INHIBITION OF CURVILINEAR COHESIVE CRACK GROWTH IN A BENDING STRIP (BEAM) BY INDUCED HEAT STRESS FIELD

Cover Page

Abstract


We consider a temperature changes near end of curvilinear crack with end zones of mate- rial cohesive forces in bending strip (beam). The aim of the local temperature changes is a delay or inhibition of crack growth. Boundary value problem for equilibrium of curvilinear crack under the action of external bending loads, induced thermoelastic stress field and trac- tions in bonds, preventing its disclosure, is reduced to a system of nonlinear singular integro- differential equations with the kernel of Cauchy type. Condition of crack limit equilibrium is formulated on the basis of a two-parameter fracture criterion.


Введение. Значительный интерес представляет оценка эффективности применения локальных изменений температуры вблизи конца трещины на за- медление роста трещины в элементах конструкций [1-23]. Такие локальные из- менения температуры полосы (белки) легко выполнимы технологически. Их задача состоит в задержке или торможении развития сквозной трещины. По- этому решение задач механики разрушения для полос (балок) с трещиной, вблизи кончика, которой имеются изменения температуры, представляет теоре- тический и практический интерес. Постановка задачи. Рассматривается однородная изотропная полоса, ос- лабленная одной сквозной криволинейной трещиной. Обозначим ширину и толщину полосы соответственно через 2с и 2h. Декартовы координаты Оху в срединной плоскости полосы (балки) являются плоскостью симметрии. Исполь- зуется модель трещины [24, 25] со связями между берегами в концевых зонах. Принято, что на полосу (балку) действуют изгибающие нагрузки (такие как изгибающие моменты, равномерно распределенное по длине полосы давление или сосредоточенные силы). При действии на полосу изгибающей силовой на- грузки в концевых зонах криволинейной трещины будут возникать области предразрушения. Области предразрушения моделируем как зоны ослабленных межчастичных связей материала, а взаимодействие их берегов связями между ними. Диаграмма деформирования связей считается заданной, в общем случае закон деформирования связей является нелинейным. Размеры зоны предразру- шения зависят от вида материала полосы (балки). Исследуется самый неблагоприятный случай, когда трещина направлена к боковым граням полосы. Берега криволинейной трещины свободны от внешней изгибающей нагрузки. В реальных конструкционных материалах поверхности берегов трещины имеют неравности и искривления. Для торможения роста кри- волинейной трещины на пути ее распространения с обеих концов с помощью нагрева тепловым источником областей S1 и S2 до некоторой постоянной темпе- ратуры Т = Т0 создается зона сжимаемых напряжений. Считается, что в началь- ный момент произвольные области S1 и S2 в окрестности концов трещины на пути роста трещины в полосе мгновенно нагреваются до температуры Т0 = const. Остальная часть полосы в начальный момент t = 0 имеет нулевую темпе- ратуру. Под действием внешней изгибающей, а также тепловой нагрузок в связях, соединяющих берега зон предразрушения, появятся нормальные qy(x) и каса- тельные qxy(x) напряжения. Значения этих напряжений заранее неизвестны и подлежат определению. Трещина, имеющаяся в полосе (балке), принята близ- кой к прямолинейной форме, с лишь малыми отклонениями от прямой у = 0. Уравнение контура криволинейной трещины с зонами предразрушения прини- мается в виде: у = f(х), a ? x ? b. Граничные условия рассматриваемой задачи механики разрушения имеют следующий вид ?n - i?nt = 0 при у=f(х), a1?x?b1 на свободных берегах трещины; (1) ?n - i?nt = qy - iqxy при у=f(х), a?x?а1 и b1?x?b на берегах концевых зон предразрушения. Основные уравнения исследуемой задачи дополняем уравнением, связы- вающим раскрытие (перемещения) берегов криволинейной трещины в зонах предразрушения и напряжения в связях. Это уравнение представим в виде . (2) Здесь функции Пу(х,?), Пх(х,?) представляют собой эффективные податли- вости связей, зависящие от натяжения; - модуль вектора напряжений в связях. Метод решения задачи. Для решения поставленной задачи используем приближенный метод [26]. Напряженно-деформированное состояние в окрест- ности криволинейной трещины находим приближенно в том смысле, что будем удовлетворять граничным условиям задачи на берегах трещины (условия (1)) и также требовать, чтобы на значительном расстоянии от трещины с зонами предразрушения напряженное состояние в полосе совпадало с напряженным состоянием, определяемым комплексными функциями , (3) . Эти функции в зависимости от значений коэффициентов Аj и Bj (j = 0,1,2,3) определяют напряженное состояние в полосе без трещины и нагретых зон. Решение задачи для компонент тензора напряжений ищем в виде , , . (4) Здесь , , - есть решение задачи термоупругости для полосы без трещины; , , - компоненты напряжений для полосы, ослабленной одной сквозной криволинейной трещиной, при этом внешняя нагрузка прило- жена по поверхности берегов трещины. Эта поверхностная нагрузка определя- ется в процессе решения задачи. После решения задач теории теплопроводности и термоупругости для сплошной полосы находим напряжения , , (см. [21]). Граничные условия (1) на берегах криволинейной трещины с зонами пред- разрушения с учетом соотношений (4) запишем в виде при у = f(х), a1 ? x ?b1, (5) при у = f(х), a ? x ? а1 и b1 ? x ? b, Рассмотрим некоторую произвольную реализацию искривленной (с ма- лыми отклонениями от прямолинейной формы) поверхности берегов трещины. Так как функции при f(х) и являются малым величинами, функцию f(х) можно представить в виде у = ?Н(х), где ? - малый параметр. Для решения гра- ничной задачи (5), используем метод возмущений. Напряжения , , , перемещения , и усилия в связях ищем в виде разложений по малому па- раметру: ; ; , ; , ; Используя процедуру метода возмущений, находим граничные условия за- дачи по определению напряжений , , , , , и перемещений , при у = 0 a ? x ? b в нулевом приближении при у = 0, a1 ? x ? b1, (6) при у = 0, a ? x ? а1 и b1 ? x ? b; в первом приближении при у = 0, a1 ? x ? b1, (7) при у = 0, a ? x ? а1 и b1 ? x ? b. Функции N и Tt определяются по формулам (10) в [21]. Напряжения , , и перемещения , выразим через две кусочно-аналитические функции Ф0(z) и ?0(z) согласно представлениям Колосова-Мусхелишвили [26]: , (8) , где ? = (3 - ?)/(1 + ?) для плоского напряженного состояния; ? - коэффициент Пуассона; ? - модуль сдвига материала. Если в формулах (8) перейти граничным значениям на контуре трещины с концевыми зонами предразрушения в нулевом приближении, т.е. положить у??0, и учесть граничные условия (6), то получим задачу линейного сопряже- ния граничных значений искомых функций Ф0(z) и ?0(z) , (9) , где Решая задачу линейного сопряжения (9) и учитывая поведение аналитиче- ских функцией Ф0(z) и ?0(z) на бесконечности, находим , (10) . Здесь функции Ф0(z) и ?0(z) находятся соотношениями (3), а многочлен Pn(z) имеет вид Pn(z) = Dnzn + Dn-1zn-1 + ...+ D0. (11) При z?? . Корень под знаком интеграла пред- ставляет собой значение ветви соответствующей аналитической функции выде- ляемой условием на верхнем берегу трещины. Степень полинома (11) и его коэффициенты D0, D1,…, Dn находятся из ус- ловия поведения аналитических функций Ф0(z) и ?0(z) в окрестности точки . Таким образом, при нахождении коэффициентов D0, D1,…, Dn нужно функцию Ф0(z) (10) разложить в ряд по степеням z в окрестности точки и сравнить это разложение с выражением , . Проведя необходимые вычисления для определения искомых коэффициен- тов D0, D1, …, Dn, получим систему уравнений для их определения. В полученные соотношения (10) входят неизвестные напряжения и в концевых зонах предразрушения. Условием, служащим для определе- ния неизвестных напряжений и в связях между берегами тре- щины в зонах предразрушения, является дополнительное уравнение (2). С по- мощью полученного решения рассматриваемой задачи, найдем раскрытие ме- жду противоположными берегами трещины в концевых зонах предразрушения. (12) , где . С помощью формул Сохоцкого-Племеля [26] из полученного решения (10), получим . (13) Подставляя это выражение (13) в соотношение (12), для определения на- пряжений и в связях в концевых зонах предразрушения трещины в нулевом приближении, получаем нелинейная комплексное сингулярное ин- тегродифференциальное уравнение относительно неизвестных функций : (14) (a ? x < a1 и b1 ? x ? b), где . Полученное уравнение (14) представляет собой нелинейное интегродиффе- ренциальное уравнение с ядром типа Коши. Это уравнение может быть решено численно. При чистом изгибе полосы с трещиной с концевыми зонами предразруше- ния Fn(z) = 0. При изгибе полосы под действием равномерно распределенной нагрузки Fn(z) = 0. В случае изгибе консольной полосы с трещиной коэффици- енты d0, d1, d2, d3 определяются формулами: , , , . где Q - поперечная сила, приложенная на ее свободном конце; I - момент инер- ции полосы. Отделяя в комплексном сингулярном интегродифференциальном уравне- нии (14) реальные и мнимые части, получим систему двух действительных не- линейных сингулярных интегродифференциальных уравнения относительно неизвестных функций и : (15) , (16) . Здесь , , , . Методика численного решения задачи и анализ. Уравнения (15) и (16) представляют собой нелинейные интегродифференциальные уравнения с ядром типа Коши. Их можно решить численно, используя коллокационную схему [27- 29] с аппроксимацией неизвестных функций. Для алгебраизации сингулярных интегродифференциальных уравнений (15), (16) приведем сначала все отрезки интегрирования к одному [-1,1]. Это достигается с помощью замены переменных , . Левая часть интегродифференциального уравнения (15) при такой замене переменных примет вид: . Соответственно, для левой части уравнения (16) находим: . Заменяем производную, входящую в правую часть уравнения (15), для произвольного внутреннего узла конечно-разностной аппроксимацией. Анало- гично поступаем с правом частью интегродифференциального уравнения (16). Используя квадратурную формулу Гаусса-Чебышева, все интегралы в уравне- ниях (15) и (16) заменяются конечными суммами, а производные в правых час- тях этих уравнений заменяются конечноразностными аппроксимациями. Упомянутые выше формулы позволяют свести каждое интегродифферен- циальное уравнение к конечной системе алгебраических уравнений относи- тельно приближенных значений неизвестной функции, соответственно, в узло- вых точках. В результате находим: (17) (m = 1,2,…,M1), (18) (m = 1,2,…,M1). Здесь принято, что , , , , . В результате алгебраизации вместо каждого сингулярного интегродиффе- ренциального уравнения в нулевом приближении получаем систему из М1 ал- гебраических уравнений для нахождения напряжений в связях в узловых точках концевых зон трещины. Здесь М1 - число узловых точек, содержащихся в кон- цевых зонах трещины. Когда закон деформирования межчастичных связей яв- ляется нелинейным, для решения полученных систем использовали итерацион- ный алгоритм, подобный методу упругих решений А.А. Ильюшина [30]. В частном случае линейно упругих связей системы (17) и (18) являются ли- нейными и для их численного решения использовали метод Гаусса с выбором главного элемента. После решения алгебраических систем (17) и (18) вычисля- лись коэффициенты интенсивности напряжений для окрестности каждой вер- шины трещины в нулевом приближении для левого конца трещины: , , , ; для правого конца трещины: , , , . В этих формулах напряжения и определяются с помощью функций (3) на берегах трещины с концевыми зонами. После определения ком- понент тензора напряжений в нулевом приближении , и находим функции N и Tt. Последовательность решения граничной задачи (7) в первом приближении аналогична решению задачи в нулевом приближении. Ре- шение граничной задачи (7) об отыскании кусочно-аналитических функций Ф1(z) и ?1(z) запишется в виде . (19) Для окончательного определения комплексных потенциалов Ф1(z) и ?1(z) первого приближения необходимо найти неизвестные напряжения и в связях между берегами трещины в концевых зонах. Повторяя аналогично нулевому приближению вывод получения сингуляр- ных интегродифференциальных уравнений относительно неизвестных функций и , находим , , где . Аналогично нулевому приближению, при алгебраизации интегродифферен- циальных уравнений все интервалы интегрирования были приведены к одному отрезку ?-1,1?. Далее интегралы в правых частях уравнений были сведены к ко- нечным суммам с помощью квадратурных формул типа Гаусса-Чебышева. В результате алгебраизации были получены следующие алгебраические системы (20) (21) где ; ; m = 1,2,…,M1. После решения алгебраических систем (20) и (21) методом упругих реше- ний А.А. Ильюшина вычислялись коэффициенты интенсивности напряжений в первом приближении , , , и , , , . Окончательно для коэффициентов интенсивности напряжений имеем соотношения: для левого конца трещины , , , , ; для правого конца трещины , , , . Анализ предельного равновесия изгибаемой полосы с криволинейной тре- щиной с зонами предразрушения осуществляем с помощью двухпараметриче- ского критерия разрушения. Первый критерий - это условие продвижения вершины трещины, а второй условие разрыва связей на краю концевой зоны. В качестве первого условия разрушения используем силовой критерий разрушения Ирвина. Состоянию предельного равновесия вершины трещины соответствует выполнение условие К = Кс, (22) где - модуль коэффициентов интенсивности напряжений при наличии связей в концевой зоне трещины; Кс - постоянная материала. В качестве второго условия разрушения используем критерий критиче- ского раскрытия берегов трещины и полагаем, что разрыв связей на краю кон- цевой зоны ( или ) происходит при выполнении условия , (23) где ?с - предельная длина связи. Совместное решение полученных уравнений и двухпараметрического кри- терия разрушения (22) и (23) позволяет (при заданной длине трещины и харак- теристиках связей) установить предельную внешнею изгибающего нагрузку и размеры концевых зон для критического состояния, при котором происходит рост трещины в полосе. Для заданных размеров трещины к концевых зон, используя предельные значения Кс и ?с можно выделить режимы равновесия и роста трещины при мо- нотонном нагружении. Если выполняются условия К ? Кс, V( ) ? ?c, то происходит продвижение вершины трещины с одновременным увеличением длины концевой зоны без разрыва связей. Этот этап роста трещины можно рас- сматривать, как процесс приспособляемости к заданному уровню внешних на- грузок. Рост вершины трещины с одновременным разрывом связей на краю концевой зоны будет происходить при выполнении условий К ? Кс, V( ) ? ?c. При выполнении условий К ? Кс, V( ) ? ?c происходит разрыв связей без продвижения вершины трещины и размер концевой зоны межчастичных связей сокращается, стремясь к критическому значению для данного уровня нагрузок. Так, например, при выполнении условий К < Кс, V( )? ?c положение вершины трещины и концевой зоны не будут изменяться. Таким образом, анализ показывает, что внешняя изгибающая нагрузка, на- веденные термоупругие напряжения и критические параметры Кс, ?с опреде- ляют характер разрушения: 1) рост вершины трещины с продвижением концевой зоны; 2) сокращение размера концевой зоны без роста вершины трещины; 3) рост вершины трещины с одновременным разрывом связей на краю концевой зоны. На рисунке приведены графики распределения нормальных усилий qy в связях концевых зон трещины при чистом изгибе для следующих значений сво- бодных параметров: ; ; ; ; (кривая 1); (кривая 2), где и координаты центра нагреваемой области; , где W - момент сопротивления се- чения полосы (балки); d - линейный размер концевой зоны. Расчеты показывают, что наличие тепловых напряжений уменьшает значе- ния коэффициентов интенсивности напряжений, усилия в связях между берега- ми и раскрытие трещины. При линейном законе деформирования связей усилия в них всегда имеют максимальные значения на краю концевой зоны. Аналогич- ная картина имеет место и для величины раскрытия трещин. На краю концевой зоны она максимальна при линейном и нелинейном законах деформирования. Рис. 1. Распределение нормальных усилий в связях концевых зон трещины Выводы. Решена задача о торможении роста криволинейной когезионной трещины в изгибаемой полосе (балке), когда на пути ее распространения имеет- ся нагретая зона. Получены соотношения для коэффициентов интенсивности напряжений и раскрытия берегов криволинейной трещины на краях концевой зоны межчастичных связей материала в зависимости от приложенной внешней нагрузки, интенсивности источника тепла, длины трещины, геометрических параметров нагретой зоны. Установлена зависимость длины трещины от при- ложенной изгибающей нагрузки, интенсивности нагретой зоны, а также от фи- зических и геометрических параметров полосы (балки) при монотонном нагру- жении.

A B MUSTAFAYEV

Institute of Mathematics and Mechanics of the Academy of Sciences of Azerbaijan

Author for correspondence.
Email: azer_bm@list.ru
Азербайджан, AZ1141, Б. Вахабзаде, 9

к.ф.-м.н.

  • Finkel VM. (1977) Physical Basis Of Fracture Retardation. Moscow: Metallurgiya. 360 p.
  • Belen'kii VD. (1984) Closure of a central crack in a circular disk under the influence of a temperature field // Strength of Materials. Vol. 16. p. 806−810.
  • Potthast B, Herrmann KP. (2000) Asymptotic analysis for temperature fields induced by dynamic crack growth in pressure-sensitive materials // Int. J. of Fracture. 106. p. 57–64
  • Kadiev RI, Mirsalimov VM. (2001) Effect of heat source on the dynamics of crack growth, Vestnik Dagestanskogo universiteta. 2001. №4. p. 69–73.
  • Fu Y-M, Bai X-Z, Qiao G-Y, Hu Y-D, Luan J-Y. (2001) Technique for producing crack arrest by electromagnetic heating // Materials Science and Technology. Vol. 17. p. 1653−1656.
  • Kadiev RI. (2003) Коэффициенты интенсивности напряжений для пластины, ослабленной трещиной, при воздействии теплового источника // Вестник ДНЦ РАН. № 14. p. 15–18.
  • Mirsalimov VM, Kadiev RI. (2004) Closing of a crack in the sheet element under action of local thermal field // J. of Machinery Manufacture and Reliability. Vol. 33, Issue 6. p. 69–75.
  • Kovtunenko VA. (2005) Nonconvex problem for crack with nonpenetration // Z. Angew. Math. Mech.. Bd. 85. Fasz. 4. s. 242–251.
  • Mirsalimov VM. (2007) The solution of a problem in contact fracture mechanics on the nucleation and development of a bridged crack in the hub of a friction pair // J. of Applied mathematics and mechanics. Vol. 71. p. 120–136.
  • Qin Z, Librescu L, Hasanyan D. (2007) Joule heating and its implications on crack detection/arrest in electrically conductive circular cylindrical shells // J. of Thermal Stresses. Vol. 30. p. 623−637
  • Liu TJC. (2008) Thermo-electro-structural coupled analyses of crack arrest by Joule heating // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. Vol. 49. p. 171–184.
  • Mir-Salim-zada MV. (2010) Modeling of partial closure of cracks in a perforated isotropic medium reinforced by a regular system of stringers // J. of Applied Mechanics and Technical Physics. Vol. 51. p. 269-279.
  • Dimaki AV, Mel’nikov AG, Pleshanov VS, Sizova OV. (2010) Theoretical and experimental study of the healing of surface cracks using induction heating // Inorganic Materials: Applied Research. Vol. 1, Issue 4. p. 353–358.
  • Liu TJC. (2011) Finite element modeling of melting crack tip under thermo-electric Joule heating // Engineering Fracture Mechanics. Vol. 78. p. 666–684.
  • Liu TJC. (2011) Fracture mechanics of steel plate under Joule heating analyzed by energy density criterion // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. Vol. 56. p. 154–161.
  • Mirsalimov MV, Rustamov BE. (2013) Simulation of partial closure of a crack-like cavity with cohesion between the faces in an isotropic medium // J. of Applied Mechanics and Technical Physics. Vol. 54, p. 1021–1029.
  • Liu TJC. (2014) Compressive stresses near crack tip Induced by thermo-electric field // Int. J. of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering. Vol. 8. p. 1799–1802.
  • Georgantzinos S.K., Anifantis N.K. (2014) Crack closure // Encyclopedia of Thermal Stresses (edit. R.B. Hetnarski). Springer Netherlands. p. 774−779.
  • Mir-Salim-zade MV. (2014) Cracks with interfacial bonds in a perforated stringer plate // Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. Issue 5. p. 34−43.
  • Itou S. (2014) Thermal stresses around two upper cracks placed symmetrically about a lower crack in an infinite orthotropic plane under uniform heat flux // J. of theoretical and applied mechanics. Vol. 52. p. 617–628.
  • Mustafayev AB. (2014) Interaction of curved crack faces in bending strip (beam) under influence of temperature field // Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. Issue 4. p. 29−41.
  • Mirsalimov VM, Mustafayev AB. (2015) Solution of the problem of partial contact between the faces of a slot of variable width under the action of temperature fields // Materials Science. Vol. 51. p. 96–103.
  • Mirsalimov VM, Mustafayev AB. (2015) A contact problem on partial interaction of faces of a variable thickness slot under the influence of temperature field // Mechanika. Vol. 21. p. 19–22.
  • Gadzhiev VD, Mirsalimov VM. (1999) Limit equilibrium state of the bushing-type component of a contact couple in the presence of cracks with bonds between the faces // Optimal Design of Mechanical Systems. Élm, Baku. p. 50–63.
  • The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. 2003. V.70, №14. P. 1741-1987.
  • Panasyuk VV, Savruk MP, Datsyshyn AP. (1976) The stress distribution around cracks in plates and shells. Kiev: Naukova Dumka. 443 p. (in Russian)
  • Muskhelishvili NI. (1977) Some basic problems of mathematical theory of elasticity. Amsterdam: Kluwer. 732 p.
  • Mirsalimov VM. (1987) Non-one-dimensional elastoplastic problems. Moscow: Nauka. 256 p.
  • Ladopoulos EG. (2000) Singular Integral Equations. Springer-Verlag, Berlin. 553 p.
  • Il’yushin AA. (1948) Plasticity. Moscow and Leningrad: Gostexhizdat. 376 p. (in Russian)

Views

Abstract - 318

PDF (Russian) - 74


Copyright (c) 2017 MUSTAFAYEV A.B.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.