Точные ограничения аналитических функциональных пространств нескольких переменных

Полный текст

1. Введение Данная статья является второй частью наших заметок, посвященных проблеме следа в аналитических функциональных пространствах нескольких комплексных переменных, а именно в трубчатых, псевдовыпуклых и связанных с ними областях. Первая часть содержала обширный список недавних точных результатов в полидисковой и единичной полишаровой областях и была недавно опубликована в [43]. Пусть G -любая ограниченная или неограниченная область в Cn. Пусть f - аналитическая функция в G из некоторого фиксированного квазинормированного аналитического функционального пространства X(G). Данная обзорная статья посвящена следующей задаче: найти точные оценки множества |f(z,...,z)|, где z - произвольная точка из G в Cn. Очевидно, что очень похожая задача может быть поставлена в трубчатых областях над симметричными конусами и ограниченными сильно псевдовыпуклыми областями с гладкой границей, а также в произведениях областей такого типа в Cn. Эта проблема впервые была поставлена в книге У. Рудина [29] в 1969 году для следов пространств Харди в бидиске, и с тех пор появилось множество работ в этом направлении. Мы упомянем, например, старые работы [4, 5, 7, 18, 19, 23, 26, 70] и различные ссылки в них. Мы начали работу [43] со следовых результатов в простейших областях, а именно в единичном полидиске и единичном полишаре. В этой статье мы представляем новые результаты. Одна из целей данной работы - рассмотреть новое отображение следа в задаче о следе, связанной с теоремами вложения, для случая ограниченных сильно псевдовыпуклых (или трубчатых) областей D с гладкой границей; это отображение Trf(z) = f(z,...,z), z ∈ D, при f ∈ X ⊂ H(Dm) для некоторого квазинормированного аналитического пространства X на Dm. Дадим точные определения. Определение 1.1. Пусть D - ограниченная или неограниченная область в - пространство всех аналитических функций в Dm = D × ... × D, m ∈ N. Мы говорим, что Trace(X) = Y, если X является квазинормированным подпространством H(Dm) и Y - некоторое фиксированное квазинормированное подпространство H(D), и если для каждого F ∈ X, F(z,... ,z) = f(z), f ∈ Y, и обратное также верно: для каждого g ∈ Y существует функция F ∈ X такая, что F(z,... ,z) = g(z) для всех z ∈ D. Это определение следов аналитических функциональных пространств, очевидно, легко может быть распространено на функциональные пространства, состоящие из гармонических и плюригармонических функций в произведениях нескольких переменных. Отметим, что ниже мы иногда заменяем Trace(X) = TraceX на более простую запись DX. В последние годы в этом направлении были получены различные новые интересные оценки и точные результаты. См., например, недавние работы [6, 11, 12, 24, 32-34, 37-41, 44-56, 58, 59, 69], а также множество ссылок в них. Цель данной работы - объединить все эти новые интересные результаты. Следует отметить, что в данной работе также будут рассмотрены различные новые открытые интересные проблемы, связанные с этой темой. В этой обзорной статье мы соберем множество старых и новых результатов, касающихся этой проблемы для многих аналитических функциональных пространств X в различных областях в Cn. Сначала мы приведем определения, необходимые для формулировки результатов такого типа, а затем сформулируем результаты (старые и новые) о следах. Замечание 1.1. Также отметим, что очень похожие задачи, теоремы о следах или различные оценки следов функций были представлены, доказаны и рассмотрены во многих сложных функциональных пространствах в Rn многими авторами. Мы отсылаем читателя, например, к работам [1, 25, 71] и многим другим ссылкам в них. Теоремы о следе также имеют интересные расширения и прекрасные приложения; мы, например, отсылаем читателя к работам Э. Амара, К. Менини [10] и Д. Кларка [16], где были представлены приложения и обобщения такого типа. В заключение отметим, что рассматриваемые теоремы о следах тесно связаны с проекциями типа Бергмана, действующими между функциональными пространствами различной размерности. Для удобства читателя эта обзорная статья организована следующим простым образом. Все результаты, касающиеся следов и связанных с ними результатов, разделены по областям. А именно, различные теоремы о следах, относящиеся к разным областям, будут собраны в соответствующих разделах. В данной статье особое внимание будет уделено недавним исследовательским работам первого автора, посвященным проблеме следа, и план статьи следующий: сначала приводятся различные определения разных интересных аналитических функциональных пространств в различных областях в Cn, а затем дается некоторая точная информация о следах функциональных пространств такого типа в C. Следует также отметить, что операторы следа могут рассматриваться в связи с различными теоремами вложения, и такие точные результаты будут также представлены в этой вводной статье в трубчатых или псевдовыпуклых областях. В заключительном разделе этой обзорной статьи собрано множество интересных замечаний и сформулированы различные интересные открытые вопросы для заинтересованных читателей, а также дано несколько интересных кратких комментариев, касающихся проблемы следов в различных простых и сложных областях в Cn в разных аналитических функциональных пространствах нескольких переменных. Также добавлены некоторые новые результаты, касающиеся следов в пространствах гармонических функций нескольких переменных. Заинтересованный читатель легко заметит, что в данной статье все теоремы о следах и аналитические пространства в трубчатых областях имеют полные аналоги в псевдовыпуклых областях, а формулировки наших результатов, касающихся следов в этих совершенно разных областях в Cn, также имеют сходства. В работах [6, 24, 32-34, 44-49] первым автором были начаты исследования следов различных аналитических функций в простых областях, таких как бидиск, полидиск, полишар. Позже эти вопросы были рассмотрены в более сложных областях в Cn, таких как трубчатые и ограниченные сильно псевдовыпуклые области, а также в аналитических функциональных пространствах смешанного типа нормы и типа Бергмана на них. 2. Следы аналитических функций в сильно псевдовыпуклых областях В этом разделе собраны несколько недавних результатов о следах в многогранных и псевдовыпуклых областях из работ первого автора [52-54]. Ниже мы определяем различные аналитические функциональные пространства в контексте ограниченных псевдовыпуклых областей и приводим описания их следов или оценки размеров их следов. Сначала первым автором были представлены различные (точные) результаты о следах в единичном шаре совместно с О. Михичем, а позже они были распространены на аналогичные аналитические функциональные пространства в ограниченных сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей в Cn в совместных работах с О. Михичем и С. Куриленко. Для определения дифференциального оператора Dα, который появляется ниже в определении пространств, мы ссылаемся на статью Дж. Фабреги и Дж. Ортеги [27]. Для получения базовых сведений об интегралах Мартинелли-Бохнера и ядрах Мартинелли- Бохнера U(z,w), которые приводятся ниже, мы отсылаем заинтересованного читателя к научным статьям, упомянутым в приведенных ниже теоремах. Пусть D ⊂ Cn - область, т. е. открытое связное подмножество. Говорят, что D является псевдовыпуклой (или псевдовыпуклой по Хартогсу), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция ϕ на G такая, что множество {z ∈ D | ϕ(z) < x} является относительно компактным подмножеством D для всех действительных чисел x. Другими словами, область является псевдовыпуклой, если D имеет непрерывную плюрисубгармоническую исчерпывающую функцию. Каждое (геометрически) выпуклое множество является псевдовыпуклым. Однако существуют псевдовыпуклые области, которые не являются геометрически выпуклыми. Когда D имеет границу класса C2 (дважды непрерывно дифференцируемую), это понятие совпадает с псевдовыпуклостью Леви, с которой проще работать. Более конкретно, для границы класса C2 можно показать, что D имеет определяющую функцию, т. е. существует ρ : Cn → R, которая является C2-гладкой, такая, что D = {ρ < 0}, и ∂D = {ρ = 0}. Теперь D является псевдовыпуклой тогда и только тогда, когда для каждого p ∈ ∂G и w в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е. , выполняется . Приведенное выше определение аналогично определениям выпуклости в действительном анализе. Пусть D - псевдовыпуклая область в C, D˜α - дифференциальный оператор в D, 0 < p,q < < +∞. Пространства аналитических функций Харди-Соболева и Бергмана-Бесова (см. [27]): , , где Dr = {z ∈ Cn : ρ(z) < (-r)}, ∂Dr - граница, dσr - нормированная мера поверхности на ∂Dr, а через dr обозначен нормированный элемент объема на , k = 0,1,2... , и , (для p,q < 1 это квазинорма, см. [27]). Легко показать, что эти пространства являются банаховыми пространствами при . Кроме того, при p = q мы имеем , где dv(ζ) (или иногда dV (ζ)) - нормированная мера Лебега на D (для k = 0 мы будем использовать другое, более удобное обозначение для пространств Apα). Как мы видим, для p = q, k = 0 мы получаем обычные пространства Бергмана Apδ(D) = Apα(D). Мы естественным образом определяем те же пространства в произведениях областей: Dm = = D × ... × D. В теоремах 2.1-2.2 приводятся некоторые аналоги результатов о следах в терминах интегралов и ядер Мартинелли-Бохнера. Сформулируем теорему 2.1 в контексте единичного шара B в Cn, но аналогичные результаты могут быть справедливы и в ограниченных сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей. Теорема 2.1 (см. [39]). 1. Пусть, тогда Trace(Hα,βp (Bm)); 2. Пусть Тогда Trace(. Теорема 2.2 (см. [39]). 1. Пусть тогда Trace(Hα,βp (Bm)) содержит функцию, для которой (IR) 2. Пусть Тогда Trace( содержит функцию f, для которой допустимо интегральное представление (IR). В работе [38] рассматривались аналитические пространства Блоха в сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей, пространства смешанной нормы и так называемые новые пространства аналитических функций типа Герца в областях того же типа. Пусть D - ограниченная сильно псевдовыпуклая область Cn с границей C∞. Предположим, что сильно плюрисубгармоническая функция ρ принадлежит классу C∞ в окрестности D,¯ для . Пусть также δ:D → R+ обозначает евклидово расстояние от границы, т.e. δ(z) = d(z,∂D); для r заданных r ∈ (0,1), z0 ∈ D, обозначим через BD(z0,r) шар с центром z0 и радиусом - . Нам также потребуется наличие подходящих покрытий из шаров Кобаяси. Определение 2.1. Пусть D ⊂ Cn - ограниченная область и r > 0. Назовем r-решеткой в D последовательность {ak} ⊂ D такую, что и существует m > 0 такая, что любая точка в D принадлежит не более чем m шарам вида . Пусть - нормированная мера Лебега на произведении областей. Мы обозначаем, как обычно, через dυγ = δγ(z)dυ(z) взвешенную меру Лебега на D и аналогично на произведениях таких областей, используя произведения δ-функций стандартным способом. Определим новые аналитические пространства типа Герца на произведениях псевдовыпуклых областей с гладкой границей в Cn следующим образом. Пусть . Это банаховы пространства при и полные метрические пространства при других значениях p и q. Зафиксируем r-решетку {ak} ∈ D. Для тех же значений параметров определим другое аналитическое пространство типа Герца в псевдовыпуклых областях с гладкой границей: . Если p = q, мы получаем классические пространства Бергмана на произведениях псевдовыпуклых областей с гладкой границей. Этот простой факт основан на свойствах r-решеток. Эти новые классы аналитических функций являются банаховыми пространствами для всех значений p,q таких, что min(p,q) > 1, и полными метрическими пространствами для других значений параметров. Рассматривая приведенные выше квазинормы, мы можем заменить внешние кратные интегрирования или кратные суммирования одним интегралом или одной суммой, определяющими аналогичные пространства с квазинормами: , p,q ∈ (0,+∞), α > -1, β > -1. Следы классов Kt,βq,p(Dm) можно описать следующим образом. . Пусть 0 < p < +∞, tj > -1, βj > -1, j = 1,... ,m, α > -1, α2 = . Тогда Trace(Kt,βp,p(Dm)) = Apα2. При тех же значениях параметров Trace(Kt,βp,p(Dm)) = Apα3, где . Более того, Trace(Kβq,p(Dm)) ⊂ Apα1, Trace(, где, для всех положительных значений p и q. Замечание 2.1. При m = 1 некоторые из этих утверждений очевидны. Для случая единичного шара в Cn эти утверждения были доказаны в работах [44, 46, 47, 49]. Ниже приведем еще одну новую теорему о точном следе для аналитических функциональных пространств типа Блоха в псевдовыпуклых областях с гладкой границей в Cn. Пусть , где = diam(D); ; , где rj > 0, j = 1,...,m; , где r > 0. В следующей теореме дается точный результат о следах аналитических пространств и Aln(r1,...,rm). Теорема 2.4 . 1. Пусть Тогда Trace(. 2. Пусть Тогда Trace(Aln(r1,...,rm)) = Aln(1). Рассмотрим далее следы пространств Бергмана со смешанной нормой на Dm: при В следующей теореме мы покажем, что следы аналитических пространств равны пространствам Apγm(D). Теорема 2.5 Пусть Пусть также Тогда Trace( Замечание 2.2. Для D = B (единичный шар) теорема 2.5 известна (см. [46]). В работе [52] также получены новые точные оценки для следов в пространствах типа Бергмана аналитических пространств в сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей. Пусть , где Следующая теорема дает точный результат о следах аналитических пространств. Теорема 2.6 (см. [52]). Пусть Тогда Trace. Также определим аналитические функциональные пространства типа Бесова на Dm ⊂ Cm: , где Следы классов для можно описать следующим образом. Теорема 2.7 Trace( при, где t0 достаточно велико. Оператор следа в приведенной ниже теореме связан с некоторыми новыми интересными теоремами о точном вложении в контексте ограниченных сильно псевдовыпуклых областей для пространств аналитических функций типа Бергмана, которые могут представлять самостоятельный интерес. Теорема 2.8 (см. [38]). Пусть 0 < p < +∞, sj > -1, j = 1,...,m. Пусть μ - положительная борелевская мера на D. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. 1; 2. 3. Далее определим пространства типа Герца в произведениях псевдовыпуклых областей D. Заметим, что, при рассмотрении весов и мер из контекста ясно, что рассматриваются произведения весов и произведения мер, а также интегрирование по произведениям областей, хотя это и не указано ниже. Пусть , где δ(z) = dist(z,∂D) и 0 < p,q < ∞, α > -1 с обычной модификацией, когда α является вектором. Заметим, что мы имеем классическое пространство Бергмана при p = q, банаховы пространства при min(q,p) > 1 и полные метрические пространства для других значений параметров. Здесь !zk" ⊂ D - это некоторые фиксированные r-решетки в ограниченных псевдовыпуклых областях с гладкой границей D. Заметим, что эти аналитические пространства в более высокой размерности зависят от последовательностей {zn}, но мы опускаем это в обозначениях пространств. Здесь через dV (z) обозначим нормированную меру Лебега на произведениях ограниченных псевдовыпуклых областей с гладкой границей. В следующей теореме показывается, что следы пространства равны пространствам Aqα1(D). Теорема 2.9 (см. [69]). Пусть и пусть β0,n0 достаточно велики. Тогда, т. е. , где. Пусть f ∈ Aqα1(D). Тогда можно найти функцию F такую, что = f(z), z ∈ D, а также Trace(. 3. Следы аналитических функций в трубчатых областях В этом разделе мы рассмотрим некоторые интересные задачи о следах в различных пространствах аналитических функций в трубчатых областях. Трубчатые области - это очень общие неограниченные области Зигеля, которые изучались во многих недавних работах Б. Сехбы и его соавторов за последние два десятилетия (см. [30, 31]). Список этих работ приведен в библиографии. Определение следов аналитических функциональных пространств в трубчатой области аналогично определению 1.1. В доказательствах всех теорем о следах, приведенных ниже, использовались хорошие свойства r-решеток в трубке. Эти важные r-решетки были изобретены А. Бонами и соавторами (см. [14]). Ниже мы приводим множество точных теорем о следах для различных функциональных пространств аналитических функций типов Бергмана и Герца. Все определения этих аналитических функциональных пространств даны ниже. Введем основные обозначения из [13, 14, 30]. Пусть TΩ = V + iΩ - трубчатая область над неприводимым симметричным конусом Ω в комплексификации V C n-мерного евклидова пространства V .˜ Обозначим ранг конуса Ω через r, а детерминантную функцию на V˜ через Δ. Пусть V˜ = Rn, тогда в качестве примера симметричного конуса на Rn рассмотрим конус Лоренца Λn, определенный для n 3 как Λn = {y ∈ Rn : y12 - ··· - yn2 > 0, y1 > 0}. Также мы обозначаем -произведения трубок как Ω × ... × TΩ, m ∈ N. Пространство всех аналитических функций на этом новом произведении областей, аналитических по каждой переменной в отдельности, будет обозначаться как H(Tm(Ω)). В работе [58] впервые в литературе рассматривается известная проблема, связанная с оценками следа в пространствах аналитических функций в неограниченных областях в Cn, а именно в трубчатых областях над симметричными конусами. В работе [59] авторы интересуются свойствами некоторых аналитических подпространств и получают новые точные оценки для следов в пространствах типа Бергмана аналитических функций в типичных областях Зигеля. Ниже через m мы будем обозначать натуральное число больше 1. Для τ ∈ R+ и соответствующей функции определителя Δ(x) мы полагаем (см. [14] и приведенные там ссылки). n p,q Приобозначим через Aν (TΩ) взвешенное пространство Бергмана со смешанной нормой, состоящее из аналитических функций f в TΩ, для которых . Известно, что пространство Ap,qν (TΩ) является нетривиальным тогда и только тогда, когда . При p = q мы пишем Ap,qν (TΩ) = Apν (TΩ). Для определения двух связанных пространств типа Бергманамогут быть также векторами) в m-произведениях трубчатых областей мы следуем стандартной процедуре. Например, положим для всех zj = xj + yj, τj ∈ R, j = 1,...,m, F(z) = F (z1,...,zm), , где Δτ(y) - произведение m-одномерных функций Δτj (yj), j = 1,...,m. Аналогично, пространство Бергмана Apτ можно определить на произведениях трубок для всех n Можно показать, что все эти пространства являются банаховыми пространствами. Заменив выше A на L, мы, как обычно, получим соответствующее большее пространство всех измеримых функций в произведениях трубок над симметричным конусом с той же квазинормой. Как и ранее в случае аналитических функций в единичном диске, полидиске, единичном шаре и верхнем полупространстве C+, а также как в доказательствах теорем о следе в случае пространств гармонических функций в евклидовом пространстве, роль формулы представления Бергмана имеет решающее значение. Следующая теорема полностью описывает следы пространств Бергмана. Теорема 3.1 (см. [58]). Пусть для фиксированного ν0 = ν0(p,n,r,m) для всех j = 1,...,m. Тогда с соответствующими оценками норм. Для всех , где p1 является сопряженным с p, верно и обратное. Для каждой функции g ∈ Aps (TΩ) существует функция F, F(z,...,z) = g(z), . Пусть также , где Тогда справедливы следующие утверждения для всех β > β0 для некоторого фиксированного достаточно большого положительного числа β0. Интегральный оператор типа Бергмана Tβ (расширенная проекция Бергмана) отображает , j = 1,...,m. Полный аналог этой теоремы верен также и для случая p = ∞. В следующей теореме мы подробно описываем следы пространств Блоха. Теорема 3.2 (см. [58]). Пусть для всех j = 1,...,m. Тогда . Верно и обратное: для каждой функции существует функция. Пусть также , где Тогда следующие утверждения справедливы для всех β > β0 при некотором фиксированном достаточно большом положительном числе β0. Интегральный оператор типа Бергмана Tβ (расширенная проекция Бергмана) отображает . Обозначим через взвешенное пространство Бергмана со смешанной нормой, состоящее из аналитических функций f в TΩ: . Это банахово пространство. Заменив выше A на L, мы, как обычно, получим соответствующее большее пространство всех измеримых функций в трубке над симметричным конусом с той же нормой. Определим новое банахово пространство (аналитические пространства типа Герца) в трубчатых областях над симметричными конусами следующим образом. Пусть сначала лок. интегрируема в, где Для определения следующего пространства функций напомним читателю, что семейство шаров Бергмана Bδ(z) образует r-решетку в трубчатой области TΩ. Обозначим через Bδm(z) стандартное декартово m-произведение таких шаров Бергмана в Cm, z = (z1,...,zm). Через Sν,τp обозначим все функции f, аналитические в, такие что принадлежит , где с той же нормой (см. [20, 31]). В следующей теореме подробно опишем следы общих пространств со смешанной нормой. Теорема 3.3 (см. [59]). Пусть для фиксированного ν0 = ν0(n,p,r,m), j = 1,...,m. Тогда с соответствующими оценками норм. Для всех для некоторого фиксированного достаточно большого верно и обратное. Для каждой функции g ∈ Apsm (TΩ) существует функция . Пусть также , где Тогда следующее утверждение выполняется для всех β > β0 для некоторого фиксированного достаточно большого положительного числа Интегральный оператор типа Бергмана Tβ (расширенная проекция Бергмана) отображает , j = 1,...,m. Для случая pj = p, j = 1,...,m при эта теорема была доказана в [58]. Для m = 1 эта теорема очевидна. Для n = 1 имеем верхнее полупространство C+, эта теорема была доказана в [49]. Теоремы 3.4, 3.5 полностью описывают следы новых пространств Герца. Теорема 3.4 (см. [59]). Пусть νj > ν0 и τj > τ0 для некоторых фиксированных положительных чисел. Пусть. Тогда f(z,...,z) принадлежит, и для каждой функции f ∈ Aps (TΩ) существует функция F ∈ Sν,τp такая, что F(z,... ,z) = f(z) для всех n . Пусть также , где Тогда следующее утверждение выполняется для всех β > β0 для некоторого фиксированного достаточно большого положительного числа β0. Интегральный оператор проекции Бергмана Tβ отображает Для p = 1 эта теорема была доказана в работе [58] в трубчатых областях. Далее определим пространства типа Герца в произведениях трубчатых областей TΩ. В работе [69] представлены новые точные результаты о следах в некоторых новых аналитических пространствах типа Герца в некоторых общих областях (неограниченные типичные области Зигеля второго типа) в Cn (трубчатые области). Эти пространства служат естественными обобщениями классических пространств Бергмана. Заметим, что здесь при использовании весов и мер из контекста ясно, что рассматриваются произведения весов и произведения мер. Пусть , где 0 < p,q < ∞, α > -1 с обычной модификацией, когда α является вектором. Заметим, что при p = q имеем классическое пространство Бергмана, при min(q,p) > 1 это банаховы пространства, а для других значений параметров это полные метрические пространства. Здесь !zk" ⊂ TΩ - это некоторые фиксированные r-решетки в трубчатых областях над симметричными конусами TΩ, которые обсуждались выше. Заметим, что эти аналитические пространства в более высокой размерности зависят от последовательностей {zn}, но мы опускаем это в обозначениях пространств. Здесь через dV (z) обозначим нормированную меру Лебега на произведениях трубчатых областей. В следующей теореме дается точный результат о следах аналитических пространств. Теорема 3.5 (см. [69]). Пусть достаточно велики. Тогда F(z,...,z) ∈ Aqα1 (TΩ), т. е. , где Пусть f ∈ Aqα1 (TΩ). Тогда найдется функция F такая, что, z ∈ TΩ, и выполнено Trace(. В работе [55] представлены некоторые результаты для неограниченных трубчатых областей над симметричными конусами. Пусть , где Пусть также Lp (TΩ,dμ) -пространство всех измеримых функций на TΩ таких, что для любой положительной борелевской меры μ на TΩ. В следующей теореме сформулированы некоторые новые интересные результаты о точном вложении, связанные с оператором следа. Подобные теоремы о точном вложении, связанные с оператором следа, справедливы и в других областях. Они были доказаны первым автором в последние годы. Теорема 3.6 (см. [55]). Пусть 0 < p < +∞, sj > -1, j = 1,...,m. Пусть μ - положительная борелевская мера на TΩ. Тогда следующие утверждения эквивалентны: m 1.1; 2. ); 3. В работе [56] представлены новые точные теоремы о следах аналитических классов типа BMOA (Bounded Mean Oscillation Analytic functions - аналитические функции с ограниченной средней вариацией) в трубчатых областях над симметричными конусами при одном дополнительном условии на так называемое ядро Бергмана в этих областях. Существенную роль играют так называемые r-решетки для трубчатых областей, полученные ранее в работах зарубежных авторов. Теоремы данной статьи являются полными аналогами недавних точных результатов о следах классов BMOA, полученных ранее первым автором в полишарах и в ограниченных сильно псевдовыпуклых областях. Пусть TΩ -трубчатая область над симметричными конусами с гладкой границей в Cn. Пусть , при. Это банаховы пространства для всех и полные метрические пространства для других значений p. Следующие теоремы для случая единичного шара можно найти в [49]. В теоремах 3.7, 3.8 приводится точный результат о следах пространств. Теорема 3.7 (см. [56]). Пусть . Тогда Trace( для всех n,n/r > n0, где n0 = n0(p,τ,r1,...,rm,m). Теорема 3.8 (см. [56]). Пусть . Тогда Trace( для всех n,n/r > n0, где n0 = n0(p,τ,r1,...,rm,m). Все теоремы о точном следе, представленные в разделе 4, справедливы с довольно схожими доказательствами в аналитических пространствах нескольких переменных в различных областях, и они были ранее получены первым автором в нескольких статьях, основанных на интересных свойствах так называемых r-решеток в этих областях в Cn. 4. Следы гармонических функций в произведениях верхних полупространств В этом разделе мы рассмотрим некоторые интересные задачи о следах в различных пространствах гармонических функций в произведениях верхних полупространств. Пусть B - единичный шар в Rn, т. е. и. Рассмотрим банаховы пространства Бергмана в B (см., например, [18]): , при 1 p < +∞, 0 α < +∞ и p = +∞, 0 α < +∞. Имеем . Пусть также Bm = B ×...×B. Обозначим черезпространство всех функций f, гармонических по каждой переменной в B таких, что . Пусть αj > 0, j = 1,...,m. Некоторые сведения о Trace приведена в [50]. Пусть . Пусть -1, j = 1,...,m. Подробнее о Trace( Введем гармонические классы Бергмана на Rn+1 и на произведениях пространств следующим образом. Зададим. Точки в обычно обозначают как z = (x,t) или w = (y,s). Мера Лебега обозначается как dm(z) = dz = dxdt или dm(w) = dw = dyds. Мы также используем стандартные взвешенные меры dmλ(z) = tλdxdt, λ ∈ R. Пусть , и . Пусть 0 < p < +∞, m ∈ N, αj > -1, j = 1,...,m. В [50] приведены некоторые свойства Trace(. Теоремы о следах различных типов и различные оценки следов различных пространств гармонических функций можно найти в работах [11, 12]. Сформулируем некоторые результаты из этих работ. Зададим H = {(x,t):x ∈ Rn,t > 0} ⊆ Rn+1. Взвешенные гармонические пространства Бергмана на H определены для 0 < p < +∞ и λ > -1: . При имеем произведение мер на Hm, определенное как , и полагаем , 0 < p < +∞. Обозначим через подпространство , состоящее из функций, которые являются гармоническими по каждой из переменных z1,...,zm отдельно. Для функции f : Hm → C определим Tr f : H → C как Tr f(z) = f(z,...,z). Справедливы следующие результаты. Теорема 4.1 (см. [11]). Пусть . Тогда Apλ ⊂ Trace( Trace(. В частности, если и если Tr f является гармоническим, то Tr f ∈ Apλ. Приопределим как пространство всех таких, что ; при m = 1, s1 = α используется более простое обозначение. Пространство всех функций , гармонических по каждой из переменных z1,...,zm, обозначим через. Также, если X - пространство гармонических функций на , то полагаем . Пусть. След X задается как TraceX = {Tr f : f ∈ X}. Теорема 4.2 (см. [12]). Пусть. Тогда A∞λ ⊂ Trace(. И наоборот, если и Tr f является гармоническим, то Tr f ∈ A∞λ . Ниже сформулируем полный аналог приведенной выше теоремы для случая пространств гармонических функций в единичном шаре Rn. Формулировка очень похожа. Определение объектов в этой теореме приведено в упомянутой статье автора совместно с М. Арсеновичем. Теорема 4.3 (см. [12]). Пусть . Тогда Apλ ⊂ Trace(Trace(. В частности, если и если Tr f является гармоническим, то Tr f ∈ Apλ. 5. Заключительные замечания. Направления развития и новые пространства типа BMOA, Блоха, Герца и связанные результаты В этом разделе мы собрали множество интересных новых проблем, вопросов и различных комментариев, касающихся проблемы следа в аналитических функциональных пространствах нескольких комплексных переменных не только в ограниченных сильно псевдовыпуклых и трубчатых областях, но и в полидисках, единичных шарах и полишарах. Поэтому мы отсылаем заинтересованного читателя к обзорной статье авторов [43], посвященной различным стандартным объектам и определениям этих объектов, связанных с полидиском и полишаром. В этом разделе мы определим не только различные аналитические функциональные пространства в различных областях в Cn и приводим некоторую информацию о следах этих пространств, но также рассмотрим отображения, близкие к отображению следа, и представим результаты об их действии в функциональных пространствах такого типа, полученную ранее первым автором. В некоторых аналитических функциональных пространствах в произведениях областей, представленных ниже, мы видим хорошо известные операторы дифференцирования Dα в квазинормах и приводим оценки следов таких пространств. Теперь обсудим некоторые новые открытые вопросы, в частности, следы пространств смешанных норм с квазинормами в единичном полидиске: Даже при более общих весах ω (r), чем (1 - r)α , они были полностью описаны в недавних работах [24] для всех 0 < p,q < +∞, α > -1. Следующий вполне естественный вопрос - полностью описать следы аналитических пространств функций подобного типа с помощью конечных квазинорм, определенных на полишаре B × ... × B (произведениях шаров): где Подобные пространства для n = 1 хорошо изучены. Следует отметить, что аналогичные, даже более общие задачи могут быть поставлены и в полных аналогах этих пространств аналитических функций, но в общих трубчатых областях над симметричными конусами TΩ, или в ограниченных сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей D, а именно на произведениях этих областей. Следы пространств Харди Hp для всех значений p были приведены в работах [38, 41, 44]. Естественным открытым вопросом остается поиск описания следов смешанной нормы. Пространства Харди со смешанной нормой определяются следующим образом с помощью квазинорм в единичном полидиске в Cn: (а также важное взвешенное обобщение Некоторые точные оценки следов новых классовможно найти в работах [38, 41] и в работах [45, 46] для некоторых частных случаев этих пространств в полишаре; в обоих случаях оценки для m = 2 и частных значений pj приведены в недавней статье [3]. Следует отметить, что очень похожий вопрос может быть поставлен в пространствах типа аналитических функций в полидиске V n с квазинормами Γt (ζ), т. е. в конусе Лузина: Γt (ζ) = (или с заменой Γt (ζj) на rj < 1) , где 0 < pj < +∞,j = 1,...,m, или , где 0 < pj < +∞, j = 1,...,m. Следует отметить, что многие результаты справедливы также для пространств плюригармонических функций. Теперь введем новые пространства смешанной нормы в полишарах B ×... ×B следующим образом: , где 0 < p < +∞, αj > -1, j = 1,...,m. Эти аналитические пространства можно ввести также для pj = +∞. Для имеем банаховы пространства, а для других значений - полные метрические пространства. Ниже дадим полное описание пространств Бергмана со смешанной нормой в полишаре и верхней полуплоскости. Будет интересно представить точные расширения этих результатов на общие взвешенные пространства, а также на трубчатые и псевдовыпуклые области. Теорема 5.1 (см. [40, 44, 46, 47]). Пусть < +∞, j = 1,...,m. Тогда Trace(. Пусть далее , где 0 < p < +∞, αj > -1, j = 1,...,m. Теорема 5.2 (см. [40, 44, 46, 47]). Пусть Тогда Trace. Определим некоторые новые взвешенные пространства Харди в полишаре и пространства типа Бергмана-Соболева в полишаре, а также обобщим некоторые оценки и точные результаты, полученные ранее в полидиске другими авторами. Следует отметить, что для ознакомления с хорошо известной дробной производной Dα, которая приведена ниже, мы отсылаем читателя к соответствующим статьям, которые были процитированы выше. Обобщение этих результатов на очень сложные трубчатые области является интересной и, вероятно, довольно сложной открытой проблемой. Некоторые удачные обобщения диагонального отображения можно найти в статье Д. Кларка [16]. Пусть , где Dβ -дробная производная функции f, . Определим для 0 < p + ∞, , где Теорема 5.3 (см. [40, 44, 46, 47]). 1. Trace(. 2. Пусть, тогда Apτ ⊂ Trace . 3. Пусть, тогда Trace(. Будет интересно распространить этот результат на трубчатые и псевдовыпуклые области. Следы новых аналитических функциональных пространств в полидиске со смешанной квазинормой: , где 0 < pj < +∞, αj > -1, j = 1,...,m. Результаты этих исследований можно увидеть в недавних работах [49, 50]. Подобные задачи также легко могут быть поставлены в гораздо более общих контекстах областей TΩ ×...×TΩ или D × ... × D. Рассмотрим аналитические пространства в трубчатых или псевдовыпуклых областях с квазинормами , где 0 < pj < +∞, αj > -1, j = 1,...,m; , где 0 < pj < +∞, αj > -1, j = 1,...,m. В теории функций также представляет интерес рассмотрение других отображений, которые близки и почти «диагональны» в единичном полидиске: (Mf)(z1,...,zm) = f(rζ1,...,rζm), r ∈ (0,1), ζj ∈ T, j = 1,...,m, (Tf)(z1,...,zm) = f(r1ζ,...,r1ζ), rj ∈ (0,1), ζ ∈ T, j = 1,...,m, где zj ∈ U = {z ∈ C : |z| < 1}, j = 1,...,m. Ниже дадим несколько точных результатов, полученных первым автором в недавней статье [45] (см. также ссылки в ней), касающихся этих довольно простых операторов в различных пространствах аналитических функций в единичном полидиске в Cn. Следует отметить, что операторы типа M, T могут рассматриваться также в ряде случаев в произведениях единичных шаров и в произведении трубчатых областей и ограниченных сильно псевдовыпуклых областей. Здесь мы опускаем простые подробности. Пусть ; U˜n = {z ∈ Un : |zj| = r,r ∈ (0,1],j = 1,...,n}; 1; 1; Имеем Trace(Apβ(U˜n)) = Apβ+n-1(U), при и при p > 1, β > β0 = β0(n,p); n Trace(, при и при p > 1, β > β0 = β0(n,p). Следы на (z,...,z) аналитических пространств со следующими квазинормами также можно увидеть в [45]. Интересно найти расширения для трубчатых и ограниченных сильно псевдовыпуклых областей , где; , где Рассмотрим, например, аналитические пространства TΩ для α 0: . Задача состоит в том, чтобы найти следы этого и подобных пространств в TΩ. Подобный вопрос может быть задан и в ограниченной псевдовыпуклой области. Гораздо более сложной задачей является предоставление полного описания следов различных аналитических функциональных пространств в очень сложных областях, а именно в трубчатых над симметричными конусами и в ограниченных сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей в Cn. Ниже мы дадим конкретные аналитические пространства, указывающие на то, что поиск следов всех этих аналитических пространств является открытой, интересной и, вероятно, сложной задачей. Приведем некоторые квазинормы аналитических пространств со смешанной нормой в обеих областях и аналитических пространств типа Харди в обеих областях в Cn. Следует отметить, что пространства смешанного типа можно также рассматривать в или , например, следующего типа:, где (Xj) = #Apαjj$(TΩ), или Hpj(TΩ), j = 1,...,m, или (Xj) = #Apαjj$(D), или Hpj(D), j = 1,...,m, -нахождение оценок следов этих аналитических пространств является открытой проблемой. Для пространство Харди Hp(TΩ) - это пространство голоморфных функций в TΩ, удовлетворяющих оценке . В можно определить двумя способами с использованием квазинорм, основанных на квазинормах в TΩ: или , а затем рассмотреть следы квазинорм такого типа для всех значений 1 < p < +∞. Эта проблема является открытой в ограниченных псевдовыпуклых областях с гладкой границей. Рассмотрим квазинормированные пространства функций , где (Xj) - пространство функций (аналитических) с одной из следующих квазинорм в областях D: Dr = {z ∈ D : ρ(z) > r}, δ > 0, dσr -нормированная мера поверхности на ∂Dr, Dα - дробная производная f, или где, dist(, , , где ∂Dε = {z ∈ D : ρ(z) = ε}, ε > 0, dσ - нормированная мера поверхности на ∂Dε. Пусть B(z,r) - шар Кобаяси в D, z ∈ D, r > 0. Также можно рассмотреть квазинормы типа Герца на D: , где {ak} - известная r-решетка в D (см. [27, 38, 41]). Все эти многочисленные проблемы, касающиеся оценок следов этих аналитических функций в или D×...×D, остаются открытыми. Также укажем на некоторые недавние точные результаты, касающиеся следов аналитических функциональных пространств типа BMOA и пространств Герца и типа Блоха в трубчатых, псевдовыпуклых областях и в единичном шаре. Ниже рассмотрим некоторые открытые проблемы в этом направлении. Следует отметить, что некоторые результаты о следах аналитических функциональных пространств области типа Неванлинны в полидиске можно найти в работах [4, 7, 18] (см. также множество ссылок в этих работах). Определим банахово пространство Блоха . Теорема 5.4. Пусть. Тогда Trace(Λ(r1,...,rm)) = Λ(r). Пусть также , Тогда имеем Trace (Λ. Будет интересно найти полные аналоги этих результатов в трубчатых, псевдовыпуклых областях. Мы приводим данные о следах пространств типа BMOA в шарообразной, псевдовыпуклой и трубчатой областях; аналогичные результаты можно найти в [54, 56] для E(0) = B, a ∈ B\{0}, . Пусть -положительная мера Бореля на B × ... × B, rj > 0, j = 1,...,k, μ- ограниченная мера Карлесона (r1,...,rk), если Пусть - пространство измеримых функций на - ограниченная мера Карлесона (r1,...,rm) с Теорема 5.5. Пусть. Тогда Trace(, Некоторые описания (или оценки) следов аналитических пространств (Mαp), (Kα,βp,q ), (Dα,βp ) и связанных с ними пространств: , где 0 < p < +∞, α > -1; , где 0 < p,q < +∞, α > -1, β > -1; , где Многие связанные и (или) очень близкие к этим теоремам о следах интересные результаты и проблемы рассматривались различными авторами в последние десятилетия в разных аналитических пространствах в различных областях в Cn. Упомянем, например, работы [8, 9, 15, 22, 73]. В данной обзорной статье мы не будем обсуждать эти проблемы или проблемы такого типа, отсылая авторов к упомянутым статьям. Практически во всех доказательствах различных теорем о следе очень важны различные теоремы типа проекции Бергмана, и мы отсылаем заинтересованных читателей к работам [42, 66-68] для ознакомления с различными новыми результатами в этом направлении. Представленные в этой статье точные результаты о следах в гармонических и аналитических функциональных пространствах нескольких переменных были недавно распространены на различные пространства плюригармонических функций нескольких переменных типа Бергмана. Для ознакомления с этими результатами мы отсылаем читателя к работе [57]. В заключение мы хотели бы отослать читателя к работам [35, 36, 60-65], где представлены многочисленные новые результаты первого автора и его соавторов для вложений в аналитические пространства типа Бергмана и для проекций Бергмана в трубчатых областях над конусами и в ограниченных сильно псевдовыпуклых областях с гладкой границей, которые в будущем могут быть применены различными способами или использованы для получения доказательств новых теорем о следе в различных аналитических функциональных пространствах в таких сложных областях в Cn. Мы отсылаем читателя к работам [2, 17] и многочисленным ссылкам в них, где приводятся некоторые старые интересные результаты, тесно связанные с нашими теоремами о следе. Вероятно, различные вложения для аналитических пространств Qp из работы [72] могут быть использованы в доказательствах теорем о следе для пространств такого типа в единичном диске и полидиске. Мы отсылаем читателя к работе [28] и многочисленным ссылкам в ней, где приводятся новые результаты о точных следах в простых полидисковых пространствах в смешанных нормах. Некоторые вложения из работы [21] можно использовать для доказательства теорем о следах в различных пространствах типа Харди на полидиске. Многие вложения из работы [74] могут быть обобщены на ограниченные сильно псевдовыпуклые области с гладкой границей, а затем использованы для получения теорем о следе в различных аналитических пространствах в таких областях; мы предлагаем это в качестве задачи для заинтересованных читателей.

Об авторах

Р. Ф. Шамоян

Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского

Email: rsham@mail.com
ORCID iD: 0000-0002-8415-9822
Scopus Author ID: 6506006473
Брянск, Россия

Н. М. Махина

Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского

Автор, ответственный за переписку.
Email: makhina32@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-2270-1775
SPIN-код: 1045-4238
Scopus Author ID: 57192714258
Брянск, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы