THE NATURAL FREQUENCY OF THE COMPOSITE LAMINATED ROD

Cover Page

Abstract


Oscillations in the multi-layer composite bodies are studied. Natural vibrations of a reinforced many-layered rod are researched. For determination of the characteristics of multi- layered rods and for clarify of the role of some of their parameters, a rod of the rectangular cross section and the most simple forms of vibrations were considered. The results of numerical calculations are compared with experimental data

1. Задача расчета собственных частот и форм колебаний стержней, балок, закрученных рабочих лопаток с точки зрения однородной теории рассматривалась в литературе неоднократно. Основы расчета и методы достаточно подробно описаны в работах Бицено К.Б. и Граммеля Р. [1], Ахенбаха Дж.Д. [2], Хронина Д.В.[3], Воробьева Ю.С., Шорра Б. Ф.[4], Биргера И.A. [5] и многих других исследователей. При этом выделены три основных подхода к данному вопросу: решение на основе классической теории тонких стержней [6,7], рассмотрения деформаций с точки зрения общих уравнений теории упругости [8] и решения на основе теории пластин и оболочек [9]. Различные специальные подходы к изучению вопросов колебания таких тел рассмотрены в работах [6,10, 11]. Колебания и волны в слоистых и композитных телах рассмотрены в работах Сана С.Т. [12], Бреховских Л.М. [13], Ахенбаха Дж. [2], и некоторых других; причем здесь использовались соотношения изотропной или анизотропной однородной теорий упругости. Структурный подход к волновым процессам позволяет вписать ряд их интересных особенностей. Например, в работе Каримбаева Т.Д. [14] показана возможность распространения в неограниченной армированной среде четырех типов волн. Ниже на основе этой теории [14] исследуются свободные колебания армированного многослойного cтержня прямоугольного сечения. В целях определения особенностей слоистых стержней, выяснения роли некоторых её параметров рассматривались наиболее простые формы колебания. Рассматриваются поперечные свободные колебания многослойного стержня произвольного сечения, изготовленного из композиционного материала (рис. 1). Считая материал тела ортотропным, для изгибных напряжений эти соотношения можно записать в виде [15] (10): (1.1) в которой соответствуют значениям максимальной деформации поперечного сечения, обусловленной поперечными силами Qj [16]; величины позволяют оценить влияние перемещений в плоскости поперечного сечения на сдвиговые деформации и =0.5( ) деформации элементов поперечного сечения. Кроме этого [15]: , , . Ограничивая последующее исследование формами колебаний, длины волн в которых заметно превосходят характерные структурные размеры армированного слоистого тела, положим, (1.2) где vi(z,t) - поперечные смещения точек і-го слоя стержня. При этих условиях выражение принципа Гамильтона принимает вид: (1.3), где величина (1.4) - плотность, свойства материала слоя і и объемное содержание материла наполнителя и матрицы. После использования (1.1) и (1.2) для можно получить: (1.5) где величина (1.6), является физическим моментом инерции, позволяющим вести расчет при неравномерном распределении физических свойств компонентов армированного слоистого тела в поперечных сечениях произвольной формы. Полагая, что существуют только периодические колебания с собственной круговой частотой ?, представим в виде: . (1.7) Задачу будем решать методом Ритца [17,19], полагая (1.8) где - допустимые функции, An - неопределенные параметры. В качестве допустимых функций естественно выбрать собственные функции стержня в виде [17]: , (1.9) удовлетворяющие граничным условиям консольного закрепления: (1.10) В (1.9) , а волновое число kn удовлетворяет характеристическому уравнению и принимает значения, данные в табл. 1, - длина стержня. Таблица 1. Значение волновых чисел № 1 2 3 kn 1.875 4.694 7.854 Балочные функции, являясь ортонормированными, удовлетворяют равенствам (1.11) Варьирование интеграла (1.3) сводится к дифференцированию его по неизвестным параметрам An. После подстановки (1.7) в (1.4) и (1.3) с учетом (1.8), (1.10) и (1.11), дифференцирования по Аn и интегрирования по t можно получить: , где F = площадь поперечного сечения. После упрощения предыдущее выражение преобразуется к виду . Так как в этом уравнении коэффициенты An равны нулю и произвольны, то получим следующие выражения для круговых (?) и технических (fn) частот свободных колебаний: (1.12) (1.13) где определяется выражением (1.6). По полученной формуле можно подсчитать низшие собственные частоты армированного стержня с постоянным по длине сечением произвольной формы. Величина позволяет учесть неравномерное распределение физических параметров композиции в слоистом сечении. Для авиационных профилей этот интеграл можно просчитать послойно на ЭВМ по формуле (1.1) [16]. Если материал стержня изотропный, то из выражения (1.13) следует формула Рэлея- Ритца. Каримбаевым Т.Д. были проведены эксперименты по определению собственных частот для стержня прямоугольного сечения, изготовленный из стеклоткани, имеющий следующие физические и геометрические характеристики для наполнителя и матрицы: Для сравнения собственных частот стержня с данными экспериментов проведен численный анализ формулы (1.13). Для простоты численного анализа рассматривается стержень прямоугольного сечения с равномерным распределением физических свойств. Тогда после интегрирования (6) выражение для определения собственных частот (1.13) можно представить в виде: (1.14) Таблица 3. Значение расчетных и экспериментальных собственных частот волновых чисел Частота, гц 1 2 3 Экспериментальная 121 765 2100 По формуле (1.14) 125 786 2201 Как видно из табл. 2, расчетные значения частот превышает экспериментальные на 3-5%. Полученное соотношение (1.14) подтверждает экспериментально наблюдаемый эффект смещения узловой линии [18] к месту закрепления. Таким образом, использование теории слоистых армированных сред, в частности, обобщенного на принципе Гамильтона, при расчете элементов конструкций из композиционного материала позволяет получить удовлетворительное совпадение с опытными данными. Расчетные соотношения (1.13), (1.14) устанавливают непосредственную зависимость собственных частот от упругих и динамических параметров отдельных компонентов композиции и позволяют путем их выбора управлять вибрационными характеристиками тела. 2. Влияние взаимодействия компонентов композиции на свободные колебания слоистых армированных тел. На примере стержня исследуется влияние взаимодействия компонентов композиции на свободные колебания слоистых армированных тел. При сильном взаимодействии компонентов композиционного материала, полученное уравнение частот определяет одну собственную частоту, величина которой мало отличается от частот, найденных на основе теории "эффективных" модулей. При слабом взаимодействии компо- нентов композиции, что реализуется при больших частотах с малой длиной волны, колебанию слоистого стержня соответствуют две собственные частоты, отличающиеся от частот двух стержней идентичных размеров, но изготовленных отдельно из материала матрицы и отдельно из материала наполнителя. Вычисленные на основе полученных соотношений значения собственных частот низших (первых трех) форм колебания стержня прямоугольного поперечного сечения из стеклопластика удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Для анализа изгибных колебаний незакрученного армированного стержня, имеющего лопаточный профиль постоянной толщины, используется обобщенный на слоистые среды принцип Гамильтона. Согласно этому принципу минимум накопленных за время (t0, t1) в теле энергии деформации we, кинетической энергии K соответствует действительному его состоянию, т.е. (2.1). Для слоистой ортотропной среды связь между продольными напряжениями и деформациями, записывается в виде (1.1). Если для каждого слоя стержня из композиционного материала принять гипотезу плоских сечений, то деформации определяются равенствами: (2.2) через перемещения vi(z, t) . В соответствии с (2.1), (2.2) можно получить (2.3) и интегрирование осуществляется по объему V стержня. Возможные смещения точек при колебаниях стержня описывается как в которых - амплитудные значения смещений, ? - круговая частота. В качестве допустимых функций целесообразно выбрать собственные функции стержня в виде (1.9), удовлетворяющие условиям консольного закрепления (1.10) и равенствам (1.11). Минимизация интеграла (2.1) по параметрам позволяет получить систему n уравнений: (2.4) в которых , - осевой момент инерции и F - площадь поперечного сечения, b - размеры поперечного сечения. Система уравнений (2.4) имеет нетривиальное решение ( ?0), если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных равен нулю. Это условие записывается в виде произведения , каждый сомножитель которого представляет собой уравнение собственной частоты колебания по n-ой гармонике. Последнее урав- нение с учетом принятых обозначений удобно записать в форме: , (2.5), относительно безразмерного параметра частоты . В (2.5) принято: (2.6) Следует иметь в виду, что коэффициент B для стержня заданной длины и состава композиции является функцией волнового числа kn и стремится к нулю с уменьшением длины волны (ростом kn). При малых значениях волнового числа kn и "сильном" взаимодействии слоев стержня из композиционного материала уравнение (2.5) определяет один корень , которому соответствуют технические частоты: (2.7). Частоты, вычисленные по формуле (2.7), мало отличаются от частот (2.8) полученных на основе «эффективных» модулей композиционного материала, где Е3 - модуль упругости, . Если коэффициент В мал, что реализуется при высоких частотах (порядка нескольких сот кгц) с малой длиной волны, уравнение (2.5) позволяет определить две различные собственные частоты (2.9) в которых С = 1+ Е, Д = 1- Е, Используя естественное условие легко показать, что подкоренное выражение в Е при любых значениях параметра В положительно. Если волновое число kп так велико, то корнями уравнения (2.5) являются величины т.к. в этом случае =1, Е = 1, С = 2, Д = 0. Параметры собственных частот а также не совпадают с параметрами собственных частот двух стержней, изготовленных отдельно из материала матрицы и материала наполнителя. Тем самым устанавливается, что сплошность армированной среды, являющейся композицией двух твердых тел, обеспечивается указанным параметром. Физически одновременное сосуществование двух форм колебаний в армированной среде при высоких частотах оправдано тем, что в колебательном движении находится каждый из компонентов композиции. Однако на его свободное колебание накладывается влияние окружающего его другого материала. Этот эффект оценивается выражениями (2.9). Выражения (2.9) позволяют управлять частотами с помощью параметра B. Из уравнения (2.4) устанавливается также соотношение (An) амплитуд колебания матрицы и наполнителя. Из-за ограниченности экспериментальных данных численные сравнения здесь приведены для стеклопластикового стержня прямоугольного сечения со следующими физическими и геометрическими характеристиками: Результаты расчетов собственных колебаний первых трех изгибных форм колебаний, соответсвующих малым значениям kn волнового числа (большим В), приведены в табл. 3. Таблица 3. Значение расчетных и экспериментальных собственных частот волновых чисел Частота, гц 1 2 3 Экспериментальная 122 770 2100 По формуле (2.7) 124 775 2170 По формуле (2.8) 125 795 220 Сравнение их показывает, что стержень данных размеров из материала слоя матрицы имеет наименьшую частоту, а из материала слоя наполнителя - наибольшую. Для высоких форм колебаний будут четче проявляться колебания с частотами заключенные между частотами наполнителя и матрицы . Данный анализ позволяет путем выбора материала компонентов армированной слоистой среды управлять собственными частотами колебаний деталей без изменения их геометрических размеров и формы, что важно в технических приложениях.

T D Karimbayev

«CIAM». of P.I. Baranova ", Moscow, Russia

Email: karimdaevt@ciam.ru

A U Nurimbetov

MAI (Moscow Aviation Institute (National Research University))

Email: alibek_55t@mail.ru

Views

Abstract - 204

PDF (Russian) - 156


Copyright (c) 2016 КАРИМБАЕВ Т.Д., НУРИМБЕТОВ А.У.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.