PARAMETERIZATION OF STRUCTURE ELEMENTS OF COMPLEX GEOMETRY

Abstract


Experimental approach of parametrization of three-dimensional bodies and thin-walled elements of structures of complex geometry is considered Algorithm for constructing a spa- tial network, as well as determining the coordinates, components of the metric tensor and Christoffel symbols are given. Efficiency of modeling elements of complex geometry by a spline version of the finite element method is discussed


Введение. Тонкостенные конструкции, сочетающие в себе легкость с высокой прочностью, находят широкое применение в авиастроении, ракетостроении и кораблестроении, нефтехимии и т.д. [1, 2]. Они воспринимают большие нагрузки, работают в агрессивных средах и испытывают воздействие физических полей. Разрабатывают различные пленки и покрытия [3-5]. Среди тонкостенных конструкций особенно эффективными по своим характеристикам являются оболочки сложной геометрии [1, 2]. Наряду с малым весом они имеют высокие механические характеристики по жесткости и прочности. Варьируя форму поверхности, можно создавать легкие, высокопрочные и архитектурно выразительные конструкции. Эффективность применения оболочек сложной геометрии доказывается самой природой. Рождение конструктивных криволинейных форм сложной геометрии в строительном деле одно из крупных изобретений человечества, история которого уходит вглубь веков. Различают оболочки сложной геометрии канонической формы, срединная поверхность которых может быть задана аналитическими формулами. Информация о таких поверхностях имеется, в частности, в энциклопедии С.Н. Кривошапко и В.Н. Иванова [2]. Однако срединную поверхность не всех оболочек можно описать аналитически - это оболочки неканонической геометрии, которые не менее функционально необходимы и эффективны по своим характеристикам жесткости и прочности. Среди трудностей, связанных с более широким распространением тонко- стенных конструкций сложной геометрии, можно отметить сложность технологии их изготовления, а также проблемы, возникающие при их моделировании. В ходе разрешения таких трудностей разработан безопалубочный способ формования оболочек сложной геометрии из ориентированных полимерных материалов. На разработанные способы авторами получены патенты РФ на изобретения №2255864 и №2295446. Кроме того бурное развитие 3D-печати открывает широкие возможности в практическом применении сложных криволинейных форм. Для более эффективного использования новых тонкостенных оболочек сложной геометрии необходимо научиться определять их физико-механические качества, оценивать напряженно-деформированное состояние и устойчивость под действием различных нагрузок. В последней четверти XX века появились методы расчета тонкостенных оболочечных конструкций сложной геометрии. Интенсивно разрабатываются различные варианты метода конечных элементов. Среди них можно отметить сплайновый вариант метода конечных элементов, базирующийся на синтезе идеи параметризации поверхности сложной геометрии и метода конечных элементов [6-8]. При этом задача параметризации поверхности сложной геометрии вызывает определенные трудности. Для решения данной проблемы был разработан экспериментально-теоретический метод определения параметров срединной поверхности оболочки сложной геометрии (патент РФ на изобретение №2374697). В процессе эксплуатации в элементах конструкций и сооружений возникают коррозионные и механические дефекты, происходят изменения механических свойств поверхностных слоев, а также геометрических и физических параметров по толщине оболочки [9, 10]. Для оценки концентрации напряжений в дефектных областях тонкостенных конструкций необходимо использовать трехмерные конечные элементы. Развитие современных методов расчета и рост возможностей вычислительной техники позволяют уточнять расчетные схемы и переходить от двумерных к трехмерным расчетным схемам. Все это позволяет более точно оценивать напряженно-деформированное состояние конструкций и сооружений, в частности, с учетом различных локальных дефектов, переменности модуля упругости по толщине и других факторов и тем самым получить правильный прогноз о состоянии конструкции. Начата разработка численного метода определения напряженно- деформированного состояния трехмерных объектов сложной геометрии на базе трех- мерных элементов [11, 12]. При этом для задания геометрических параметров узловых точек конечных элементов необходимо выполнить параметризацию рассматриваемого элемента конструкции. Экспериментальный способ параметризации элементов конструкций. Рассматривается элемент конструкции сложной геометрии - тело с шестью криволинейными гранями с вершинами a, b, c, d, e, f, g, h (рис. 1). Изготавливают пространственный каркас abcdefgh из криволинейных формообразующих ребер, совпадающих с контуром параметризуемого элемента. На криволинейных элементах ab, bc, cd, da, ef, fg, gh, he, ea, fb, gc, hd делают метки в соответствии с заданным типом разбивки. Изготавливают трехмерную сеть из эластичных (например, резиновых) нитей 1, которые соединены в узлах 2 (рис. 2). На каркас abcdefgh натягивают пространственную сеть из эластичного материала. При этом внешние узловые точки при натяжении сети представляют собой грани формируемого тела, а внутренние узловые точки - расчетные точки тела. Каркас фиксируют относительно базисных оснований 3, 4 и 5 (с плоскостями, соответственно, ?, ? и ?) при помощи, например, опор 6, 7 и 8 (рис. 3). На рисунках обозначены: x, y, z - координаты в декартовой системе; xh, yh, zh - координаты точки h в декартовой системе; t1, t2 и t3 - координаты (параметры) параметрического куба; V - объем, который занимает элемент конструкции; М - произвольная точка элемента конструкции (принадлежит объему V, включая поверхность тела); ?, ?, ? - ортогональные плоскости базисных оснований экспериментальной установки; - радиус-вектор произвольной точки М области V. Параметрический куб, состоящий из ячеек в виде параллелепипедов, занимает объем Vф в координатах t1, t2 и t3. В частном случае выбирают параметры t1, t2 и t3 в пределах от 0 до 1. При этом Мф - произвольная точка в параметрическом кубе объема Vф, соответствует произвольной точке М элемента конструкции. Далее производят замеры координат узловых точек деформированной сети относительно оснований 3, 4 и 5 по осям x, y и z при соответствующих параметрах t1, t2 и t3 единичного куба с областью Vф, то есть получают координаты и определяют радиус-векторы в узлах сетки по формуле: , (1) где - единичные орты в декартовой системе координат. Алгоритм построения пространственной сети и вычисления ее параметров осуществляется в следующей последовательности: 1. Дифференцируя выражение (1) по t1, t2 и t3, определяют координатные векторы , и : . (2) Например, определяется в виде: , где i, j, k - идентификационные номера узловых точек по соответствующим направлениям координатных осей в трехмерном пространстве. 2. Определяют ковариантные компоненты первого основного метрического тензора g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33: , (3) Например, g12 определяется в виде: 3. Аналогично определяют контравариантные компоненты первого основного метрического тензора g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33: , (4) 4. Далее определяют фундаментальный определитель g: . (5) 5. Дифференцируя ковариантные компоненты первого основного метрического тензора (3) по t1, t2 и t3, определяют их первые производные: (6) 6. Далее определяют символы Кристоффеля второго рода по общей формуле: . (7) Например, определяется в виде: . Таким образом, для элемента конструкции определяют по параметрам t1, t2 и t3: значения координат ; ковариантные g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33 и контравариантные g11, g12, g13, g21, g22, g23, g31, g32, g33 компоненты метрического тензора; определитель g; символы Кристоффеля . При необходимости осуществляют сглаживание полученных результатов в процессе их обработки. В общем случае, вместо параметрического куба используют параметрический параллелепипед. Заключение. Разработан экспериментальный подход параметризации трехмерных тел сложной геометрии, позволяющий также выполнить параметризацию тонкостенных элементов конструкции. Подход позволяет повысить эффективность моделирования элементов конструкции сложной геометрии сплайновым вариантом метода конечных элементов

SAMAT NUKHOVICH YAKUPOV

IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: tamas_86@mail.ru
Республика Татарстан, г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31

Сandidate of technical Sciences, Institute of Mechanics and Engineering (IME), Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences. Sphere of scientific interests: mechanics of thin-walled structures, mechanics of films and membranes, composite structures, adhesion, corrosion,

RINNAT GALEEVICH NURULLIN

IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences

Email: nrg@mail.ru
Республика Татарстан, Казань, Лобачевского, 2/31

Сandidate of technical Sciences, IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences. Sphere of scientific interests: mechanics of thin-walled structures, mechanics of films and membranes, Stability of objects, life safety

NUH MAKHMUDOVICH YAKUPOV

IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences

Email: yzsrr@kfti.knc.ru
Республика Татарстан, Казань, Лобачевского, 2/31

doctor of technical Sciences, professor, member- correspondent of the Russian Academy of engineering, chief researcher, head of laboratory of Nonlinear mechanics of shells, IME, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences. Sphere of scientific interests: mechanics of thin-walled structures of complex geometry; films and membranes, corrosion, finite element method, construction and engineering design

  • Yakupov, N.M., Galimov, Sh.K., Khismatullin, N.I. (2001). Ot Kamennyh Glyb k Tonkostennym Konstrukciyam [From Stones to Thin-walled Structures]. Kazan': Izd-vo “SOS”. 96 p.
  • Krivoshapko, S.N., Ivanov, V.N. (2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer International Publishing Switzerland. 752 p.
  • Yakupov, N.M., Yakupov, S.N. (2009). Definition of mechanical characteristics of films with the pores, nanoinclusions and nanocoatings. Abstracts: The second Nanotechnology International Fo-rum. Moscow: Rusnanotech. 344—346.
  • Montemor, M.F. (2014). Functional and smart coatings for corrosion protection: A review of recent advances. Surface & Coatings Technology, 258. 17—37.
  • Yakupov, S.N., Yakupov, N.M. (2017). Thin-layer films and coatings. Journal of Physics: Conference series 857 012056.
  • Yakupov, N.M. (1984). Ob odnom metode rascheta obolochek slozhnoj geometrii [On one method of analysis of shells of complex geometry]. Issledovaniya po Teorii Obolochek. Trudy seminara. Kazan': KFTI KFAN SSSR, Iss. 17, Part II. 4—17.
  • Kornishin, M.S., Yakupov N.M. (1987). Splajnovyj variant metoda konechnyh ehlementov dlya rascheta obolochek slozhnoj geometrii. Prikladnaya Mekhanika, Vol. 23, No 3. 38—44.
  • Yakupov, N.M, Kiyamov, H.G., Akhmadiev, F.G, Kiyamov, I.H, Yakupov, S.N. (2012). Simulation of shells of complex geometry. 14th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. Moscow, June 27-29, 2012, 0139 paper_long.pdf.
  • Yakupov, N.M., Nurullin, R.G., Nurgaliyev, A.R., Yakupov, S.N. (2012). Maintenance of safety of water-cooling tower constructions. 19th European Conference on Fracture: Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety. Kazan, Russia, 26-31 August, 2012. 211_proceeding.pdf
  • Yakupov, N.M., Yakupov, S.N., Rynkovskay, M.I. (2016). Some problems of corrosion and methods of protection. Abstract Book: 2nd International Congress On Technology - Engineering & SciencE. Malaysia. July 28-29. 2016. 143—145.
  • Yakupov, N.M., Kiyamov, H.G. et al (2002). Metody i podhody issledovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya konstrukcij slozhnoj geometrii [Methods and approaches of inves-tigation of stress-strain state of a structure of complex geometry]. Stroitel'stvo. Izv. VUZov, №8 (524). 14—18.
  • Yakupov, N.M., Kiyamov, H.G., Yakupov, S.N., Kiyamov, I.H. (2011). Modelirovanie ehlementov konstrukcij slozhnoj geometrii trekhmernymi konechnymi ehlementami [The modelling of elements of structures of complex geometry by 3D finite elements]. Mekhanika Kompozicionnyh Materialov i Konstrukcij, No 1. 145—154.

Views

Abstract - 226

PDF (Russian) - 75


Copyright (c) 2017 YAKUPOV S.N., NURULLIN R.G., YAKUPOV N.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.