STRESS AND DEFORMED STATE OF TWO-LAYERED ANISOTROPIC FOUNDATION IN THE ABSENCE OF FRICTION BETWEEN THE LAYERS

Abstract

The technique of determining displacements and stresses in anisotropic two-layer basis, in the absence of friction between the layers, under the influence of normal surface load is given. The solution is based on the equations of the plane problem of elasticity theory. The diagrams of change of stresses plotted on the characteristics of the material layers are presented.

При возведении насыпей с последующим уплотнением слоев возникают отклонения в строении грунтовых массивов от модели изотропного тела. По- этому задача об определении напряжений и перемещений под действием по- верхностных нагрузок в двухслойном анизотропном упругом основании, когда верхний слой имеет конечную толщину, а нижний - бесконечно простирается по всем направлениям, представляет практический интерес. Для изотропного материала с разными характеристиками каждого слоя она рассматривалась во многих работах, например [1-3]. Теоретическое решение задачи о взаимодейст- вии слоя и полупространства из трансверсально-изотропных материалов приве- дено в [4]. Вариант многослойного основания рассмотрен в [5]. Рассмотрим двухслойное основание (рис.1), которое состоит из полосы по- стоянной высоты и полуплоскости, под действием нормальной поверхност- ной нагрузки . Полагаем, что трение между слоями отсутствует. Материал слоев принимаем ортотропным, но с разными упругими характеристиками. На- правления осей анизотропии в частном случае совпадают с координатными осями. Обозначим в полуплоскости перемещения, напряжения, коэффициенты, которые учитывают характеристики материала, чертой сверху. Введем две системы координат с общим началом отсчета и осью абсцисс. Оси и направим вдоль линии контакта полосы и основания. Ось - Рис. 1. Схема взаимодействия полосы и упругой полуплоскости перпендикулярно линии контакта вверх, - вниз. Координатные оси и совпадают, поэтому далее используем только координату . Для решения задачи выпишем из [6] уравнения для определения в произ- вольной точке полосы из ортотропного материала перемещений: , (1) и напряжений , , , (2) где , , , - функции перемещений и поверхностных усилий на нижней плоскости полосы, которые зависят от переменной . Производная по обо- значена через . В уравнениях (1) и (2) введены обозначения: , , . Для плоского напряженного состояния , при плоской деформации , где - коэффициенты деформации, связанные с техни- ческими постоянными соотношениями [7]. Из работы [8] запишем уравнения для определения в полуплоскости из ор- тотропного материала перемещений , (3) и напряжений , , , (4) где В (3) и (4) обозначения , аналогичны ранее введенным коэффициентам , ; , - функции поверхностных усилий на границе полуплоскости. Уравнения (1)-(4) записаны для варианта и Обозначим контактное давление между слоями . При условии плотного контакта и отсутствии трения между слоями имеем , . (5) Нижний индекс "ноль" в обозначениях перемещений указывает, что они определены при На верхней плоскости полосы: , . (6) Полагая в (3) значение , найдем , , (7) где . Подставим в уравнения (2) и, учитывая условия (6), получим систему двух уравнений относительно неизвестных функций , , откуда , , (8) где . Используя (7) и (8), можно составить выражения , , . Полагаем, что существует интегральное преобразование Фурье от функции . Функцию разделим на симметричную и кососимметричную составляющие [9]. Тогда , (9) где , , - любое положительное вещественное число. Подставим (9) в выражения , и , которые внесем в (1) и (2). Учи- тывая, что перемещения и напряжения - действительные величины, получим уравнения для вычисления перемещений и напряжений в точке полосы. При определении функций перемещений и напряжений в полуплоскости найдем функции , , , используя (7)-(9), которые подставим в (3) и (4). Порядок расчета покажем на примере. Пусть в сечении перпендику- лярно верхней плоскости полосы приложена сила интенсивностью . Сила равномерно распределена вдоль оси перпендикулярной плоскости рисунка 1. При симметричной нагрузке . Трансформанта Фурье , (10) - дельта функция Дирака. Учитывая (7)-(10), найдем: , , , (11) где , , , , . Подставим (11) в (1) и (2). После преобразований получим уравнения для определения в произвольной точке полосы перемещений , (12) и напряжений , , , (13) где , , , , , . Используя (3), (4), (7), (11), запишем функции для определения в полуплос- кости перемещений , (14) и напряжений , , , (15) где , , , , , . Интегралы для параметров перемещений , при значениях расходящиеся. При их вычислении используем прием, предложенный в [9]. Варьируя в (12)-(15) значениями коэффициентов , , , , можно провести анализ напряженного и деформированного состояния двухслойного основания при отсутствии трения между слоями в зависимости от упругих ха- рактеристик материалов полосы и полуплоскости. Полагая в (13) , найдем функции напряжений в полосе из орто- тропного материала, лежащей без трения на жестком основании. Например, , (16) где , , . Функции перемещений в полосе выведем аналогично из уравнений (12). Переход к варианту, когда материал полосы изотропный, покажем на при- мере параметра напряжения . Слагаемые, входящие под знак интеграла в (16), раскладываем в ряды. Рассмотрим первое слагаемое. Каждый сомножитель отдельно раскладываем в ряд. Тогда , , . (17) Сократим числитель и знаменатель на . Для плоского напряжен- ного состояния , . Подставим значения технических посто- янных в (17) и, учитывая, что для изотропного материала , ряды свер- нем. Выполнив преобразования со вторым слагаемым, получим , (18) где . Функции перемещений и двух других напряжений несложно записать, ис- пользуя предложенный подход. Из формулы (18) следует, что в полосе из изо- тропного материала при плоском напряженном состоянии и отсутствии трения между слоями напряжения не зависят от коэффициента Пуассона. В таблице 1 для полосы из изотропного материала, лежащей на жестком основании, приведены значения в сечении в зависимости от величины параметра и характера взаимодействия полосы и основания. Данные второй строки соответствуют варианту, когда полоса жестко скреплена с основанием [6], данные третьей - вычислены по формуле (18). Наибольшее отличие в зна- чениях наблюдается в области контакта полосы с жестким основанием. Таблица 1. Значения параметра для изотропной полосы, лежащей на жестком основании, в зависимости от 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 жесткое соединение 6,761 5,161 4,233 3,643 3,247 2,967 2,752 2,558 без трения 6,752 5,153 4,229 3,654 3,286 3,056 2,929 2,889 Функции напряжений в полуплоскости из ортотропного материала выведем из уравнений (15). Запишем, например, напряжение через размерные вели- чины и полагаем . После преобразований, используя [10], найдем . (19) Формула (19) совпадает с приведенной в [7]. Принимая в (19) , имеем выражение напряжения в полуплоскости из изотропного материала [9]. Формулы для напряжений , получим аналогично. Функции перемещений в полуплоскости из ортотропного материала най- дем из уравнений (14), в которых полагаем . Тогда , . (20) Интеграл для вычисления при значении расходящийся. После интегрирования уравнений (20), используя [10], получим формулы, которые приведены в [8]. Функции перемещений, напряжений в полосе и основании при других со- четаниях между упругими характеристиками материала слоев: материал полосы изотропный, основания анизотропный; материал полосы анизотропный, осно- вания изотропный; материал каждого слоя изотропный, но с разными упругими характеристиками; найдем, используя уравнения (12)-(15) и зависимости между коэффициентами деформации и техническими постоянными [7]. Численные расчеты проведены для основания, слои которого состоят из разных изотропных материалов, в условиях плоского напряженного состояния. Коэффициент Пуассона материала слоев . Коэффициент , где - модуль упругости материала полосы, - полуплоскости. На рис. 2-4 показаны графики распределения параметра напряжения при отсутствии трения между полосой и основанием в зависимости от коэффициента , значений , . В таблицах приведены данные для в сечении . Значение соответствует случаю, когда полоса Рис. 2. Изменение параметра вдоль горизонтальной оси Рис. 3. Изменение параметра на линии контакта полосы и основания Рис.4. Изменение параметра вдоль горизонтальной оси лежит без трения на жестком основании. Из сравнения кривых видно, что с уве- личением модуля упругости материала верхнего слоя значения параметра уменьшаются, а область его распространения в направлении горизон- тальной оси увеличивается. Максимальное отличие в значениях имеет место в области контакта полосы и основания. На рис. 5 в увеличенном масштабе показаны эпюры изменения в поло- се при в зависимости от коэффициента . Точками обозначены значения , в которых происходит смена знака у параметра . Рис.5. Изменение параметра вдоль горизонтальной оси В таблице 2 приведены данные расчета в сечении для двух- слойного основания при разных значениях коэффициента , параметров ( ) и характера взаимодействия между слоями. Данные для варианта жесткого со- единения между слоями вычислены с использованием уравнений [8]. Таблица 2. Значения параметра в зависимости от , ( ), характера взаимодействия между слоями коэффициент жесткое соединение без трения 0 1 10 100 0 1 10 100 4,233 4,000 3,525 3,166 4,229 3,919 3,433 3,134 3,096 2,667 1,864 1,276 3,156 2,595 1,741 1,229 2,558 2,000 1,144 0,524 2,889 2,171 1,109 0,492 - 1,000 0,694 0,411 - 1,36 0,872 0,451 - 0,667 0,508 0,343 - 0,875 0,665 0,399 Характер изменения параметра напряжения от значений , ( ) при отсутствии трения между слоями показан на рис.6-7. При анализе графиков на рис.7 необходимо учитывать направление оси . В таблицах приведены максимальные значения и положение сечений, параметр , в котором они возникают. На рис.6 точками указаны сечения, в которых меняет знак. Характер изменения параметра напряжения в полосе на линии контакта слоев показан на рис.8. Из анализа кривых видно, что значения в сечении возрастают с увеличением коэффициента . Точками обозначены сече- ния, в которых происходит смена знака у параметра . Известно [11], что при отсутствии касательных усилий на границе полуплоскости нормальные напря- жения и на границе равны. Поэтому графики изменения параметра в основании при совпадают с графиками на рис. 3. Рис. 6. Изменение параметра вдоль горизонтальной оси Рис. 7. Изменение параметра вдоль горизонтальной оси Рис.8. Изменение параметра в полосе на линии контакта слоев Формулы (12)-(15) после преобразований можно использовать и для опре- деления перемещений и напряжений в двухслойном основании под действием распределенной поверхностной нормальной нагрузки. Для этого в (12)-(15) по- лагаем и заменяем переменную на , где - безразмерная коор- дината точки приложения силы. В результате получим функции влияния, кото- рые позволят записать перемещения, напряжения в полосе и полуплоскости при нагружении двухслойного основания распределенной нормальной нагрузкой интенсивностью на участке конечной длины