Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1836510.22363/2312-9735-2018-26-2-103-118MathematicsМатематикаResearch ArticleThe Solvability of the Inverse Problem for the Evolution Equation with a Superstable SemigroupРазрешимость линейной обратной задачи для эволюционного уравнения с суперустойчивой полугруппойTikhonovI VТихоновИван Владимирович

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of Department of Mathematical Physics, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова

ivtikh@mail.ruVu NguyenSon TungВу НгуенШон Тунг

Postgraduate Student of Mathematical Analysis Department, Moscow State University of Education

аспирант кафедры математического анализа Московского педагогического государственного университета

vnsontung@mail.ruLomonosov Moscow State UniversityМГУ имени М. В. ЛомоносоваMoscow State University of EducationМосковский педагогический государственный университет15122018262VOL 26, NO2 (2018)ТОМ 26, №2 (2018)10311821042018Copyright ©; 2018, Tikhonov I.V., Vu Nguyen S.T.Copyright ©; 2018, Тихонов И.В., Ву Нгуен Ш.Т.2018Tikhonov I.V., Vu Nguyen S.T.Тихонов И.В., Ву Нгуен Ш.Т.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/18365

For the evolution equation in a Banach space, the linear inverse source problem is studied. It is required to recover an unknown nonhomogeneous term by means of an additional nonlocal condition written in the form of a Riemann-Stieltjes integral. The main assumption is related to the superstability (quasinilpotency) of the evolution semigroup. More precisely, it is assumed that the evolutionary semigroup associated with the abstract differential equation has an infinite negative exponential type. Without other restrictions, a theorem on the solvability of the inverse problem is obtained. It is shown that the solution can be represented by a convergent Neumann series. Exact conditions under which an infinite series becomes a finite sum are found. Here, the algorithm for calculating the solution becomes finite. Model examples are considered, including an important example of the inverse problem with final overdetermination. The above results can be applicated in special parts of mathematical physics related to the theory of elasticity and the linear transport theory. As is customary, our research takes place in the general case with a choice of the complex scalar field, but the main facts are also true in the real case. The created theory allows transfer to nonlocal problems for evolution equations, when instead of the traditional initial condition special time averaging is used to find the solution.

Для эволюционного уравнения в банаховом пространстве изучается линейная обратная задача о нахождении «источника». Требуется восстановить неизвестное неоднородное слагаемое при помощи дополнительного нелокального условия, выраженного в виде интеграла Римана-Стильтьеса. Основное предположение связано с суперустойчивостью (квазинильпотентностью) эволюционной полугруппы. Точнее, предполагается, что эволюционная полугруппа, ассоциированная с абстрактным дифференциальным уравнением, имеет бесконечный отрицательный экспоненциальный тип. Без других ограничений установлена теорема об однозначной разрешимости обратной задачи. Показано, что решение представимо сходящимся рядом Неймана. Предъявлены точные условия, при которых бесконечный ряд обращается в конечную сумму. Здесь алгоритм вычисления решения становится финитным. Разобраны модельные примеры, в том числе - важный пример обратной задачи с финальным переопределением. Перечисленные результаты могут найти применение в специальных разделах математической физики, связанных с теорией упругости и задачами линейного переноса. Как принято, наше исследование проходит «в случае общего положения» - при выборе комплексного поля скаляров, но основные факты справедливы также и в вещественном случае. Созданная теория допускает перенос на нелокальные задачи для эволюционных уравнений, когда для нахождения решения вместо традиционного начального условия используют специальные усреднения по времени.

evolution equationinverse problemsuperstable semigroupoperator equationNeumann seriesexistence and uniqueness theorem of the solutionэволюционное уравнениеобратная задачасуперустойчивая полугруппаоператорное уравнениеряд Нейманатеорема существования и единственности решенияE. Hille, R. Phillips, Functional Analysis and Semigroups, IL, Moscow, 1962, in Russian.Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.N. Dunford, J. Schwartz, Linear Operators. P. 1. General Theory, IL, Moscow, 1962, in Russian.Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.S. G. Krein, Linear Differential Equations in Banach Space, Nauka, Moscow, 1967, in Russian.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer Verlag, N.Y., 1983.Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. — N.Y.: Springer Verlag, 1983.K.-J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer, N.Y., 2000.Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. — N.Y.: Springer, 2000.I. V. Tikhonov, Yu. S. Eidelman, Problems on Correctness of Ordinary and Inverse Problems for Evolutionary Equations of a Special Form, Math. Notes 56 (1994) 830–839, in Russian.Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Математические заметки. — 1994. — Т. 56, вып. 2. — С. 99–113.A. I. Prilepko, I. V. Tikhonov, Recovery of the Nonhomogeneous Term in an Abstract Evolution Equation, Russian Acad. Sci. Izv. Math. 58 (1994) 167–188, in Russian.Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Известия РАН. Сер. матем. — 1994. — Т. 58, вып. 2. — С. 167–188.A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin, Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Basel, N.Y., 2000.Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. — N.Y.: Basel, 2000.I. V. Tikhonov, V. N. S. Tung, A Method of Solving the Inverse Problem for the Evolution Equation with a Superstable Semigroup, Journal Differential Equations and Control Processes (2) (2017) 51–58, in Russian.Тихонов И. В., Тунг В. Н. Ш. Метод решения обратной задачи для эволюционного уравнения с суперустойчивой полугруппой // Дифференциальные уравнения и процессы управления. — 2017. — Вып. 2. — С. 51–58.A. V. Balakrishnan, On Superstability of Semigroups, in: M. P. Polis, et al. (Eds.), Systems Modelling and Optimization, Proceedings of the 18th IFIP Conference on System Modelling and Optimization, CRC Research Notes in Mathematics, Chapman and Hall, 1999, pp. 12–19.Balakrishnan A. V. On Superstability of Semigroups // Systems modelling and optimization. Proceedings of the 18th IFIP Conference on System Modelling and Optimization. CRC Research Notes in Mathematics / Ed. by M. P. Polis et al. — 1999. — Pp. 12–19.A. V. Balakrishnan, Smart Structures and Super Stability, in: G. Lumer, L. Weis (Eds.), Evolution Equations and Their Applications in Physical and Life Sciences. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Vol. 215, 2001, pp. 43–53.Balakrishnan A. V. Smart Structures and Super Stability // Evolution Equations and Their Applications in Physical and Life Sciences. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics / Ed. by G. Lumer, L. Weis. — Vol. 215. — 2001. — Pp. 43–53.A. V. Balakrishnan, Superstability of Systems, Applied Mathematics and Computation 164 (2005) 321–326.Balakrishnan A. V. Superstability of Systems // Applied Mathematics and Computation. — 2005. — Vol. 164, issue 2. — Pp. 321–326.D. Creutz, M. Mazo, C. Preda, Superstability and Finite Time Extinction for C0– Semigroups, arXiv:0907.4812. Submitted (2013) 1–12.Creutz D., Mazo M., Preda C. Superstability and Finite Time Extinction for C0– Semigroups // arXiv:0907.4812. Submitted. — 2013. — Pp. 1–12.J.-H. Chen, W.-Y. Lu, Perturbation of Nilpotent Semigroups and Application to Heat Exchanger Equations, Applied Mathematics Letters 24 (2011) 1698–1701.Chen J.-H., Lu W.-Y. Perturbation of Nilpotent Semigroups and Application to Heat Exchanger Equations // Applied Mathematics Letters. — 2011. — Vol. 24. — Pp. 1698–1701.I. Kmit, N. Lyul’ko, Perturbations of Superstable Linear Hyperbolic Systems, arXiv:1605.04703. Submitted (2017) 1–26.Kmit I., Lyul’ko N. Perturbations of Superstable Linear Hyperbolic Systems // arXiv:1605.04703. Submitted. — 2017. — Pp. 1–26.M. A. Krasnoselsky, G. M. Vainikko, P. P. Zabreiko, Y. B. Rutitsky, V. Y. Stetsenko, Approximate Solution of Operator Equations, Nauka, Moscow, 1969, in Russian.Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. — М.: Наука, 1969.J. Malinen, O. Nevanlinna, J. Zem´anek, Microspectral analysis of quasinilpotent operators, arXiv:1211.4790v1. Submitted (2012) 1–25.Malinen J., Nevanlinna O., Zem´anek J. Microspectral Analysis of Quasinilpotent Operators // arXiv:1211.4790v1. Submitted. — 2012. — Pp. 1–25.R. Eskandari, F. Mirzapour, Hyperinvariant Subspaces and Quasinilpotent Operators, Bulletin of the Iranian Mathematical Society 41 (2015) 805–813.Eskandari R., Mirzapour F. Hyperinvariant Subspaces and Quasinilpotent Operators // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. — 2015. — Vol. 41, issue 4. — Pp. 805– 813.P. P. Zabreiko, On the Spectral Radius of Volterra Integral Operators, Lithuanian Math. Collection 7 (1967) 281–287, in Russian.Забрейко П. П. О спектральном радиусе интегральных операторов Вольтерра // Литовский математический сборник. — 1967. — Т. 7, вып. 2. — С. 281–287.E. S. Zhukovskii, On the Theory of Volterra Equations, Differential Equations 25 (1989) 1132–1137, in Russian.Жуковский Е. С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, вып. 9. — С. 1599–1605.V. I. Sumin, A. V. Chernov, Operators in the Spaces of Measurable Functions: the Volterra Property and Quasinilpotency, Differential Equations 34 (1998) 1403–1411, in Russian.Сумин В. И., Чернов А. В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, вып. 10. — С. 1402–1411.R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Mir, Moscow, 1998, in Russian.Грехэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998.I. P. Natanson, Theory of Functions of a Real Variable, Nauka, Moscow, 1974, in Russian.Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.