Two approaches to averaging stochastic perturbations of integrable systems

Abstract

In this paper, we discuss two approaches to the study of the long-time behaviour and infinite-time behaviour of solutions for integrable hamiltonian systems under small stochastic perturbations. Then we compare these results with the results for deterministic perturbations of integrable systems.

Full Text

1. Постановка задачи В симплектическом пространстве (R2x,yn ,dx ∧ dy) рассмотрим интегрируемую по Биркхофу гамильтонову систему - ее гамильтониан H зависит только от действий Ij = (x2j + yj2)/2. Вводя комплексные координаты vj = xj + iyj, запишем эту систему в удобной комплексной форме: . (1.1) Отметим, что , и что в Cn мы используем вещественное скалярное произведение . Изучение малых возмущений этой системы для больших значений времени, либо глобально в Rn, либо локально вблизи равновесия, является классической задачей динамических систем, начиная с конца XVIII века1. Существуют две основные задачи: А) возмущение представляет собой небольшое гладкое векторное поле; Б) возмущение представляет собой малое гамильтоново поле. 1 Другой классический вопрос - изучение решений возмущенных систем вблизи торов = 1,...,n}, которые инвариантны для системы (1.1). Мы не будем его здесь рассматривать. © С.Б. Куксин, 2026 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 75 Мы рассмотрим третий случай, а затем сравним полученные результаты с тем, что известно для случаев А) и Б). Рассмотрим ε-малое стохастическое возмущение интегрируемой системы (1.1). Во-первых, только для : , (1.2) где- стандартные независимые комплексные винеровские процессы, т. е. - стандартные независимые вещественные винеровские процессы. Удобно перейти к медленному времени τ = εt и переписать приведенные выше уравнения следующим образом: (1.3) v(0) = v0. Здесь и ниже точка сверху обозначает d/dτ, а {βjc(τ)} - это еще один набор стандартных независимых комплексных винеровских процессов. В векторной записи: v˙(τ) = iε-1diag{∇kH(I)}v + P(v) + B(v)β˙c(τ), v(0) = v0, (1.4) где а дисперсия B(v) - комплексная матрица размера n × n1. Решение этого уравнения будет обозначаться как vε(τ). Мы накладываем на уравнение (1.4) следующие предположения: A1) (Невырожденность по Аносову): Для п.в. I ∈ Rn компоненты вектора частот являются независимыми над целыми числами, т. е. если s ∈ Zn и ∇H(I) · s = 0, то s = 0. (1.5) A2) Векторные функции ∇H(I), P(v) и матричная функция B(v) являются локально липшицевыми, с не более чем полиномиальным ростом на бесконечности. A3) Уравнение (1.4) является корректно поставленным при и в этом случае первые несколько моментов его решений равномерно ограничены по τ и ε. A4) Шум в уравнении невырожден: ранг дисперсионной матрицы B(v) равен n для всех v (следовательно,). Более того, для каждого v справедливо где c > 0, и B∗ является эрмитово сопряженным с B. Замечание 1.1. Предположение A1) (невырожденность по Аносову) выполняется, например, если ∇H - постоянная векторная функция с некоторыми компонентами λj, независимыми над целыми числами. Тогда невозмущенная система (1.1) является линейной: (1.6) Приведенные ниже теоремы применимы к этому случаю, но их более сильные версии можно найти в нашей предыдущей работе [6]. Результаты [6] применимы, когда матрица B(v) в (1.4) вырождена, и их подходящие версии справедливы, если частоты {λj} зависимы над целыми числами. Легко видеть, что A1) также выполняется, если H является C2-гладким и meas{I : detd2H(I) = 0} = 0 (условие невырожденности по Колмогорову). Предположение A3) (априорные оценки) справедливо, например, если матрица B(v) равномерно ограничена и . 2. Первый подход: быстро-медленная система Введем в Cn = {v = (v1,...,vn)} обычные координаты действие-угол (I,ϕ), где I = : ). Тогда уравнение (1.4) можно переписать в этих координатах. Применив формулу Ито к Ik(vε(τ)), где vε(τ) является решением уравнения (1.4), получим , (2.1) где k = 1,...,n и β1(τ),...,βn1(τ) - независимые стандартные вещественные винеровские процессы. (Напомним, что в C мы используем вещественное скалярное произведение Переобозначая члены этих уравнений и используя векторную запись, запишем систему (2.1) в векторной форме: I˙ε(τ) = F(vε) + G(vε)β˙(τ), Iε(0) = I0 := I(v0), (2.2) где Применяя формулу к углам ϕk(vε(τ)), получаем ϕ-уравнения: где Напомним, что для , и подчеркнем, что для каждого r уравнение для ϕr имеет сильную сингулярность, когда Ir обращается в нуль. Вычисления, приводящие к ϕ-уравнениям, являются простыми, но утомительным, и проще получить их с помощью формулы Ито в комплексных переменных, см. [6, Приложение C]. Имеем быстро-медленную систему, где действия Ikε являются медленными переменными, а углы ϕεk - быстрыми переменными. Как обычно, нас больше всего интересуют действия. Логика усреднения предполагает, что их предельное поведение при ε → 0 можно описать усреднением по углам ϕ медленной системы (2.2). Соответственно, усредним (2.2) по быстрым переменным ϕ, используя правила стохастического усреднения: . (2.3) Здесь векторное поле представляет собой усреднение по ϕ поля F, записанное как F(I,ϕ). Заметив, что в силу предположения A1) для п.в. I траектории, плотны в Tn, получим, что усреднение F(I,ϕ) по ϕ- это усреднение по ϕ ∈ Tn относительно меры Лебега (более подробно см. в [7]), т. е. (2.4) Поскольку vj = rjeiϕj, где локально липшицева по v, является локально липшицевой векторной функцией r = (r1,...,rn). Таким образом, эта функция 1/2-гельдерова по I. Вещественная матрица определяется аналогичным, но более сложным способом. А именно, является главным квадратным корнем из неотрицательной вещественной симметричной матрицы S(I), где (как указано выше, каждое vk следует выражать через Ik и ϕk); см. [7] и приведенные там ссылки. Априори является лишь 1/2-гельдеровой. Но легко видеть, что Если B - постоянная матрица, тоdiag, (2.5) где все bk - положительные числа. Частичное описание предельной динамики действий в уравнении (1.4) при ε → 0 дается следующим результатом (доказательство см. в [7, раздел 6], а аналогичное утверждение см. в [4]). Теорема 2.1. Совокупность кривых действий решений vε(τ) для (1.4) с 0 < ε 1 является предкомпактной в пространстве кривых в смысле распределения. 1) Каждый предельный (в смысле распределения) случайный процесс I0(τ) является слабым решением усредненного уравнения (2.3). 2) Уравнение (2.3) всегда имеет по крайней мере одно решение I0(τ). Если такое решение единственно, то Iε(τ) сходится к I0(τ) в смысле распределения при ε → 0. Напомним, что в (2.3) являются 1/2-гельдеровыми функциями по I, поэтому нет оснований полагать, что это уравнение имеет только одно решение. В связи с этим мы имеем следующие результаты (см. [7]): i) Результат Уитни [9] подразумевает, что если коэффициенты уравнения (1.4) являются C2гладкими, то является C[3]-гладкой, и, где матрица S(I) является C1-гладкой, самосопряженной и неотрицательной, и detS(I) = 0, если некоторое Ij равно нулю. Это лучше, чем раньше, но все еще имеет -сингулярность при Ij = 0, и неясно, являются ли решения подобных уравнений единственными. ii) Пусть в (1.4) дисперсионная матрица B постоянна. Тогда в силу (2.5) шум в (2.3) задается (непостоянной) диагональной матрицей, которая имеет сингулярности в виде квадратного корня, когда некоторое Ij обращается в нуль. В этом случае результат статьи [11] подразумевает, что уравнение (2.3) имеет единственное решение. Таким образом, применяется пункт 2) теоремы 2.1, и (2.3) описывает предельное поведение действий решений vε(τ) при Но что происходит, если матрица B(v) не является постоянной? Тогда имеет сложные 1/2-гельдеровы сингулярности, когда Ij = 0 для некоторого j. Для этого случая неизвестен результат о единственности. Напротив, iii) В статье [10] авторы приводят пример системы с 1/2-гельдеровой сингулярностью при Ij = 0, где решение не является единственным. Замечание 2.2. В работе [2] рассматривается класс стохастических уравнений на единичном кубе Kn ⊂ Rn с подходящими граничными условиями на ∂Kn и со стохастическим членом -гладкая неотрицательная симметричная матрица, которая может вырождаться для некоторого v. Используя методы мартингальных решений, установлено, что уравнение имеет единственное слабое решение. Нам неизвестно, могут ли результаты [2] быть распространены на стохастические уравнения в Rn и на уравнения в вида (2.3), и нам неизвестны публикации, связанные с этим вопросом. Заключение. Уравнение (2.3) описывает предельную динамику действий решений vε(τ) при ε → 0 только если в (1.4) P(v) является C2-гладким и B - постоянная матрица. Что мы можем сделать в общем случае? 3. Второй подход: эффективное уравнение Вернемся к исходному уравнению (1.4). Напомним, что классическое усреднение Крылова- Боголюбова для малых возмущений линейных гамильтоновых систем в R2n (см. [1]) выполняется непосредственно в R2n без перехода к переменным действие-угол. Оно дает предельную динамику действий через некоторое эффективное уравнение в R2n, построенное с помощью интеракционного представления1. Последнее не существует для нашего уравнения (1.4), где невозмущенное уравнение (1.1) является нелинейным. Тем не менее, руководствуясь принципами Крылова-Боголюбова, мы предполагаем подходящее эффективное уравнение. Оно получается из уравнения (1.4) следующим образом: - отбрасывая первый член, - соответствующим образом усредняя два других члена. Таким образом, уравнение выглядит следующим образом: . (3.1) Для построения усредненных объектов мы делаем следующее. Для любого ω ∈ Tn оператор вращения Φω = diag преобразует векторное поле∈ Tn: P(a) в Φω ◦ P(Φ-ωa). Поле определяется как усреднение последнего по ω Далее мы определяем действие Φω на матрицу дисперсии B(a) уравнения (1.4) как Φω ◦B(Φ-ωa). Соответствующая диффузия -это матрица размера n × n. Рассмотрим его усреднение в ω, Это симметричная матрица размера n× n, и из соотношения невырожденности A4) следует, что для всех a. Теперь мы положим в (3.1) как главный квадратный корень из A(a). Эта матрица имеет ту же гладкость, что и B(a). Подробности см. в [7]. Теорема 3.1. При заданных предположениях A1)-A4) эффективное уравнение (3.1) имеет единственное решение a(τ), которое наследует оценки из A3). При ε → 0 действия Iε(τ) = = I(vε(τ)) решений для уравнения сходятся по распределению к вектору действий I(a(τ)). Кривая I(a(τ)) удовлетворяет уравнению (2.3). Теперь, в дополнение к предположениям A1)-A4), предположим, что: A5) Уравнение (1.4) корректно поставлено для τ 0, и первые несколько моментов его решений равномерно ограничены по ε и τ (это расширение предположения A3)). Замечание 3.2. Предположение A5) выполняется, если B(v) равномерно ограничено, а P(v) коэрцитивно: - | . (3.2) (Это означает, что векторное поле P «содержит трение».) Теорема 3.3. Если выполняются предположения A1)-A5), то решение a(τ) эффективного уравнения (3.1) удовлетворяет оценкам в A3) равномерно по, и сходимость в теореме 3.1 также равномерна по времени τ. Доказательство этого результата в значительной степени использует тот факт, что поскольку первые моменты решений a(τ) ограничены равномерно по времени, а матрица невырождена, то уравнение (3.1) является перемешивающим: в Cn существует мера такая, что для любого v0 распределение решения a(τ) сходится к ней при τ → ∞, см. [7, раздел 10] и [6, раздел 7]. Напомним, что векторное поле P˜ в Cn является гамильтоновым с C1-гладким вещественным гамильтонианом h, если (3.3) Предположим, что в (1.4) P(v) = P1(v) + P2(v), где поле P2 является гамильтоновым. Теорема 3.4. Если P(v) соответствует приведенному выше условию, то эффективное уравнение может быть изменено путем удаления усреднения гамильтоновой части P2: . (3.4) То есть утверждения теорем 3.1 и 3.3 остаются верными, если для a(τ) взять решение уравнения (3.4). В работе [5] этот результат установлен для возмущений линейных систем (1.6). Доказательство для решений (1.4) аналогично и дополнительно использует конструкцию из [7, раздел 8]. Заметим, что в подходе действие-угол из раздела 2 утверждение последней теоремы является тавтологией, поскольку усредненное уравнение (2.3) не изменится, если мы модифицируем векторное поле P в (1.4) добавлением гамильтониана P,˜ как в (3.3), см. начало раздела 3 в работе [5]. 4. Локальные версии результатов Наше исходное предположение заключалось в том, что невозмущенная интегрируемая система может быть приведена к глобальной нормальной форме Биркхофа (1.1). Это ограничение. Теперь предположим, что нормальная форма Биркхофа справедлива только локально[4], для v ∈ Q, где Q - окрестность начала координат в Cn вида. Рассмотрим то же возмущенное уравнение (1.4), что и раньше: v˙(τ) = iε-1diag{∇kH(I)}v + P(v) + B(v)β˙c(τ), v(0) = v0 ∈ Q. Тогда утверждения теорем 3.1 и 3.4 справедливы для где θ - случайный момент времени, когда решение (1.4) выходит за пределы Q. Это случайная величина первого порядка (см. [7, раздел 9]): вероятность, что θ λ ограничена C√λ, ∀λ > 0. 5. Приложения Более подробное обсуждение применения наших результатов к приведенным ниже уравнениям см. в [7]. 5.1. Цепочки осцилляторов. Для невозмущенной интегрируемой системы (1.1) возьмем цепочку нелинейных осцилляторов: q¨k = -Q(qk), k = 1,...,n, (5.1) где потенциал Q - гладкая функция, выпуклая и нечетная. Предположим, что она является «хорошей» на бесконечности, а вблизи нуля Q(q) = αq + βq3 + o(|q|4), α,β > 0. Тогда эта система является глобально интегрируемой и может быть записана в форме (1.1). Теоремы 3.1-3.4 применимы для изучения ее стохастических возмущений. Полученные таким образом результаты связаны с неравновесной статистической физикой. 5.2. Гамильтоновы системы с затуханием или возбуждением. Рассмотрим следующее уравнение в Cn: (5.2) где для всех k. Пусть H,h ∈ C[5], отображение частот является невырожденным по Аносову, и выполняется2 условие A5). Тогда выполнены предположения A1)-A5). Усреднение не изменяет векторное поле v˙ = -diag{νk}v, поэтому ввиду теоремы 3.3 в качестве модифицированного эффективного уравнения можно взять систему (5.3) Для малых ε действия решений уравнения (5.3) аппроксимируют (по распределению) действия решений уравнения (5.2) равномерно во времени. Заметим, что уравнение (5.3) может быть проинтегрировано в явном виде. (Его решения представляют собой совокупности n независимых комплексных процессов Орнштейна-Уленбека.) 6. Обсуждение Сначала сравним приведенные выше результаты с результатами, полученными для неслучайных возмущений интегрируемых систем. 6.1. Гамильтоновы возмущения интегрируемых систем. Рассмотрим следующую детерминированно возмущенную интегрируемую систему, записанную в медленном времени τ: . (6.1) Если H и h -аналитические вещественнозначные функции, то при условии крутизны гамильтониана H применяется теорема Нехорошева (см. [1]), если v0 не находится слишком близко к множеству X = {v ∈ Cn : Ik(v) = 0 для некоторого k}. Теорема утверждает, что для времен действия решений уравнения (6.1) остаются εb-близкими (b > 0) к исходному вектору действия I(v0). Это означает, что в течение экспоненциально длительного времени гамильтонов член в уравнении (6.1) не влияет на динамику действий решений с точностью до O(εb). Теорема 3.3 выше рассматривает возмущения (1.4) интегрируемой части уравнения (6.1), и для любых начальных данных v0 она позволяет равномерно управлять действиями решений для (1.4) во времени. Это выполняется, потому что возмущение в (1.4) содержит шум и трение (см. замечание 3.2), которые стабилизируют динамику. В частности, если мы добавим к каждому уравнению в (6.1) диссипацию -νkak и случайность bkβ˙k(τ), то окажется, что гамильтонов член вообще не влияет на динамику действий с точностью до o(1). Отметим, что в теореме 3.3 нам пришлось предположить, что невозмущенная система интегрируема во всем пространстве, тогда как для справедливости результата Нехорошева достаточно предположить ее интегрируемость только в некоторой открытой области, содержащей v0 (и диффеоморфной Tn × O, где O - область в Rn). Теорема Нехорошева не позволяет брать начальные данные v0 вблизи X, поскольку в ее доказательстве используются координаты действие-угол, которые сингулярны в X, тогда как теорема 3.3 в них не нуждается. Для некоторого класса возмущенных систем (6.1), Нидерман в [8] установил версию теоремы Нехорошева в окрестности начала координат, избегая координат действие-угол. Таким образом, его результат применим к решениям (6.1) с малыми v0. По-видимому, на момент написания не существует версии теоремы Нехорошева, справедливой для решений с начальными данными в X или вблизи него. 6.2. Произвольные возмущения интегрируемых систем. Теперь рассмотрим возмущенную систему , (6.2) где H и P являются C∞-гладкими. Пусть H удовлетворяет условию невырожденности Бахтина (см. [1]), и v0 - случайный вектор, v0 = v0(ω). Тогда по теореме Нейштадта-Бахтина для случайных параметров ω вне некоторого множества[6] малой меры εb, b > 0, для действия решений уравнения (6.2) остаются близкими к решениям усредненного уравнения для действий: , где определяется так же, как в (2.4). Этот результат, очевидно, связан с нашей теоремой 3.1, с ее локальной версией, обсуждаемой в разделе 4, и с теоремой 3.3. Утверждение теоремы 3.3 значительно сильнее результата Нейштадта-Бахтина. Опять же, это происходит потому, что возмущенное уравнение (1.4), рассмотренное в теореме 3.3, стабилизируется шумом и трением (и потому, что теорема предполагает глобальные координаты Биркхофа). 6.3. Связанные результаты. Варианты результатов, представленных в разделах 3 и 4, доступны для некоторых классов стохастических возмущений линейных и интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, см. ссылки в [6, 7]. Подход с использованием координат действие-угол, как в разделе 2, применительно к стохастическим дифференциальным уравнениям в частных производных может позволить получить для них первое утверждение теоремы 2.1. Однако установить, что соответствующее уравнение (2.3) имеет единственное решение (как требуется для справедливости второго утверждения теоремы), представляется невозможным. Если невозмущенная интегрируемая система является линейной системой (1.6), то результаты разделов 3, 4 применимы к ее стохастическим возмущениям, если частоты {λk} независимы над целыми числами. Однако подходящие версии этих результатов справедливы, если частоты представляют собой любые n ненулевых действительных числа, а матрица B(v) в (1.4) является локально липшицевой комплексной матрицей размера n × n1, см. [5]. Подход с использованием координат действие-угол, по-видимому, неприменим в этом общем случае.