмом в H. Таким образом, HC теперь C-линейное пространство. Здесь возникает один нюанс. Скалярное произведение - это функция ⊆·, ·)R : H × H -→ R; если мы хотим, чтобы HC также было комплексным гильбертовым пространством, нам необходимо комплексное скалярное произведение: ⊆·, ·)C : HC × HC -→ C В работе [12] было доказано, что, если комплексифицирующий автоморфизм u удовлетворяет ⊆u(x1), x2)R = -⊆x1, u(x2))R ∀ x1, x2 ∈ H, (4.1) то во внутренней алгебраической комплексификации HC можно ввести следующее скалярное произведение: ⊆h1, h2)C := ⊆h1, h2)R + i⊆h1, u(h2))R. (4.2) Соответствующая норма · C продолжает исходную, а именно, h C = h для любого h ∈ HC; кроме того, HC - комплексное гильбертово пространство. Так как, в частности, HC - также и комплексное банахово пространство, то все полученные в разделе 3 результаты верны и в данном случае. Теорема 4.7. При вышеизложенных условиях справедливо: 1. Отображение ψ : Ω → H является п.с.в., с.с.в. или сл.с.в. тогда и только тогда, когда ψC является п.с.в., с.с.в. или сл.с.в., соответственно. Кроме того, ψ и ψC обладают математическими ожиданиями E•[ψ] одновременно, и E•[ψC]= E•[ψ]. Здесь мы используем символ E• для обозначения ES , ESt или EW . 2. Если ψ - это случайная величина (простая, сильная или слабая) с математическим ожиданием E•[ψ], то для любых h ∈ HC имеем: ⊆E•[ψC], h)C := ⊆E•[ψ], h) + i⊆E•[ψ], u(h)). Доказательство. Доказательство пункта 1 немедленно вытекает из теорем 4.1, 4.2 и 4.3. 2. Пусть задан любой h ∈ HC, и пусть φ∗ ∈ H∗ - соответствующий элемент такой, что h C ∗ φh(x)= ⊆x, h)C, ∀x ∈ XC. (4.3) Если ψ - случайная величина (простая, сильная или слабая) с математическим ожиданием E•[ψ], то по пункту 1 таковой является и ψC, и r ∗ φh(E•[ψC]) = Ω ∗ φh ◦ ψ dP = ⊆E•[ψC], h)C. (4.4) Это уравнение совместно с (4.2) доказывает утверждение. 4. Гильбертовы пространства и внешняя комплексификация. Перейдем ко внешней алгебраической комплексификации H�C пространства H. В работе [12] было доказано, что H�C допускает следующее скалярное произведение: ⊆v, h)C = ⊆v1, h1) + ⊆v2, h2) + i[⊆v2, h1)- ⊆v1, h2)], (4.5) где v = v1 + iv2 и h = h1 + ih2 - это элементы из HC, что делает HC гильбертовым пространством; 1/2 следовательно, выполнено H�C является банаховым пространством с нормой h C := ⊆h, h)C , для которой C h 2 = h1 2 + h2 2. Как и ранее, (H�C, B(H�C)) является измеримым пространством. Теорема 4.8. При вышеизложенных условиях справедливо: 1. Отображение ψ = ψ1 + iψ2 : Ω → H�C является п.с.в., с.с.в. или сл.с.в. тогда и только тогда, когда таковыми являются и ψ1 и ψ2; кроме того, E•[ψ]= E•[ψ1]+ iE•[ψ2]. 2. Если ψ = ψ1 + iψ2 : Ω → H�C - случайная величина (простая, сильная или слабая) с математическим ожиданием E•[ψ], то для любых h = h1 + ih2 ∈ HC имеем: ⊆E•[ψ], h)C := ⊆E•[ψ1], h1) + ⊆E•[ψ2], h2) + i (⊆E•[ψ2], h1)- ⊆E•[ψ1], h2)) . Доказательство. Пункт 1 вытекает непосредственно из теорем 4.4, 4.5 и 4.6. Пункт 2 доказывается аналогично пункту 2 из теоремы 4.7, теперь с использованием (4.5). 5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ Следует отметить, что задачей данной работы является не определение математических объектов, рассматриваемых как комплекснозначные. Как отмечалось во введении, наша цель состоит в описании взаимосвязей между этими объектами при переходе от вещественно-линейных пространств к комплексно-линейным. Такая стратегия позволяет устанавливать некоторые свойства, которые иначе не обнаруживаются.

About the authors

M E Luna-Elizarrara´s

Holon Institute of Technology

Email: lunae@hit.ac.il

F Ram´ırez-Reyes

Holon Institute of Technology

Email: framirez@esfm.ipn.mx

M Shapiro

Holon Institute of Technology

Email: shapiro1945@outlook.com

References

Supplementary files