PROBLEM OF NUMERICAL ANALYSIS OF DEFORMATION OF BINDED REINFORCED CONCRETE ELEMENTS

Cover Page

Abstract


In 1938 standards were adopted in which the method of limiting equilibrium, developed by prof. А.А. Gvozdev and V.I. Murashev, was recommended for the calculation of reinforced concrete structures. From the very beginning, the proposed method caused a sharp discussion in the scientific community, since it contained number of contradictions. Most of the contradictions in the theory of A.A. Gvozdev became part of modern Russian standards. Until now the method of limiting equilibrium remains the main method for calculating reinforced concrete structures for strength. In recent years, a discussion has been developed on the transition to the deformation model of reinforced concrete resistance used by the European codes. In view of this, the updated version of domestic regulations allows the calculation of reinforced concrete structures using a nonlinear deformation model. However, there is a limited number of studies confirming the consistency of the proposed deformation model. In this regard we performed a series of calculations of rigidity of hinged supported on the basis of the theoretical and deformation models of the Russian standards. The calculation was carried out by the finite element method using the model of nonlinear deformation of concrete.


До середины 30-х гг. прошлого века расчет железобетонных конструкций выполнялся согласно классической теории в предположении линейной эпюры распределения нормальных напряжений по высоте изгибаемого элемента. Рассматривалось приведенное к бетону сечение, а расчет производился по формулам сопротивления материалов, в той или иной степени отражающим механику строительных конструкций. В 1938 г. были приняты нормы проектирования, в которых для расчета железобетонных конструкций рекомендовался метод предельного равновесия, разработанный в ЦНИПС выдающимся инженером А.А. Гвоздевым и его соратником В.И. Мурашевым. В том же году основные положения этого метода были изложены в работе [1]. Главное отличие от классической теории заключалось в том, что расчет железобетонных элементов выполнялся в пластической стадии работы, предшествующей разрушению конструкции. С самого начала предлагаемая А.А. Гвоздевым теория вызвала в научных кругах острую дискуссию, ввиду того, что содержала ряд противоречий, однако принятию последней во многом способствовала простота теоретической модели. Введенный в 1938 г. в нормы проектирования метод предельного равновесия до настоящего времени остается основным методом расчета железобетонных конструкций на прочность, поэтому большинство противоречий теории А.А. Гвоздева унаследовали современные нормы. Наиболее полно эти противоречия изложены в работах Р.С. Санжаровского, А.И. Звездова, Т.Т. Мусабаева и других исследователей [5-8]. Так как расчет по методу предельного равновесия выполняется в пластической стадии работы материала, минуя упругую и упруго-пластичную стадии, реализовать теоретическую модель А.А. Гвоздева для расчета железобетонных конструкций методом конечных элементов весьма затруднительно. Ввиду этого у расчетчиков возникают определенные трудности в достоверной оценке жесткости изгибаемых элементов. В 2007 г. вышли в свет нормы проектирования [2], где применительно к расчету конструкций численными методами указывалось: «В первом приближении значения понижающих коэффициентов относительно начального модуля упругости бетона с учетом длительности действия нагрузки рекомендуется принимать: для вертикальных несущих элементов - 0,6, а для плит перекрытий (покрытий) - 0,2 при наличии трещин или 0,3 - при отсутствии трещин». Последние несколько десятков лет активно развивается дискуссия относительно перехода на деформационную модель сопротивления железобетона, используемую Европейскими стандартами [9; 10]. По этой причине актуализированная редакция норм [3] допускает выполнять расчет прочности и жесткости железобетонных элементов по нелинейной деформационной модели. В качестве диаграмм деформирования бетона и арматуры нормы рекомендуют использовать билинейные и трехлинейные диаграммы. Анализу неупругого деформирования бетона, а также расчету железобетонных плит методом конечных элементов с учетом физической и геометрической нелинейности, посвящены работы В.П. Агапова, А.В. Бенина, А.С. Семенова и других авторов [11-14]. Однако в целом, исследований, подтверждающих согласованность предлагаемой деформационной модели с теоретическими положениями отечественных норм применительно к расчетам изгибаемых железобетонных элементов, имеется ограниченное количество. В связи с этим нами была выполнена серия расчетов жесткости шарнирно опертой плиты перекрытия на основании теоретической (полуэмпирической) и деформационной моделей норм. Расчет по деформационной модели выполнялся методом конечных элементов. Рассматривалась плита перекрытия следующих геометрических размеров (рис. 1): пролет l = 5600 мм, ширина b = 1000 мм, толщина h = 200 мм (h0 = 173 мм). Бетон принят класса В15 (Eb = 24000 МПа, Rb,ser = 11 МПа, Rbt,ser = 1,1 МПа). Растянутая арматура класса А400 (Es = 200 000 МПа) с площадью поперечного сечения As = 769 мм2 (514 мм). Плита была загружена длительной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 6,5 кН/м2. Рис. 1. Рассматриваемая плита перекрытия [Fig. 1. The studied slab] В качестве расчетных диаграмм состояния бетона, определяющих связь между напряжениями и деформациями, использовались упрощенные кусочно-линейные диаграммы: двухлинейная и трехлинейная (рис. 2). При этом закон деформирования арматуры определялся диаграммой Прандтля (рис. 3). Рис. 2. Деформационная модель бетона: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 2. Deformation model of concrete: а - a two-line diagram, б - a three-line diagram] Рис. 3. Диаграмма деформирования арматуры [Fig. 3. Reinforcement deformation diagram] Рис. 4. Прогибы плиты при диаграммах состояния бетона, мм: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 4. Slab deflections for diagrams of the state of concrete, mm: а - a two-line diagram; б - a three-line diagram] Рис. 5. Значения изгибающих моментов при диаграммах состояния бетона, кНм: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 5. The values of the bending moments for diagrams of the state of concrete, kNm: а - a two-line diagram; б - a three-line diagram] Рис. 6. Прогибы плиты (мм), соответствующие началу образования трещин, при диаграммах состояния бетона: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 6. Deflections of the slab (mm), corresponding to the beginning of the formation of cracks, for diagrams of the state of concrete: a - a two-line diagram; б - a three-line diagram] Рис. 7. Значения изгибающих моментов (кНм), соответствующие началу образования трещин, при диаграммах состояния бетона: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 7. The values of the bending moments (kNm), corresponding to the beginning of the formation of cracks, for diagrams of the state of concrete: a - a two-line diagram; б - a three-line diagram] Рис. 8. Ширина раскрытия трещин (мм) при диаграммах состояния бетона: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 8. Width of opening of cracks (mm) for diagrams of the state of concrete: a - a two-line diagram; б - a three-line diagram] Рис. 9. Ширина раскрытия трещин в момент трещенообразования (мм) при диаграммах состояния бетона: а - двухлинейная диаграмма; б - трехлинейная диаграмма [Fig. 9. Width of crack opening at the moment of cracking (mm) for diagrams of the state of concrete: a - a two-line diagram; b - a three-line diagram] Решение поставленной задачи выполнялось методом конечных элементов в программном комплексе Lira-Sapr 2017 [15]. Для моделирования плиты перекрытия использовались физически нелинейные оболочечные конечные элементы (№ 241). Шаг конечно-элементной сетки составлял 0,2 м. Общее количество элементов было равно 136, число узловых неизвестных системы уравнений МКЭ составляло 840. Граничные условия - шарнирное опирание плиты по коротким сторонам. Для решения задачи использовался шаговоитерационный метод с равномерным шагом приложения нагрузки, равным 0,01 q. Всего было задано 100 шагов. Анализ напряженно-деформированного состояния плиты проводился на каждом шаге нагружения конструкции. На рис. 4-8 показаны результаты расчета, полученные по нелинейной деформационной модели. Основные результаты расчета плиты перекрытия по нелинейной деформационной модели приведены в табл. 1. Для оценки достоверности полученных по деформационной модели результатов был определен прогиб плиты и выполнен расчет на раскрытие трещин согласно теоретическим положениям норм. Таблица 1 Доля на грузки, % [Load share, %] Диаграммы состояния бетона [Concrete state diagrams] Двухлинейная [Two-line] Трехлинейная [Three-line] Прогиб f, мм [Deflec tion f, mm] Пролетный из гибающий момент M, кНм [Spanning bending moment M, kNm] Ширина раскрытия трещин acrc, мм [Width of crack opening acrc, mm] Про гиб f, мм [Deflection f, mm] Пролетный изгибающий момент M, кНм [Spanning bending moment M, kNm] Ширина раскрытия трещин acrc, мм [Width of crack opening acrc, mm] 10 2,047 2,548 - 1,505 2,548 - 20 4,080 5,095 - 3,010 5,095 - 30 6,114 7,643 - 4,554 7,642 - 40 8,155 10,190 - 6,226 10,189 - 50 10,409 12,729 0,0569 7,982 12,734 - 60 13,350 15,270 0,0848 10,139 15,288 0,0695 70 16,616 17,810 0,106 12,806 17,826 0,0895 80 20,018 20,353 0,126 15,654 20,370 0,107 90 23,486 22,898 0,144 18,594 22,916 0,125 100 27,000 25,444 0,163 21,578 25,464 0,140 С учетом переменной жесткости на участке с трещинами прогиб плиты вычислялся по формуле (4.33) норм [4]: l2  1 5 3 m3mk1m4m2   1 , (1) f    48 r max  r el  где 1  9,99 10 6 1 - полная кривизна  r max мм в сечении с изгибающим моментом M; 1  2,28 10 6 1 - кривизна при действии  r crc мм момента M = Mcrc с учетом трещин;  1r el  2,68 10 6 мм1 - то же без учета трещин.  Коэффициенты m и k определяются выражениями: Mcrc; m   0,4019 M  1 k    1 /    0,228.  r crc  r max Тогда прогиб плиты равен f  5,62 (9,99 · 10-6 (5 + 3 · 0,4019 + 48 + 3 · 0,4019 · 0,228) (1 - 0,4019) + + 4 · 0,40192 · 2,68 · 10-6) = 27,6 мм. Ширину раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, определим по формуле (4.10) норм [4]: σs acrc φφφψ1 2 3 s ls, (2) Es где φ1 = 1,4 - коэффициент, учитывающий продолжительность действия нагрузки; φ2 = 0,5 - коэффициент, учитывающий профиль продольной арматуры; φ3 = 1 - коэффициент, учитывающий ха Mcrc рактер нагружения; ψs  1 0,8  0,679 - ко- M эффициент, учитывающий неравномерное распределение относительных деформаций растянутой арматуры между трещинами. Нормальное напряжение в растянутой арматуре определяется выражением M σs   239,6 МПа, z As s где плечо пары сил zs = 0,8h0 = 138,4 мм. Расстояние между трещинами равно Abt ls  0,5 ds  800,4 мм, As где Abt = 87 930 мм2; As = 768 мм2; ds = 14 мм. Так как согласно п. 4.12 норм [4] расстояние между трещинами не должно превышать 40ds и 400 мм, принимаем ls = 400 мм. Тогда ширина раскрытия трещин равна acrc 1,4 0,5 1 0,679  400  0,228 мм. Сравнение результатов, полученных по деформационной модели, с теоретической методикой норм представлено в табл. 2. Таблица 2 Теоретическая методика норм [Theoretical methodology of norms] Нелинейная деформационная модель норм [Nonlinear deformation model of norms] Расхождения, % [Discrepancies, %] Прогиб f, мм [Deflection f, mm] 27,60 27,00 2,174 21,578 21,819 Пролетный изгибающий момент M, кНм [Spanning bending moment M, kNm] 25,50 25,444 0,212 25,464 0,141 Окончание табл. 2 Теоретическая методика норм [Theoretical methodology of norms] Нелинейная деформационная модель норм [Nonlinear deformation model of norms] Расхождения, % [Discrepancies, %] Изгибающий момент образования трещин Mcrc, кНм [Bending moment of crack formation Mcrc, kNm] 10,24 12,449 17,744 13,723 25,381 Ширина раскрытия трещин acrc, мм [Width of crack opening acrc, mm] 0,228 0,163 28,509 0,140 38,596 П р и м е ч а н и е : над чертой приведены результаты, относящиеся к двухлинейной диаграмме состояния бетона, а под чертой - к трехлинейной диаграмме. [N o t e : above the line are the results relating to the twoline diagram of the concrete state, and below the line - the threeline diagram.] Выводы Расчет плиты перекрытия методом конечных элементов по нелинейной деформационной модели и последующее сравнение полученных результатов с результатами расчета согласно теоретической модели отечественных норм позволили сделать следующие выводы. 1. Прогибы плиты, определенные по нелинейной деформационной модели, неплохо согласуются с теоретической моделью норм (при двухлинейной диаграмме деформирования бетона расхождения составили около 2%, при трехлинейной диаграмме - более 21%). 2. Значения изгибающего момента образования первых трещин, полученного по деформационной модели норм, отличаются от теоретической модели на 18% в случае двухлинейной диаграммы деформирования бетона и на 25% при использовании трехлинейной диаграммы. 3. Достоверность ширины раскрытия трещин, определенной по нелинейной деформационной модели, в полной мере не подтверждается теоретической методикой норм (расхождения составили 28 и 38% соответственно). Данный факт объясняется определенной проблемой реализации численными методами положений норм, в частности корректного учета эмпирических коэффициентов 1, 2, 3, s и выполнения требования норм «…ls принимают не менее 10ds и 100 мм и не более 40ds и 400 мм». Проведенные исследования показали, что проблема гармонизации теоретических положений отечественных норм с нелинейной моделью деформирования бетона особо остро стоит для расчета сложных систем, имеющих большое количество узловых неизвестных, численными методами. Также эту проблему следует распространить и на другие классы железобетонных конструкций.

A S Markovich

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: markovich.rudn@gmail.com
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russia

PhD in Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Architecture and Civil Engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University). Scientific interests: structural mechanics, numerical methods for calculating structures, computer modeling

Mokhammed Ibragim Abu Makhadi

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: moham_d@mail.ru
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russia

PhD in Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Architecture and Civil Engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University). Scientific interests: soil mechanics, foundations, building materials, numerical methods for calculating structures

D A Miloserdova

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: milos-dasha@yandex.ru
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russia

Master’s Degree Student of the Department of Architecture and Civil Engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University). Scientific interests: calculation and design of buildings and structures

K S Akifeva

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: kristina_akifeva_svna@mail.ru
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russia

Master’s Degree Student of the Department of Architecture and Civil Engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University). Scientific interests: calculation and design of buildings and structures

M Ali Asad

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: moh_664@yahoo.com
6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russia

Master’s Degree Student of the Department of Architecture and Civil Engineering, Engineering Academy, Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University). Scientific interests: calculation and design of buildings and structures

  • Murashev V.I. (1938). Raschet zhelezobetonnykh elementov po stadii razrusheniya [Calculation of reinforced concrete elements by the stage of destruction]. Moscow – Leningrad: Gosstroiizdat, 184. (In Russ.)
  • Code of Practice 52-103-2007 (2007). Concrete monolithic building structures. The Research Center of Construction, Moscow. (In Russ.)
  • Code of Practice 63.13330.2012. (2013). Concrete and reinforced concrete structures. Design requirements. The Research Center of Construction, Moscow. (In Russ.)
  • Code of Practice 52-101-2003. (2005). Manual for the design of concrete and reinforced concrete structures from heavy concrete without prestressing of reinforcement. The Research Center of Construction, Moscow. (In Russ.)
  • Sanzarovskij R.S. (2012). Mistakes of the standards for the design of reinforced concrete. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (3), 57–65. (In Russ.)
  • Sanzarovskij R.S., Musabaev T.T. (2014). About non-compliance the Eurocode and the standard for the design of concrete and reinforced concrete structures. Concrete and reinforced concrete – looking into the future. Scientific works of III All-Russian (II International) Conference on concrete and reinforced concrete, in 7 volumes, 6, 448–458. (In Russ.)
  • Zvezdov A.I., Sanzharovskij R.S., Rybnov E.I. (2012). On national standards for reinforced concrete and ways to improve them. Concrete and reinforced concrete, (2), 19–20. (In Russ.)
  • Sanzharovskij R.S., Manchenko M.M. (2017). Errors of international standards on reinforced concrete and rules of the Eurocode. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (6), 25–36. (In Russ.)
  • Zalesov A.S., Pashchanin A.A. (2011). Calculation of the strength of reinforced concrete beams with the use of volumetric finite elements in the development of standards for the design of reinforced concrete structures. Construction mechanics and calculation of structures, (4), 66–71. (In Russ.)
  • Starchous I.V., Burtsev V.M. (2016). Calculation of flexible reinforced concrete elements by strength of normal sections with the use of a deformation model. Russian Far East: problems of development of the architectural and construction complex, (1), 449–452. (In Russ.)
  • Benin A.V., Semenov A.S., Semenov S.G., Fedorov I.V. (2011). Finite element modeling of the processes of inelastic deformation and fracture of elements of reinforced concrete structures. Marine intelligent technologies, 3(13), 102–105. (In Russ.)
  • Agapov V.P. (2004). Finite Element Method in Static, Dynamics and Stability of Structures. Textbook. 2nd Edition. Publishing House of Educational Civil Engineering Institutions, Moscow. (In Russ.)
  • Agapov V.P., Bardysheva Y.A., Minakov S.A. (2010). Accounting for physical and geometric nonlinearity in the calculation of reinforced concrete slabs and shells of variable thickness by the finite element method. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (5), 62–66. (In Russ.)
  • Agapov V.P. (2007). Nonlinear static and buckling analysis of thin plates and shells by finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 3(2), 13–19.
  • Gorodetskij D.A., Barabash M.S., Vodopyanov R.Y., Titok V.P., Artamonova A.E. (2013). The program complex LIRA-SAPR 2013. Textbook. Edited by A.S. Gorodetskij. Electronic edition, Moscow. (In Russ.)

Views

Abstract - 141

PDF (Russian) - 137


Copyright (c) 2018 Markovich A.S., Abu Makhadi M.I., Miloserdova D.A., Akifeva K.S., Asad M.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.