BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR BRANCHING TYPE FLEXIBLE COMPOUND STRUCTURES

Cover Page

Abstract


There is an efficient algorithm offered to calculate framing and compound coaxial shells of revolution, for each part of which accurate analytical solutions of corresponding differential equations of equilibrium are used. Conjunction of parts of branching type structure is per- formed automatically with the help of the graph theory mathematical tool. The unknowns of the resolving system of algebraic equations are the general solution arbitrary constants. Use of angular deflection method provides geometrical nonlinearity of the problem. The numerical example of calculation of the expansion bellows is presented.

Существующее многообразие замкнутых решений для стержней, пластин и оболочек канонической формы оказывается мало востребованным при исследо- вании сложных составных конструкций, поскольку их моделирование осуществ- ляется, как правило, на основе дискретных расчетных схем. В настоящей работе предложено аналитическое решение краевой задачи, допускающее применение процедур формирования граничных условий не только для систем последова- тельно соединенных элементов [1], но и для составных конструкций ветвящегося типа. Сопряжение частей конструкции производится с помощью теории графов, что позволяет автоматизировать процедуры формирования разрешающей систе- мы алгебраических уравнений. При этом в отличие от работ автора [2,3,4], учи- тываются конструктивные особенности присоединения отдельных элементов к узлам сооружения. Полученная форма аналитического решения позволяет значи- тельно снизить порядок разрешающей системы уравнений, одновременно сохра- няя высокую точность результатов. Последнее обстоятельство особенно важно при тестировании приближенных инженерных методик [5]. В отличие от боль- шинства исследований, применяющих для гибких систем нелинейные дифферен- циальные уравнения [6], в настоящей статье при учете больших перемещений используются линейные дифференциальные зависимости, соответствующие ма- лым относительным деформациям конструкции [7]. Рассмотрим механическую систему указанного типа. Для ее тел будем ис- пользовать термин «элемент», а узловые линии и точечные узлы сокращенно на- зывать «узлами» многосвязной конструкции. Выполним произвольную нумера- цию элементов и узлов (рис.1а) и свяжем со срединной поверхностью каждого элемента ортогональную систему координат таким образом, чтобы сопряжение соседних элементов происходило по линиям s=const. Сформулируем последова- тельно краевую задачу для отдельного элемента и для составной конструкции. Для элемента e с номерами узлов начального и конечного сечений je?, je???(je?< je?) в линейной постановке при действии нагрузки справедливы соотношения: , (1) , , , (2) первое из которых представляет дифференциальные уравнения равновесия, вто- рое и третье - статические и кинематические условия на границах s=s?, где ? при- нимает значения 0 и 1 для начального и конечного сечений элемента. В равенствах (1), (2) обозначено: L - дифференциальный матричный опера- тор элемента конкретного типа; - вектор-функция независимых перемещений; , - вектор-функции перемещений и усилий в сечениях s=s?; , - век- торы заданных внешних статических и кинематических воздействий в узле j; , - матрицы, формирующие статические и кинематические краевые усло- вия; he? - матрицы преобразования векторов из локального в глобальный базис. Приведенные в условиях (2) матрицы имеют следующую структуру: , , (3) , , (4) , , (5) где ue?, Ne? - компоненты векторов соответственно перемещений и внутренних усилий для степени свободы ? (??= 1,2…k) в локальной системе отсчета; , - аналогичные компоненты кинематических и статических воздействий в узле j в глобальном базисе; k - число степеней свободы в сечении s=const. Различные комбинации граничных условий обеспечиваются диагональны- ми матрицами (5), элементы которых формируются по следующим правилам: (6) Знак в равенствах (6) указывает, что для степени свободы ? условие на границе s =s? не задано. Знак означает любое действительное число, включая 0. Для корректного выполнения условий (2) необходимо соблюдать требования: , , (7) означающие, что для каждой степени свободы может быть задано одно и только одно граничное условие (здесь и далее E - единичная матрица соответствующей размерности). Таким образом, матрицы , осуществляют выделение гра- ничных условий в зависимости от имеющихся связей по концам элемента . Для замкнутого решения необходимо, чтобы количество нетривиальных краевых условий (2) с учетом требований (7) равнялось 2k. При этом число сте- пеней свободы в сечениях s=s? для пространственно нагруженных стержней со- ставляет k=6, для плоско деформируемых стержней и для осесимметричных обо- лочек вращения k = 3. Условия (2) записаны в глобальной системе координат, од- нако они могут быть представлены в локальном базисе, если принять he? = E. Далее рассмотрим систему из n элементов и m узлов. Крепление элемента к узлу выполняется с помощью внутренних связей. Внешние связи ограничивают перемещения узлов в пространстве. Узел без внешних связей называется свобод- ным, а имеющий закрепления - несвободным. Узел, в котором сходится два эле- мента, называется простым, а соединяющий три и более элемента - сложным. Если в узле j соединяются между собой несколько элементов, полагаем, что один из них (с меньшим номером ?) является главным, а остальные - присоеди- ненными. Закрепление несвободного в общем случае узла j допускает наличие внешних воздействий, которые формально рассматриваются, как воздействия на главный элемент в примыкающем к узлу j сечении. Тогда, по аналогии с (2), имеем: , , j=1,2…m, (8) , , (9) где матрицы , преобразовывают усилия и перемещения из локального в глобальный базис и одновременно осуществляют необходимую компоновку эле- ментов и внешних связей в узле j. Первое равенство (8) представляет уравнения равновесия в каждом узле со- оружения, поскольку содержащиеся в этом выражении коэффициенты bje обеспе- чивают суммирование усилий только тех элементов, которые примыкают к узлу j. Второе равенство (8) реализуют выполнение заданных кинематических условий с помощью ненулевых коэффициентов , позволяющих зафиксировать тот глав- ный элемент ?, к которому эти кинематические связи отнесены по условиям за- дачи. При этом коэффициенты bje, назначаются по следующим правилам: (10) где знаки плюс и минус учитывают то, что вектора усилий концевых сечений элемента направлены противоположно; je??- как и ранее, номера узлов элемента e. Матрицы , в (8), (9) представляют матрицы выделения внешних связей, которые следует формировать по формулам (5), (6), (7). Назначение коэффициентов bje для любой конструкции легко реализуется с помощью матрицы инциденций ориентированного графа B, число строк и число столбцов которой равно соответственно m, n. Любая j-ая строка при этом соот- ветствует узлу j, а e-ый столбец - элементу e. Если e-ый элемент примыкает к узлам je?, je? (je?< je?), то в столбце e записываются только два ненулевых эле- мента: -1 располагается в строке je? и 1 - в строке je?. Матрица формируется автоматически. Для этого в каждой строке матрицы B следует сохранить только первый слева ненулевой элемент, назначив остальным нулевые значения. Например, для конструкции на рис. 1а имеем: , . (11) Замечаем, что число ??в соотношениях (8), (9) определяется автоматически, как номер единственного ненулевого элемента в строке j матрицы . Помимо выполнения рассмотренных выше условий, относящихся к узлам сооружения, необходимо обеспечить совместность деформаций примыкающих к узлам элементов. С этой целью предварительно рассмотрим простой узел j, в ко- тором сходятся два элемента - главный с номером ? и присоединенный с номе- ром ? (?0,3 МПа. Результаты решения рассматриваемой задачи с помощью программы ANSYS содержится в таблице 2, где приведено сравнение перемещений w0 (кривая 2, рис.2,а), полученных различными методами. Таблица 2 p0, МПа Перемещение w0, мм Погрешность расчета, % по программе автора по программе ANSYS 0,05 25,319 25,364 0,177 0,15 67,865 67,925 0,088 0,25 103,56 103,57 0,007 0,35 134,77 134,68 0,061 0,45 162,76 162,53 0,136 Заключение Матричная структура полученных соотношений позволяет автоматизиро- вать процесс формирования и решения краевых задач для составных конструк- ций и разрабатывать высокоэффективные программы расчета стержневых сис- тем и составных оболочек вращения сложной конфигурации.

E Ya Elenitskiy

LTD «Globaltanksengineering»

Email: elenit@list.ru

Views

Abstract - 131

PDF (Russian) - 506


Copyright (c) 2016 ЕЛЕНИЦКИЙ Э.Я.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.