STRESS-STRAIN STATE OF THE RECTANGULAR PLATES ON THE BASIS OF REFINED THEORY

Cover Page

Abstract


Two variants of a refined theory for calculation of the rectangular orthotropic plates stress-strain state are represented. The plate's state equations are presented in the form three-dimensional equations of elasticity theory. The components of the plate's stress-strain state are received as the polynomial func- tions on the coordinate which is normal to the middle plane. These functions are one or two degree higher than in the Kirchhoff-Love theory are used. The virtual displacements principle is applied to obtain the two-dimensional equations and its natural boundary conditions. The modified boundary conditions for standard cases of the plate mounting are formulated. Calculation of plate stress-strain is carried out by using Laplace transform, and then the number of arbitrary constants in the integration of differential equations systems thus is twice reduced. One of the refined theory distinctive features consist in direct integration of the three dimensional elasticity problems equilibrium equations at transverse normal and tangential stresses determination. As an example, the paper considers the calculation of a rectangular isotropic plate's stress-strain under a local load. The results obtained by the refined theories and by the classical theory are compared. The essential contribution of normal transverse stress of type "boundary layer" to the general stress- strain state of a plate is shown. The received results can be used in calculations and at tests for strength and durability of aviation and space-rocket and also engineering structures of different destination


Full Text

Введение Применение в различных отраслях техники композиционных материалов, а также разработка новых методов расчета оболочечных конструкций из неоднородных материалов показали неправомерность использования [1], в той или иной степени, вариантов классической теории типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера. Построение уточнённых теорий и методов определения напряжённо- деформированного состояния (НДС) пластинок и оболочек позволить решить проблему расчёта на прочность таких конструкций, как силовые корпуса лета- тельных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также объектов других отраслей машиностроения и в строительном деле. Учёт трёхмерности НДС в зонах искажения напряженного состояния в сочетании с методами механики разрушения даёт возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах конструкций, более обоснованно вы- брать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений. Один из возможных путей построения математически обоснованной теорий пластин и оболочек состоит в применении метода прямого асимптотического интегрирования уравнении трёхмерной теории упругости. Применяя указанный метод, А.Л. Гольденвейзер [2] свел задачу определения НДС пластинок и оболочек постоянной толщины к построению трёх НДС, соответствующих в первом приближении внутреннему НДС, определяемому по классической теории, и двум дополнительным состояниям типа "погранслой", эквивалентным краевым кручению и плоской деформации. Решение этих дополнительных краевых задач со специфическими граничными условиями связано с математическими трудностями, не позволяющими применять эти результаты в практике инженерных расчетов. В связи с этим, в работах [3,4] с помощью вариационно-асимптотического метода построена уточненная теория расчета НДС прямоугольных пластин из композиционных материалов, круглых пластин и цилиндрических оболочек постоянной и переменной толщины. На основании расчетов тонких пластин и оболочек установлено, что вблизи жёстко защемленного края дополнительные напряжения краевых плоской деформации и кручения одного порядка с максимальными значениями наибольших напряжений основного НДС. С помощью этой теории разработан рас- четный аппарат, оценки прочности непрерывных соединений (фланцевых, сварных), разностенных стыков при наличии в них дефектов в виде начальных трещин. Другой подход [5], связанный с асимптотическим представлением искомого НДС тонких оболочек, базируется на безразмерных трехмерных уравнениях теории упругости в криволинейных координатах, решение которых строится с помощью модифицированного полуобратного метода Сен-Венана. В результате построены уравнения определения основного НДС, совпадающие с уравнения- ми равновесия классической теории, а также дополнительные уравнения для расчета НДС типа «погранслой», учитывающие сдвиговые деформации. Данная теория позволяет выполнить все граничные условия задачи без введения осредненных по толщине усилий и моментов. Иной подход [6,7] к построению уточненной теории заключается в разложении перемещений в полиномиальные ряды по нормальной координате и по- следующем применении вариационного принципа Лагранжа. Особенность этого подхода состоит в том, что деформации оболочки находятся с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения определяются из соотношений закона Гука и поперечные напряжения получаются интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости. Установлено, что уже при повышении на один-два порядка аппроксимирующих полиномов по отношению к классической теории, имеют место значительные дополнительные локальные напряжения. Следует отметить, что в рамках этого подхода краевые задачи для цилиндрических оболочек были обобщены на случай произвольных ортотропных оболочек, а также оболочек перемен- ной толщины. Здесь также следует отметить работы [8, 9], в которых рассматриваются методы уточненного расчета оболочек и пластин переменной толщины. В работе [8] оболочка представляется в виде ограниченного трехмерного континуума специальной структуры, допускающего расчленение объекта на совокупность оболочечных элементов. Наряду со стандартными условиями равновесия, используется дополнительное уравнение равновесие элемента в направлении его толщины. В качестве примера исследуются свободные колебания линейно- упругой пластинки, в частности, упругие волны в направлении толщины элемента. Модели различной степени сложности для упругих призматических оболочек переменной толщины при температурном воздействии построены в работе [9]. Для понижения размерности задачи к фундаментальным уравнениям термоупругости для однородных изотропных тел применяется метод Векуа, основанный на преобразовании Фурье-Лежандра. В данной работе применяется подход, представленный в [7]. Основные уравнения уточненной теории пластин получаются с помощью вариационного принципа Лагранжа и разложения перемещений по толщине. Такой прием позволяет рассматривать не только тонкие пластины, но и пластины средней толщины. В качестве примера рассматривается расчет НДС прямоугольной изотропной пластины, находящейся под действием локальной нагрузки. 2. Основные уравнения уточненной теории пластин Ортотропная пластина рассматривается как трехмерное твердое тело, отнесенное к декартовой системе координат (рис.1). Координатные оси , совпадают с главными направлениями срединной поверхности пластины, а ось направлена по наружной нормали к этой поверхности. Пластина находится под действием распределенной нагрузки , приложенной на верхней поверхности (рис. 1). Края пластины , , , могут быть любы- ми, т.е. свободными, шарнирно опертыми и жестко защемленными. Перемещения пластины определяются следующими разложениями: (1) Рис. 1. Прямоугольная пластина Параметры , в (1) принимают значения 0 или 1. Варьируя значения , , можно получить два варианта уточненной теории. Геометрические соотношения имеют вид (2) Подставляя разложения (1) в (2), находим деформации (3) Уравнения связи напряжений и деформаций принимаются в следующем виде: (4) где коэффициенты представляют собой упругие постоянные ортотропного материала пластины. Для получения основных уравнений теории пластин используется вариационный принцип Лагранжа: (5) В уравнении (5) вариация потенциальной энергии деформации определяется как , (6) и - вариация работы внешней нагрузки, находится по формуле . (7) Подставляя формулы (6), (7) в (5) с учетом (1), (3) и (4), получим систему основных уравнений уточненной теории пластин: (8) Здесь приняты следующие обозначения: Соответствующие краевые условия представляются на краях x = 0, a: (9) при на краях y = 0, b: (10) при Очевидно, что краевые условия (9), (10) охватывают все разнообразие возможных условий закрепления пластины, а их количество полностью соответствует порядку системы дифференциальных уравнений в частных производных (8). Решая уравнения (8) с учетом краевых условий (9), (10), находим перемещения , и . Напряжения , , определяются формулами (3), (4), а поперечные напряжения получаются с помощью интегрирования уравнений равновесия теории упругости: 3. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений Далее полагаем, что пластина на рис.1 имеет шарнирные опоры на краях y = 0, b. Тогда разлагаем нагрузки и перемещения в ряды по тригонометрическим функциям вида: (11) где . После подстановки разложений (11) в уравнения (8) и краевые условия (9), (10), находим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций , , , , и соответствующие краевые условия. Покажем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций , , : (12) Здесь коэффициенты K с верхними и нижними индексами обозначают постоянные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных ортотропного материала пластины. Ввиду громоздкости соответствующих им выражений, они не приводятся. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (12) в ряде случаев может быть решена приближенными методами, например, с помощью одинарных и двойных тригонометрических рядов. Однако расчет НДС оболочек, находящихся под действием локальных, в том числе сосредоточенных нагрузок, потребует удержания в этих рядах большого количества членов, что повышает трудоемкость вычислений. Поэтому для решения указанной системы обыкно венных дифференциальных уравнений предлагается использовать операционный метод, основанный на преобразовании Лапласа. Этот метод имеет ряд преимуществ по сравнению с другими методами. Во-первых, из-за автоматического выполнения граничных условий на одном из краев оболочки вдвое сокращается число произвольных постоянных; во-вторых, правые части системы уравнений, соответствующие нагрузочным членам, могут быть не только аналитическими функциями, но и функциями ступенчатого вида и иметь точки разрыва. 4. Исследование напряженно-деформированного состояния пластины под действием локальной нагрузки Рассматривается пластина, находящаяся под действием локальной нагрузки: Тогда компоненты перемещений и соответствующих напряжений пластины определяются -м слагаемым в разложении (11). В качестве примера рассматривается квадратная изотропная пластина со следующими параметрами: , , , , коэффициент Пуассона . Результаты вычисления максимальных нормальных напряжений пластины, жестко защемленной на краях , по двум вариантам уточненной теории представлены на рис. 2-5. Отметим, что на этих рисунках аббревиатура General соответствует варианту уточненной теории (S1 = S2 = 1) и вариант S1 = S2 = 0 следует рассматривать как соответствующей расчету по классической теории. Рис. 2. Изменение по оси х Рис. 3. Изменение по оси x Рис. 4. Изменение по оси х Рис. 5. Изменение по толщине на краю пластины Анализ полученных результатов показывает, что вне краевой зоны значения напряжений, определенных по всем вариантам уточненной теории, сходят- ся. Максимальное рассогласование результатов расчета имеет место при определении нормальных тангенциальных напряжений и составляет 7,6%. В краевой зоне результаты расчета по теориям и практически совпадают. При исследовании НДС пластины с помощью теории ( ) напряжения в краевой зоне несколько уточняются, для нормальных тангенциальных напряжений - на 12,5%, а для - на 14%. Нормальные поперечные напряжения , соответствующие уточненной теории, в краевой зоне пластины оказываются одного порядка с максимальными величинами основного изгибного напряжения (рис. 5). Здесь надо отметить, что нормальные поперечные напряжения , определяемые по уточненной теории и классической теории , сравнительно малы. Графики изменения перемещений на верхней поверхности пластины, рассчитанные по теории ( ) показаны на рис. 6-7. Рис. 6. Изменение прогиба Рис. 7. Изменение перемещения Из графиков рис. 6, 7 следует, что максимальные величины перемещений в центре пластины уточняются на 15%. Результаты расчета пластины, жестко защемленной на краю и свободной на краю , по уточненной теории представлены на рис. 8-9. Рис. 8. Изменение , , по оси x Рис. 9. Изменение , , по толщине на защемленном краю Очевидно, что все нормальные напряжения, включая и поперечные, на защемленном краю пластины представляют собой величины одного порядка. 5. Заключение На основании полученных результатов можно установить следующее: 1. На основании вариационного принципа Лагранжа и разложения компонентов перемещений в полиномиальные ряды по толщине на один-два порядка выше по отношению к классической теории построены два варианта уточненной теории прямоугольных пластин. 2. Учет трехмерности НДС в пластине показал, что поперечные нормальные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, в краевой зоне («пограничный слой») оказываются одного порядка с максимальными вели- чинами основного изгибного напряжения; этот результат имеет важное значение, так как позволяет достоверно оценить прочность и трещиностойкость эле- ментов конструкций летательных аппаратов, а также других объектов машиностроения, в том числе, выполненных из композиционных материалов. 3. Проведено сравнение результатов расчета НДС пластины при использовании двух вариантов уточненной теории. Установлено, что при исследовании НДС в краевых зонах пластины следует использовать уточненную теорию, соответствующую варианту . В расчетах перемещений разница между двумя вариантами уточненной теории составляет около 10%. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта РФФИ №17-08-00849\17)

About the authors

NGOC DOAN TRAN

Le Quy Don Technical University in Hanoi, Vietnam

Author for correspondence.
Email: ngocdoanmai@gmail.com

Viet Nam, 236 Hoang Quoc Viet, Hanoi, Vietnam

Phd, Head of the department "System Design of Aircraft" of Le Quy Don Technical University in Hanoi, Vietnam. Scientific interests: dynamics and strength of composite structures, aeroelasticity of aircraft, development of definite the stress-strain state calculation methods of plates and shells

VALERY V FIRSANOV

Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation

Email: kaf906@mai.ru
4 Volokolamskoe shosse, Moscow, 125993, Russian Federation

Doctor of Engineering Sciences, Professor, head of the Department Theory of machines and machine components of the Moscow Aviation Institute (National Research University). Scientific interests: development of orthotropic plates and shells with a constant and variable thickness non-classical theory on the basis of more exact solution of three-dimensional elasticity theory equations variation-asymptotic method.

References

  1. Picul, V.V. (2000). The modern condition of theory shells and the perspectives their progress, Izvestiya RAN, Mechanic of Solids, (2), 153–168. (In Russ.).
  2. Goldenveizer, A.L. (1976). Theory of Elastic Thin Shells. Moscow: Nauka publ. 512. (In Russ.).
  3. Firsanov, V.V. (2002). Refined theory of rectangular composite plates. Mechanics of Composite Materials and Structures, 8 (1), 28–64. (In Russ.).
  4. Firsanov, V.V. (2016). Stress state called as "boundary layer" is boundary torsion of the rectan-gular plate. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (6), 44–51. (In Russ.).
  5. Zveriaev, E.M. (2016). Constructive Theory of Thin Elastic Shells. doi: 10.20948/prepr-2016-33. URL: http://www.keldysh.ru/papers/2016/prep2016_33.pdf (In Russ.).
  6. Vasiliev, V.V., Lurye, S.A. (1990). Problem of developing nonclassical theory of plates. MTT Mechanics of Solid, (2), 158–167. (In Russ.).
  7. Firsanov, V.V., Tran, N.D., (2011). Energy-Consistent theory of cylindrical shells. Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 40 (6), 543–548. (In Russ.).
  8. Dicarlo, A., Podio-Guidugli, P., Williams, W.O. (2001). Shells with thickness distension. Intern. J. of Solids and Structures, 38 (6-7), 1201–1225.
  9. Jaiani, G. (2015). Differential hierarchical models for elastic prismatic shells with microtem-peratures. ZAMM (Journal of Mathematics and Mechanics), 95 (1), 77–90.

Statistics

Views

Abstract - 300

PDF (Russian) - 461

Cited-By


PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2018 TRAN N.D., FIRSANOV V.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies