## Comparative analysis of efficiency of use of finite elements of different dimensionality in the analysis of the stress-strain state of thin shells

#### Abstract

Relevance. To determine the stress-strain state (SSS) of thin-walled shells due to the complexity of obtaining numerical results, the theory of thin shells was developed with the introduction of the direct normal hypothesis to reduce the three-dimensional SSS to the two-dimensional one. With the modern development of digital technology and numerical methods of calculation, in particular the finite element method (FEM), it became possible to obtain numerical results without the use of the direct normal hypothesis, namely on the basis of the theory of elasticity in three-dimensional formulation even for thin shells. Aims. The aim of this work is to compare the efficiency of algorithms for the use of finite element stiffness matrices obtained on the basis of the theory of thin shells with the hypothesis of a straight normal and on the basis of the relations of the three-dimensional theory of elasticity. Methods. The results of comparative analysis of finite element calculations of thin shells using a two-dimensional sampling element in the form of a quadrangular fragment of the middle surface and a three-dimensional element in the form of an eight-node six-face are presented. The components of the displacement vector and their first derivatives were chosen as the nodal variable parameters. The functions of the form for both types of discretization elements were represented by products of Hermite polynomials of the third degree. Results. On the example of calculation of the cylindrical shell clamped at the ends it is shown that the two-dimensional statement in calculations of thin shells is adequate and allows to receive acceptable results at optimum costs of machine time.

#### Keywords

Введение Тонкостенные конструкции из пластин и оболочек являются неотъемлемой частью современных зданий, сооружений и архитектурных форм [1-3]. В настоящее время при анализе НДС конструкций из оболочек на первый план выдвинулись преимущественно численные методы расчета [4-10], в частности МКЭ [11-18]. В наши дни матрицы жесткости конечных элементов формируются на основе двух теорий: теории тонких оболочек с использованием теории прямой нормали для сведения трехмерного НДС к двумерному состоянию, а также соотношений теории упругости без дополнительных гипотез о деформировании нормального элемента. В последнее время многими исследователями, занимающимися данной проблематикой, высказывается мнение о том, что при построении конечноэлементных моделей оболочечных конструкций предпочтение следует отдавать трехмерным конечным элементам как наиболее универсальным. При этом в качестве основных геометрических соотношений рекомендуется использовать соотношения теории упругости. Данный подход является вполне обоснованным при исследовании НДС оболочечных конструкций средней толщины и толстостенных сосудов. Однако, использование трехмерных конечных элементов при анализе НДС тонких оболочек является не вполне оправданным и требует детального обоснования. В связи с этим достаточно актуальной остается задача сравнитель- ного анализа эффективности использования дву- {r0 r0 r0 }; {r0 }T {r0 r0 r0 }; и трехмерных конечных элементов при определении НДС тонких оболочек. = a1,x a2,x a,x a,θ 1´3 = a1,θ a2,θ a,θ В настоящей работе на примере расчета жесткозащемленной по торцам цилиндрической оболочки выполнен сравнительный анализ точности конечноэлементных решений, полученных при использовании двуи трехмерных элементов дискретизации. Геометрия оболочки матрица [m0] - нулевая, а в матрице [n0] ненулевыми элементами являются n22, n23 и n32. Положение точки оболочки, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии t в исходном M 0t и деформированном M t состояниях, определяется соответствующими радиус-векторами Радиус-вектор, задающий срединную поверх- R r0t R = r0 a +tr0; t R R r = r0t r +V, (6) ность эллиптического цилиндра, может быть представлен выражением где V - вектор перемещения точки из положе- 0t t r r r r ния M в положение M . R0 = xi + r(θ)sinθj + r(θ)cosθk, (1) Дифференцированием (6) по x, θ и t могут быть получены ковариантные векторы базиса исгде x - осевая координата, θ - угол, отсчитываемый от оси Oz против хода часовой стрелки в ходного и деформированного состояний r r r r r плоскости, перпендикулярной оси Ox. 0 0t 0 0 0t 0 ( ) Входящие в (1) функция r(θ) определяется формулой g1 = R,x = a1 ; g2 = R,θ = a2 1 + tn32 ; r(x,θ) = bc , b2 cos2 θ + c2 sin2 θ (2) r 0 g3 = R0t = r 0 ; ,t a r g1 = Rt = r0 + ,x g1 r V,x ; r rt g2 = R,θ = r0 r g2 +V,θ ; r t r0 r где b и c - параметры эллипса. g3 = R,t = g3 +V,t . (7) Ковариантные векторы локального базиса точки срединной поверхности определяются дифференцированием (1) по x и θ ; r0 r0 r Входящие в (7) производные вектора перемещения точки M 0t могут быть представлены компонентами, отнесенными к базису отсчетной поверхности r0 0 a2 = R,θ = a1 = R,x = i (r,θ (θ)sinθ + r ) r (θ)cosθ j + V,x = t1 0 2 0 0 r r r 1 a1 + t1 a2 + t1 a ; 1 r 0 2 r 0 r 0 +(r,θ (θ)cosθ - r (θ)sinθ)k . (3) V,θ r = t2 a1 r · t2 a2 r · t2 a ; r 1 0 2 0 3 0 . Орт нормали к срединной поверхности опре- V,t = t3a1 · t3 a2 + t a (8) деляется векторным произведением r r r r r Ковариантные компоненты тензора деформаций могут быть получены из известного соотноa 0 = a 0 ´ a 0 / a 0 ´ a 0 . (4) шения механики сплошной среды 1 2 1 2 Произведение векторов локального базиса (3), εt =(g - g0 )/ 2. (9) (4) по x, θ могут быть представлены в матричном виде следующим образом r r r r mn mn mn Входящие в (9) ковариантные компоненты метрического тензора определяются скалярными {a 0 } = ëém0 ûù {a 0 }; {a 0 } = éën0 ùû {a 0 }, (5) произведениями (7) ,x ,θ 3´1 3´3 3´1 3´1 3´3 3´1 r r r r где g0 = g0 × g0; gmn = gm × gn. {r0}T {r0 r0 r0 }; {r0 }T mn m n (10) a = a1 a2 a a,x = Соотношения (8) в развернутом виде для трех- 1´3 1´3 мерной формулировки будут иметь следующую структуру t 1 t 1 0 2 0 2 ü ε11 = t1 ; 2ε12 = t2 + a22t1 + a22n32t × t1 ; { G}Т = ïì{1G}Т { 2G}Т { G}Т ï, 2ε13 = t3 + t1 ; Uy 1´96 í vу ïî1´32 vу 1´32 vу ý 1´32 ïþ (16) t 1 t 0 2 0 2 L Т i j k l m n p h i h i h i h ε22 = a22t2 + a22n32t × t2 ; где {q } ={q q q q q q q q q ...qξqη ...qηqς ...qς}; у ,ξ 1´32 , , , , , t 0 2 0 2 t G Т i j k l m n p h i h i h i h 2ε23 = a22t3 + a22n32t × t3 + t2 ; ε33 = t3 , (11) {qу } ={q q q q q q q q q,x ...q,xq,θ ...q,θq,t ...q,t }; r r 1´32 где a0 = a0 × a0. q - компонента вектора перемещения V точки 22 2 2 Элементы дискретизации Элементом дискретизации в двумерной постановке выбирается четырехугольный фрагмент срединной поверхности с узлами i, j, k, l, расположенными в его вершинах. Столбцы узловых не- M 0t, отстоящей от отсчетной поверхности на расстояние t. В трехмерном элементе дискретизации функции формы представляют собой триадные произведения полиномов Эрмита третьей степени: q = {ψ}Т {qL}Т . известных в локальной ξ, η и глобальной x, θ системах координат имеют следующий вид [19]: 1´32 y 32´1 (17) { L}Т ì{ 1L}Т { 2L}Т { L}Т ü; Матрицы жесткости и столбцы узловых двуи трехмерного элементов дискретизации форми- Uy = í vу vу vу ý (12) ровались стандартным образом путем минимиза- 1´36 î 1´12 1´12 1´12 þ ции функционала Лагранжа [12; 17; 21]. { G}Т ì{ 1G}Т { 2G}Т { G}Т ü, Пример расчета Uy = í vу vу vу ý (13) 1´36 î 1´12 1´12 1´12 þ Было исследовано НДС жестко защемленного L Т i j k l i l i l где {qу } 1´12 = {q q q q q,ξ ...q,ξ q,η ...q,η}; по торцам цилиндра, нагруженного внутренним давлением интенсивности q. Приняты следующие G Т i j k l i l i l исходные данные: радиус срединной поверхности {qу } 1´12 ={q q q q q,x ...q,x q,θ ...q,θ}; R = 1,0 м; длина образующей L = 1,0 м; толщина стенки h = 0,02 м; q = 5 МПа; E = 2·105 МПа; q - компонента вектора перемещения точки срединной поверхности. Элементы матрицы-строки функций формы {φ}T для двумерного элемента дискретизации представлены диадными произведениями полиномов Эрмита третьей степени v = 0,3. Расчеты выполнялись по двум вариантам: в первом в качестве элемента дискретизации использовался двумерный конечный элемент 36×36 с девятью неизвестными в узле (12), (13); во втором применялся объемный конечный элемент 96×96 с двенадцатью узловыми варьируемыми параметq = {j}Т { y q L }Т . (14) рами. В первом варианте при интерполировании 1´12 12´1 В качестве объемного элемента дискретизации выбирается восьмиузловой шестигранник с узлами i, j, k, l, m, n, p, h, расположенными в его вершинах [20]. Столбцы узловых неизвестных трехмерного элемента дискретизации в локальной ξ, η, ς и глобальной x, θ, t системах координат имеют следующую структуру: по площади элемента использовалась квадратура Гаусса с 6×6 точками интегрирования, а по толщине - формула Симпсона с семью точками интегрирования. Во втором варианте при интегрировании по объему элемента также использовалась квадратура Гаусса с 6×6×6 точками интегрирования. В силу наличия плоскостей симметрии рассчитывалась 1/8 часть цилиндра. Результаты повариантных расчетов представлены в табл. 1, в которой приведены значения в L Т ïì L Т L Т L Т ïü меридиональных напряжений на внутренней σ у {Uy } = í{v1 у } {v2 } {vу } ý; (15) и наружной σн поверхностях цилиндра в опорном 1´96 ïî1´32 1´32 1´32 ïþ и пролетном сечениях в зависимости от густоты сетки дискретизации, причем во втором варианте толщина сетки цилиндра моделировалась только одним рядом объемных конечных элементов. Анализ данных, представленных в таб. 1, показывает, что и в первом, и во втором вариантах расчета наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса. Однако значения напряжений в опорном сечении во втором варианте оказались существенно меньше (примерно на 100 МПа) по сравнению с первым вариантом расчета. Численные значения напряжений при использовании двуи трехмерного конечных элементов [Table 1. Numerical stress values using twoand three-dimensional finite elements] Таблица 1 Вариант расчета [Variant of calculation] Сетка дискретизации [Sampling grid] Сечение [Section] Общее число неизвестных [Total number of unknowns] Опорное [Reference] Пролетное [Span] Напряжения, МПа [Stress, MPa] σв σн σв σн I 2×9 460,1 -339,9 68,45 50,93 78 2×17 475,5 -356,0 68,01 51,38 158 2×33 479,6 -360,2 67,90 51,48 318 2×65 480,7 -361,3 67,88 51,51 638 2×97 480,9 -361,5 67,87 51,51 958 II 2×9×2 341,6 -230,5 63,85 53,60 216 2×17×2 375,6 -263,6 64,45 53,52 440 2×33×2 381,0 -267,5 64,57 53,55 888 2×65×2 381,8 -266,7 64,61 53,57 1784 2×97×2 382,4 -266,5 64,62 53,58 2680 2×129×2 383,0 -266,7 64,62 53,58 3576 Численные значения напряжений при использовании трехмерного конечного элемента с дополнительной дискретизацией цилиндра по толщине Таблица 2 [Table 2. Numerical stress values using a three-dimensional finite element with additional thickness discretization of the cylinder] Число рядов элементов по толщине цилиндра [The number of rows of elements through the thickness of the cylinder] Сетка дискретизации [Sampling grid] Сечение [Section] Общее число неизвестных [Total number of unknowns] Опорное [Reference] Пролетное [Span] Напряжения, МПа [Stress, MPa] σв σн σв σн 2 2×9×3 370,3 -254,2 65,27 52,76 324 2×17×3 423,4 -299,5 65,27 52,76 660 2×33×3 439,4 -305,8 65,53 52,62 1332 2×65×3 445,8 -308,2 65,61 52,59 2676 2×97×3 448,0 -310,4 65,63 52,58 4020 2×129×3 449,2 -311,9 65,64 52,58 5364 3 2×9×4 378,0 -260,7 64,57 53,11 432 2×17×4 442,0 -314,3 65,43 52,63 880 2×33×4 471,8 -330,4 65,69 52,47 1776 2×65×4 487,9 -340,1 65,78 52,43 3568 2×97×4 491,7 -343,6 65,80 52,43 5360 2×129×4 492,8 -345,0 65,81 52,43 7152 В табл. 2 приведены результаты второго варианта расчета при дополнительном разбиении стенки цилиндра по толщине на 2 и 3 элемента. Анализ значений напряжений, представленных в табл. 2, показывает, что и при разбиении сетки цилиндра по толщине на 2 ряда объемных конечных элемен- тов значения напряжений в опорном сечении оказались заниженными примерно на 10 % по сравнению с первым вариантом расчета. И только при разбиении стенки цилиндра по толщине на 3 ряда объемных элементов значения напряжений в опорном сечении достигли уровня значений напряжений первого варианта расчета (при сетке дискретизации по площади 2×65). Значения напряжений в пролетном сечении оказались примерно одинаковыми в обоих вариантах расчета при любой сетке дискретизации. Заключение Учитывая, что общее число искомых неизвестных при сетке 2×65 в первом варианте расчета в 5,6 раза меньше, чем во втором варианте при аналогичной сетке дискретизации (при разбиении стенки цилиндра по толщине на 3 ряда элементов), можно сделать вывод о том, что использование двумерных элементов дискретизации при анализе НДС тонких оболочек вполне обосновано и является более целесообразным с точки зрения затрат машинного времени и ресурсов применяемой компьютерной техники.

### Yuriy V Klochkov

Author for correspondence.
Email: klotchkov@bk.ru
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Dr Sci. (Eng.), Professor, Head of the Department of Higher Mathematics

### Anatoliy P Nikolaev

Email: anpetr40@yandex.ru
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Dr Sci. (Eng.), Professor, Professor of the Department of Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use

### Tatyana A Sobolevskaya

Email: moonway13@rambler.ru
26 University Ave., Volgograd, 400002, Russian Federation

Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor of Higher Mathematics Department

### Mikhail Yu Klochkov

Lomonosov Moscow state University

Email: m.klo4koff@yandex.ru
1 Leninskiye Gory, Moscow, 119899, Russian Federation

a third-year student of the Faculty of Physics

• Krivoshapko S.N., Galishnikova V.V. (2015). Arhitekturno-stroitel’nye konstrukcii: uchebnik dlya akademicheskogo bakalavriata [Architectural and building structures: a textbook for academic undergraduate]. Moscow, Urait Publ., 476. (In Russ.)
• Krivoshapko S.N., Gil-Oulbe M. (2013). Geometry and strength of a shell of velaroidal type on annulus plan with two families of sinusoids. International Journal of Soft Computing and Engineering (IJSCE), 3(3), 71–73.
• Krivoshapko S.N., Gbaguidi-Aisse G.L. (2016). Geometry, static, vibration and bucking analysis and applications to thin elliptic paraboloid shells. The Open Construction and Building Technology Journal, 10, 3–28.
• Storozhuk E.A., Yatsura A.V. (2016). Exact solutions of boundary-value problems for noncircular cylindrical shells. International Applied Mechanics, 54(4), 386–397.
• Storozhuk E.A., Yatsura A.V. (2017). Analyticalnumerical solution of static problems for noncircular cylindrical shells of variable thickness. International Applied Mechanics, 53(3), 313–325.
• Bespalova E.I., Urusova G.P. (2015). Stress state of branched shells of revolution subject to transverse shear and reduction. International Applied Mechanics, 51(4), 410–419.
• Pyatikrestovskiy K.P., Travush V.I. (2015). O programmirovanii nelineynogo metoda rascheta derevyannyh konstruktsiy [On programming non-linear method for calculating wooden structures]. Academia. Arhitektura i stroitel’stvo, (2), 115–119. (In Russ.)
• Solodovnikov A.S., Sheshenin S.V. (2017). Numerical study of strength properties for a composite material with short reinforcing fibers. Moscow University Mechanics Bulletin, 72(4), 94–100.
• Kim A.Yu. (2005). Iteratsionniy metod prirascheniy parametrov dlya rascheta nelineynih membranno-pnevmaticheskih system s uchetom uprugoy raboty vozduha [Iterative method of increments of parameters for the calculation of nonlinear membrane-pneumatic systems, taking into account the elastic operation of the air]. Vestnik Saratovskogo gosagrouniverciteta im. N.I. Vavilova, (1), 39–42. (In Russ.)
• Paimushin V.N. (2016). On the forms of loss of stability of a cylindrical shell under an external side pressure. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 80(1), 65–72.
• Ignat’ev A.V., Ignat’ev V.A., Gazmatova E.A. (2018). Raschet tonkih plastin po metodu konechnih elementov v forme klassicheskogo smeshannogo metoda s isklyucheniem peremesheniy konechnih elementov kak zhestkogo tselogo [Calculation of thin plates according to the finite element method in the form of the classical mixed method with the exception of the displacements of finite elements as a rigid whole]. Izvestiya visshih uchebnih zavedeniy. Stroitel’stvo, 3(711), 5–13. (In Russ.)
• Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. (2006). Metod konechnih elementov v statike i dinamike tonkostennyh konstruktsiy [The finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, Fizmatlit Publ., 392. (In Russ.)
• Bazhenov V.A., Krivenko O.P., Solovey N.A. (2013). Nelineynoe deformirovanie i ustoychivost’ uprugih obolochek neodnorodnoy strukturi: modeli, metody, algoritmy, maloizuhennye i novye zadachi [Nonlinear deformation and stability of elastic shells of an inhomogeneous structure: models, methods, algorithms, little-studied and new problems]. Moscow, Librikom publ., 336. (In Russ.)
• Zheleznov L.P., Kabanov V.V., Boiko D.V. (2014). Nonlinear deformation and stability of discretely reinforced elliptical cylindrical shells under transverse bending and internal pressure. Russian Aeronautics, 57(2), 118–126.
• Agapov V.P., Aydemirov K.R. (2016). Raschet ferm metodom konechnyh elementov s uchetom geoetricheskoy nelineynosti [Calculation of farms by the method of finite elements with regard to geometric nonlinearity]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo [Industrial and civil engineering], (11), 4–7. (In Russ.)
• Kayumov P.A., Shakirzyanov F.R., Gavryushin S.S. (2014). Modelirovanie protsessa deformirovaniya i otsenka nesuschey sposobnosti sistemy grunt – tonkostennaya konstruktsiya [Simulation of the deformation process and assessment of the bearing capacity of the soil system – thinwalled structure]. Izvestiya visshih uchebnih zavedeniy. Mashinostroenie, (6), 20–24. (In Russ.)
• Bate K.-Yu. (2010). Methody konechnyh elementov. Moscow, Fizmatlit Publ., 1022. (In Russ.)
• Kositsyn S.B., Akulich V.Yu. (2018). Ob odnom chislennom sposobe opredeleniya osadki poverhnosti gruntovogo massiva, vizvannoy sooruzheniem obolochki obdelki tonnelya [On one numerical method for determining the precipitation of the surface of the soil massif, caused by the construction of the shell of the tunnel lining]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 14(1), 78–91. (In Russ.)
• Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Kiseleva T.A. (2015). A comparative evaluation of the scalar and vector approximations of sought quantities in the finite-element method of arbitrary shells. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 44(2), 166–172.
• Nikolaev A.P., Bandurin N.G., Kiselev A.P., Sizyh A.A. (2005). Opredelenie napryazheniy v stenkah izotermicheskogo rezervuara dlya tramsportirovki szhizhennogo gaza v mestah deystviya opor [Determination of stresses in the walls of an isothermal tank for transporting liquefied gas in places of action of supports]. Izvestiya visshih uchebnih zavedeniy. Severo-Kavkazskiy region. Seriya: Thehnicheskie nauki, (2), 54a–57. (In Russ.)
• Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. (2005). The finite element method for solid and structural mechanics. Elsevier, 631.

#### Views

Abstract - 318

PDF (Russian) - 92

#### PlumX

Copyright (c) 2018 Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Sobolevskaya T.A., Klochkov M.Y.