Разрешимость линейной обратной задачи для эволюционного уравнения с суперустойчивой полугруппой

Обложка

Аннотация


Для эволюционного уравнения в банаховом пространстве изучается линейная обратная задача о нахождении «источника». Требуется восстановить неизвестное неоднородное слагаемое при помощи дополнительного нелокального условия, выраженного в виде интеграла Римана-Стильтьеса. Основное предположение связано с суперустойчивостью (квазинильпотентностью) эволюционной полугруппы. Точнее, предполагается, что эволюционная полугруппа, ассоциированная с абстрактным дифференциальным уравнением, имеет бесконечный отрицательный экспоненциальный тип. Без других ограничений установлена теорема об однозначной разрешимости обратной задачи. Показано, что решение представимо сходящимся рядом Неймана. Предъявлены точные условия, при которых бесконечный ряд обращается в конечную сумму. Здесь алгоритм вычисления решения становится финитным. Разобраны модельные примеры, в том числе - важный пример обратной задачи с финальным переопределением. Перечисленные результаты могут найти применение в специальных разделах математической физики, связанных с теорией упругости и задачами линейного переноса. Как принято, наше исследование проходит «в случае общего положения» - при выборе комплексного поля скаляров, но основные факты справедливы также и в вещественном случае. Созданная теория допускает перенос на нелокальные задачи для эволюционных уравнений, когда для нахождения решения вместо традиционного начального условия используют специальные усреднения по времени.


Иван Владимирович Тихонов

Лицо (автор) для связи с редакцией.
ivtikh@mail.ru
МГУ имени М. В. Ломоносова Ленинские горы, ГСП-1, Москва, Россия, 119991

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова

Шон Тунг Ву Нгуен

vnsontung@mail.ru
Московский педагогический государственный университет ул. Краснопрудная, д. 14, Москва, Россия, 107140

аспирант кафедры математического анализа Московского педагогического государственного университета

  • Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
  • Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
  • Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.
  • Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. — N.Y.: Springer Verlag, 1983.
  • Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. — N.Y.: Springer, 2000.
  • Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Математические заметки. — 1994. — Т. 56, вып. 2. — С. 99–113.
  • Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Известия РАН. Сер. матем. — 1994. — Т. 58, вып. 2. — С. 167–188.
  • Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. — N.Y.: Basel, 2000.
  • Тихонов И. В., Тунг В. Н. Ш. Метод решения обратной задачи для эволюционного уравнения с суперустойчивой полугруппой // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2017. — Вып. 2. — С. 51–58.
  • Balakrishnan A. V. On Superstability of Semigroups // Systems modelling and optimization. Proceedings of the 18th IFIP Conference on System Modelling and Optimization. CRC Research Notes in Mathematics / Ed. by M. P. Polis et al. — 1999. — Pp. 12–19.
  • Balakrishnan A. V. Smart Structures and Super Stability // Evolution Equations and Their Applications in Physical and Life Sciences. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics / Ed. by G. Lumer, L. Weis. — Vol. 215. — 2001. — Pp. 43–53.
  • Balakrishnan A. V. Superstability of Systems // Applied Mathematics and Computation. — 2005. — Vol. 164, issue 2. — Pp. 321–326.
  • Creutz D., Mazo M., Preda C. Superstability and Finite Time Extinction for C0– Semigroups // arXiv:0907.4812. Submitted. — 2013. — Pp. 1–12.
  • Chen J.-H., Lu W.-Y. Perturbation of Nilpotent Semigroups and Application to Heat Exchanger Equations // Applied Mathematics Letters. — 2011. — Vol. 24. — Pp. 1698–1701.
  • Kmit I., Lyul’ko N. Perturbations of Superstable Linear Hyperbolic Systems // arXiv:1605.04703. Submitted. — 2017. — Pp. 1–26.
  • Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. — М.: Наука, 1969.
  • Malinen J., Nevanlinna O., Zem´anek J. Microspectral Analysis of Quasinilpotent Operators // arXiv:1211.4790v1. Submitted. — 2012. — Pp. 1–25.
  • Eskandari R., Mirzapour F. Hyperinvariant Subspaces and Quasinilpotent Operators // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. — 2015. — Vol. 41, issue 4. — Pp. 805– 813.
  • Забрейко П. П. О спектральном радиусе интегральных операторов Вольтерра // Литовский математический сборник. — 1967. — Т. 7, вып. 2. — С. 281–287.
  • Жуковский Е. С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, вып. 9. — С. 1599–1605.
  • Сумин В. И., Чернов А. В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, вып. 10. — С. 1402–1411.
  • Грехэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998.
  • Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.

Просмотры

Аннотация - 1533

PDF (Russian) - 219


© Тихонов И.В., Ву Нгуен Ш.Т., 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.