Estimates of Solutions of Elliptic Differential-Difference Equations with Degeneration

Cover Page

Abstract


We consider a second-order differential-difference equation in a bounded domain Q ⊂ Rn. We assume that the differential-difference operator contains some difference operators with degeneration corresponding to differentiation operators. Moreover, the differential-difference operator under consideration cannot be expressed as a composition of a difference operator and a strongly elliptic differential operator. Degenerated difference operators do not allow us to obtain the G˚arding inequality. We prove a priori estimates from which it follows that the differential-difference operator under consideration is sectorial and its Friedrichs extension exists. These estimates can be applied to study the spectrum of the Friedrichs extension as well. It is well known that elliptic differential-difference equations may have solutions that do not belong even to the Sobolev space W 1(Q). However, using the obtained estimates, we can prove some smoothness of solutions, though not in the whole domain Q, but inside some subdomains Qr generated by the shifts of the boundary, where U Qr = Q.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Настоящая работа посвящена априорным оценкам решений для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением с переменными коэффициентами. Г. А. Каменский и А. Д. Мышкис сформулировали вопрос о построении теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Обзор литературы в области эллиптических функционально-дифференциальных уравнений можно найти в работе [29]. Основы общей теории эллиптических и параболических дифференциально-разностных уравнений были построены в работах А. Л. Скубачевского и его учеников. Современное состояние теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений можно найти в обзоре [22], который включает в себя ряд важных направлений: эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с растяжениями-сжатиями переменных, нелинейные функционально-дифференциальные уравнения, приложения к проблеме Т. Като о корне квадратном из оператора, приложения к исследованию автоколебаний нелинейных лазерных систем и другие [2, 5, 13, 18, 19, 23, 24, 30-32]. Помимо приложений, интерес к краевым задачам для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений связан с появлением ряда интересных свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри области и сохраняться в некоторых подобластях, порожденных сдвигами границы области. В 1951 г. после работы М. В. Келдыша [9] возник интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением. Эта статья повлекла за собой целый ряд исследований многих известных математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. В дальнейшем подобными задачами занимались такие математики, как О. А. Олейник и Е. В. Радкевич [14], М. И. Вишик [3], Г. Фикера [25] и многие другие. В своей работе М. В. Келдыш впервые показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. Подобное явление возникает и в случае эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением. Но стоит отметить, что, в отличие от эллиптических уравнений с вырождением, причиной такого явления служит не вырождение коэффициентов дифференциального оператора на многообразии вырождения, а присутствие в дифференциально-разностном операторе разностного оператора с вырождением, которое носит нелокальный характер. В работах А. Л. Скубачевского [21, 29] изучены дифференциально-разностные операторы порядка 2m, которые представляются в виде композиции сильно эллиптического дифференциального оператора и вырожденного разностного оператора, т. е. в виде LRu = LRu, где L - сильно эллиптический дифференциальный оператор, а R - разностный оператор, эрмитова часть которого является неотрицательным вырожденным оператором. Интерес к таким операторам вызван появлением ряда принципиально новых свойств даже по сравнению с сильно эллиптическими дифференциально-разностными операторами (см. [28]), а также приложениями полученных результатов к некоторым нелокальным эллиптическим задачам, возникающим в теории плазмы (см. [1]). В частности, А. Л. Скубачевским было показано, что нелокальные эллиптические задачи, связывающие значения неизвестной функции на различных компактах, можно свести к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением. В работе [16] получены априорные оценки и построено фридрихсово расширение дифференциально-разностного оператора с постоянными коэффициентами и несколькими вырожденными разностными операторами, а также исследованы его спектральные свойства. Локальная гладкость обобщенных решений для данных уравнений и гладкость вблизи границы доказаны в работах [17,27]. Необходимые и достаточные условия существования следов обобщенных решений на частях границы области были получены в работе [15]. В настоящей работе мы рассмотрим дифференциально-разностный оператор с переменными коэффициентами, содержащий несколько вырожденных операторов, действующий в пространстве L2(Q). А именно, рассмотрим следующее уравнение: n '\" - i,j=1 ∂ ∂xi bij ∂ (x) ∂xj Rij u(x)= f (x) (x ∈ Q ⊂ Rn) , (1.1) где Q ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂Q, Rij - разностные операторы, действующие в пространстве L2(Q) и определенные по формуле Rij u(x) = ), h∈M aijhu(x + h), M - конечное множество векторов h из Rn с целочисленными координатами, aijh ∈ C, bij (x) = bji(x) ∈ C∞(Rn) - вещественнозначные M -периодические функции. Мы будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения (1.1). Так как сдвиг на вектор h может отобразить точки x ∈ Q в точки x ∈ Rn \Q, то мы должны задать значения искомой функции не только на границе ∂Q, но и всюду вне области. Таким образом, мы будем рассматривать однородное краевое условие u(x)=0 (x ∈ Rn \ Q) . (1.2) Мы докажем априорные оценки обобщенных решений первой краевой задачи, из которых будет следовать, что рассматриваемый дифференциально-разностный оператор с вырождением является секториальным. В дальнейшем на основе полученных априорных оценок можно построить фридрихсово расширение оператора и применить теоремы о представлении для изучения разрешимости рассматриваемой задачи. Кроме того, оценки позволят изучить гладкость решений. 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Сначала приведем ряд вспомогательных результатов, необходимых для формулировки и доказательства основного результата. Доказательства приводимых ниже утверждений можно найти ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 133 в [21,22,29]. В данных работах было показано, что свойства разностных операторов можно охарактеризовать с помощью свойств матриц, элементами которых являются коэффициенты разностного оператора и нули. Для этого нам понадобятся следующие геометрические построения. Для простоты будем рассматривать ограниченную область Q ⊂ Rn с границей ∂Q ∈ C∞, цилиндр (0, d) × G или прямоугольник, где G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G ∈ C∞, если n � 3). Но все результаты верны и для более общих областей, удовлетворяющих следующему условию. Условие 2.1. Пусть Q ⊂ Rn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂Q = J Xi i (i = 1,..., N1), где Xi - открытые связные в топологии ∂Q (n - 1)-мерные многообразия класса C∞, n � 2. Пусть, кроме того, в некоторой окрестности каждой точки x0 ∈ K = ∂Q \ J Xi область Q диффеоморфна n-мерному углу раствора меньше 2π и больше 0. i . Обозначим через C∞(Q) множество бесконечно дифференцируемых в Q функций с компактными носителями. Пусть M⊂ Rn-множество, состоящее из конечного числа векторов h c целочисленными координатами. Обозначим через M аддитивную абелеву группу, порожденную множеством M, а через Qr - открытые связные компоненты множества Q \ J h∈M (∂Q + h). Определение 2.1. Множества Qr мы будем называть подобластями, а совокупность R всевозможных подобластей Qr (r = 1, 2,.. .) назовем разбиением области Q. Легко убедиться, что множество R не более чем счетно. Лемма 2.1. J ∂Qr = ( J (∂Q + h) n Q. r Лемма 2.2. 77. J Qr = Q. r h∈M n 78. Для любых Qr1 и h ∈ M либо найдется такое Qr2 , что Qr2 = Qr1 +h, либо Qr1 +h ⊂ R \Q. Разбиение R естественным образом распадается на классы. Мы будем считать, что подобласти Qr1 , Qr2 ∈R принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор h ∈ M, для которого Qr2 = Qr1 + h. Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса (s = 1, 2,.. .), а l - порядковый номер данной подобласти в s-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = N (s) подобластей Qsl и N (s) � ([diamQ]+ 1)n. Пример 2.1. Пусть область Q = (0, 2) × (0, 1) ⊂ R2, M = {(1, 0)}. Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей Q11 = (0, 1) × (0, 1), Q12 = (1, 2) × (0, 1) (см. рис. 2.1). ✻x2 1 • • • Q11 Q12 • • • ✲ 0 1 2 x1 РИС. 2.1 134 В. А. ПОПОВ Пример 2.2. Пусть область Q = (0, π) × (0, 1) ⊂ R2, M = {(1, 0)}. Тогда разбиение R состоит из двух классов Q1l = (l - 1,π - 4+ l) × (0, 1) (l = 1, 2, 3) и Q2,l = (π - 4+ l, l) (l = 1, 2, 3) (см. рис. 2.2). ✻x2 1 • • • • • • • • Q11 Q12 Q13 Q21 Q22 Q23 Q24 • • • • • • • • ✲ 0 π - 3 1 π - 2 2 π - 1 3 π x1 РИС. 2.2 Пример 2.3. Пусть область Q = (0, 2) × (0, 2), M = {(1, 0)}∪ {(0, 1)} (см. рис. 2.3). ✻x2 2 • • • Q13 Q12 1 • • • Q11 Q12 • • • ✲ 0 1 2 x1 РИС. 2.3 Рассмотрим разностный оператор R : L2(Rn) → L2(Rn), определенный по формуле Ru(x)= '\" ahu(x + h), (2.1) h∈M где ah - комплексные числа, множество M состоит из конечного числа векторов h ∈ Rn c целочисленными координатами, x = (x1,..., xn) ∈ Rn. Введем операторы IQ, PQ, RQ следующим образом: IQ : L2(Q) → L2(Rn) - оператор продолжения функции из L2(Q) нулем в Rn \ Q, PQ : L2(Rn) → L2(Q) - оператор сужения функции из L2(Rn) на Q, а RQ = PQRIQ : L2(Q) → L2(Q). Сдвиги x → x + h, вообще говоря, могут отобразить точку x ∈ Q в точку x + h ∈/ Q. Поэтому краевое условие (1.2) задается не только на ∂Q, но всюду в Rn \ Q. Для того, чтобы формально ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 135 записать это условие, мы вводим оператор IQ. С другой стороны, функция (RIQu)(x) задана в Rn. Для рассмотрения этой функции только в области Q вводится оператор сужения PQ. Лемма 2.3. Операторы IQ : L2(Q) → L2(Rn) и PQ : L2(Rn) → L2(Q) ограничены; при этом I∗ n Q = PQ, т. е. (IQu, v)L2(Rn) = (u, PQv)L2(Q) для любых u ∈ L2(Q), v ∈ L2(R ). Лемма 2.4. Операторы R : L2(Rn) → L2(Rn) и RQ : L2(Q) → L2(Q) ограничены; Q = PQR IQ, R u(x)= '\" ahu(x - h). R∗ ∗ ∗ h∈M Теперь приведем некоторые свойства разностных операторов RQ в пространстве L2(Q). Оказывается, эти свойства тесно связаны со свойствами конечного числа матриц, состоящих из нулей и коэффициентов разностного оператора R. Обозначим через L2( J Qsl подпространство функций в L2(Q), равных нулю вне J Qsl, а l l через Ps : L2(Q) → L2( J Qsl - оператор ортогонального проектирования функций из L2(Q) на l L2( J Qsl (l = 1,.. .,N (s)). Так как μn(∂Qsl)= 0, из абсолютной непрерывности интеграла Лебега l следует, что L2(Q)= � L2( I Qsl , (2.2) s l где μn(·) - мера Лебега в Rn. Лемма 2.5. L2( J Qsl - инвариантное подпространство оператора RQ. l Введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств 2 Us : L2( I Qsl → LN (Qs1), (2.3) l определив вектор-функцию (Usu)(x) равенством 2 (Usu)l(x)= u(x + hsl) (x ∈ Qs1), (2.4) где l = 1,...,N = N (s), hsl таково, что Qs1 + hsl = Qsl (hs1 = 0), LN (Qs1)= П L2(Qs1). l Лемма 2.6. Оператор RQs : LN (Qs1) → LN (Qs1), определенный по формуле 2 2 s RQs = UsRQU -1, (2.5) является оператором умножения на квадратную матрицу Rs порядка N (s) × N (s) с элементами rs (ah, если h = hsl - hsk ∈ M, kl = 0, если h = h (2.6) h / . sl - sk ∈M Замечание 2.1. Поскольку область Q является ограниченной, а матрицы Rs состоят из конечного множества чисел ah и нулей, то множество различных матриц {Rsν } (ν = 1,..., n1) конечно. Лемма 2.7. Спектр оператора RQ совпадает с объединением спектров конечного числа матриц Rsν (ν = 1,..., n1). Каждая точка спектра σ(RQ) является собственным значением бесконечной кратности. Лемма 2.8. Если оператор R : L2(Rn) → L2(Rn) является самосопряженным, то оператор RQ : L2(Q) → L2(Q) - также самосопряженный. Лемма 2.9. Для самосопряженности оператора RQ : L2(Q) → L2(Q) необходимо и достаточно, чтобы все матрицы Rsν (ν = 1,..., n1) были эрмитовы. Определение 2.2. Непрерывную в Q функцию ϕ(x) назовем M -периодической в Q, если ϕ(x)= ϕ(x + h) для любых x, x + h ∈ Q и h ∈ M. 136 В. А. ПОПОВ Лемма 2.10. Пусть функция ϕ(x) - M-периодическая в Q. Тогда RQ(ϕu) = ϕRQu для всех u ∈ L2(Q). Рассмотрим свойства разностных операторов RQ : L2(Q) → L2(Q), имеющих нетривиальное ядро. Обозначим через N (·) и R(·) соответственно ядро и образ некоторого оператора. Лемма 2.11. LN (Qs1)= N (RQs) ⊕ R(R∗ ), LN (Qs1)= N (R∗ ) ⊕ R(RQs). 2 Qs 2 Qs Введем обозначения AQ = (RQ + R∗ )/2, BQ = (RQ - R∗ )/2i. Очевидно, что RQ = AQ + iBQ. Q Q Операторы AQ и BQ называются соответственно вещественной и мнимой частями операs тора RQ. Положим AQs = UsAQU -1 s и BQs = UsBQU -1. В силу леммы 2.6 операторы AQs, BQs : LN (Qs1) → LN (Qs1) являются операторами умножения на матрицы As = (Rs + R∗)/2, 2 2 s Bs = (Rs - R∗)/2i, соответственно. Обозначим через P R, P R∗ , P A, P B : L2(Q) → L2(Q) и R, P R∗ , P s A, P B : LN (Qs1) → LN (Qs1) операторы ортогонального проектирования на подпро- Ps s s s 2 2 странства R(RQ), R(R∗ ), R(AQ), R(BQ) и R(RQs), R(R∗ ), R(AQs), R(BQs), соответственно. Q Qs R R∗ A B Операторы Ps , Ps , Ps , Ps суть операторы умножения на некоторые матрицы, которые мы также обозначим P R, P R∗ , P A, P B , соответственно. s s s s Лемма 2.12. L2(Q)= N (RQ) ⊕ R(R∗ ), L2(Q)= N (R∗ ) ⊕ R(RQ), при этом Q ⊕P u⊕ R∗ L2(Q) � c⊕RQ Q u⊕L2(Q) , (2.7) ⊕P Ru⊕L (Q) � c⊕R∗ u⊕L (Q) (2.8) 2 Q 2 для любой функции u ∈ L2(Q), где c > 0 - постоянная, не зависящая от u. Ограниченный самосопряженный оператор A в гильбертовом пространстве H назовем положительным, если (Au, u)H > 0 для любого 0 /= u ∈ H, и неотрицательным, если (Au, u)H � 0 для H любого u ∈ H. Назовем оператор A положительно определенным, если (Au, u)H � c⊕u⊕2 для любого u ∈ H, где c > 0. Рассмотрим разностные операторы Ri (i = 1, 2) вида (2.1) с коэффициентами aih вместо ah kl (h ∈ M). Положим RiQ = PQRiIQ. Определим матрицы Ris порядка N (s) × N (s) с элементами ris (k, l = 1,...,N (s)) по формуле (2.6) с коэффициентами aih вместо ah. Лемма 2.13. 79. Пусть N (R1s) ⊂ N (R2s) (s = 1, 2,.. .). Тогда N (R1Q) ⊂ N (R2Q), и для любой функции u ∈ L2(Q) справедливо неравенство ⊕R2Qu⊕L2(Q) � c1⊕R1Qu⊕L2(Q), (2.9) где c1 > 0 - постоянная, не зависящая от u. Q 80. Если, кроме того, R1Q = AQ, R2Q = BQ, а матрицы As (s = 1, 2,.. .) неотрицательны, то оператор AQ - неотрицательный, при этом N (RQ) = N (R∗ ) = N (AQ) и Q R(RQ)= R(R∗ )= R(AQ). Лемма 2.14. Для любой u ∈ L2(Q) справедливо равенство P Ru = '\" U -1P RUsPsu, (2.10) s s s P R∗ u = '\" U -1P R∗ UsPsu. (2.11) s s s 2 Обозначим через W k (Q), k ∈ N, пространство Соболева комплекснозначных функций с нормой / 2 (Q) ⊕u⊕W k = '\" r 1/2 α 2 |D u(x)| dx , |α|�k Q ∂ где α = (α1,..., αn), |α| = α1 + ... + αn, Dα = Dα1 ... Dαn , Dj = -i . 1 n ∂xj ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 137 Лемма 2.15. Оператор RQ непрерывно отображает W˚ k (Q) в W k (Q), при этом для всех 2 2 u ∈ W˚ k (Q) справедливо равенство DαRQu = RQDαu (|α| � k), где W˚ k (Q) - замыкание множе- 2 2 2 ства C˙ ∞(Q) в W k (Q). 81. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ В данном разделе мы приведем основной результат настоящей работы. В первой теореме мы докажем оценку снизу действительной части скалярного произведения (LRu, u)L2(Q). Из второй теоремы следует оценка модуля мнимой части скалярного произведения (LRu, u)L2(Q) сверху. Таким образом, рассматриваемый оператор LR является секториальным, для которого существует фридрихсово расширение. 1. Введем неограниченный дифференциально-разностный оператор LR : D(LR) ⊂ L2(Q) → L2(Q), действующий по формуле n ∂ ∂ R - L u(x)= '\" ∂xi bij (x) ∂xj RijQu(x), (3.1) i,j=1 с областью определения D(LR) = C˙ ∞(Q), где bij (x) = bji(x) ∈ C∞(Rn) - вещественнозначные M -периодические функции, RijQ = PQRij IQ, Rij = '\" aijh u(x + h) (i, j = 1,..., n). (3.2) h∈M Введем матрицы Rijs порядка N (s) × N (s) с элементами ( aijh, если h = hsl - hsk ∈ M, kl = rijs 0, если h = hsl - hsk (3.3) /∈ M. Наряду с матрицами Rijs, введем матрицы R�ijs следующим образом. Пусть x ∈ Qs1- произвольная точка. Рассмотрим все точки xi ∈ Q такие, что xi - x ∈ M. Поскольку область Q - ограниченная, множество {xi} состоит из конечного числа точек I = I(s, x) (I � N (s)). Занумеруем точки xi так, что xi = x + hsi для i = 1,...,N = N (s), x1 = x. Введем матрицы R�ijs = R�ijs(x) порядка I × I (I = I(s, x)) с элементами ( aijh, если h = xl - xk ∈ M, kl = rijs � 0, если h = xl - xk (3.4) /∈ M. Отметим, что, хотя элементы матриц R�ijs являются константами, порядок этих матриц зависит от выбора точки x. Замечание 3.1. Если I(s, x) = N (s), то R�ijs(x) = Rijs. Если I(s, x) > N (s), то матрица Rijs получается из матрицы R�ijs(x) вычеркиванием последних I(s, x) - N (s) строк и столбцов. jis Обозначим через Aijs = (Rijs + R∗ jis )/2, A�ijs(x)= (R�ijs(x)+ R�∗ jis (x))/2, Bijs = (Rijs - R∗ )/2i, jis B�ijs(x) = (R�ijs(x) - R�∗ jiQ (x))/2i (i, j = 1,..., n). Пусть AijQ = (RijQ + R∗ )/2 и BijQ = (RijQ - ∗ RjiQ)/2i. Перед получением априорных оценок продемонстрируем на примере разницу между матрицами Rijs и R�ijs(x). Пример 3.1. Пусть Q = (0, 2) × (0, 1) и Ru(x) = a0u(x)+ a1(u(x1 + 1, x2)+ u(x1 - 1, x2)), где числа a0, a1 ∈ C. Разбиение R области Q состоит из одного класса подобластей: Q11 и Q12 (см. ⎛a0 a1 0 ⎞ пример 2.1). Тогда R1 = если x ∈ {{0}× (0, 1)}. a0 a1 a1 a0 , R�1(x)= R1, если x ∈ Q11\{{0}×(0, 1)}, R�(x)= ⎝a1 a0 a1⎠ , 0 a1 a0 Будем предполагать, что выполнены следующие условия: 138 В. А. ПОПОВ Условие 3.1 (эллиптичности).Существуют нетривиальные самосопряженные неотрицательные разностные операторы RiQ такие, что справедливо неравенство n n i '\" bij (x)A�ijs(x) ξi ξj � '\" R�is(x) ξ2 i,j=1 i=1 для любых x ∈ Qs1 (s = 1, 2,.. .) и ξ ∈ Rn, где R�is-матрицы, соответствующие разностному оператору RiQ. Условие 3.2 (вырождения). Множество S = {s : det Aiis = 0, i = 1,..., n} непусто. Условие 3.3 (подчиненности). N (Aijs) ⊂ N (Bijs), N (Aiis)= N (Ris), N (Aiis) ⊂ N (Aijs) ∩ N (Ajis), i, j = 1,... n, где N (·)-ядро матрицы. Очевидно, Q ⊂ J Bδ/2(x), где Bδ/2(x) - открытые шары радиуса δ/2 с центром в точке x, x∈Q δ = δ(x). Для каждого x ∈ Q выберем δ = δ(x) так, что 2δ(x) < min {1/2, r, a} . Здесь, поскольку Q - ограниченная область, δ = δ(x) можно выбрать так, что r = r(x) = inf ρ(x + h, Q) > 0 (h : x+h ∈/ Q). Число a не зависит от x и будет выбрано позднее. Так как Q компактно, существует конечное подпокрытие Q шарами Bδ/2(yk ) (yk ∈ Q, k = 1,...,J ). Обозначим G = J Bδ/2(yk ). k Лемма 3.1. Пусть Q ⊂ Rn - область, удовлетворяющая условию 2.1. Тогда существуют неотрицательные M-периодические в G функции ϕk ∈ C˙ ∞(Rn) (k = 1,...,J ) такие, что: J k 1. ), ϕ2 (x) � 1 при x ∈ Rn; k=1 J k 2. ), ϕ2 (x)=1 при x ∈ G; k 3. ϕk (x)=0 при x ∈/ Ωk , где Ωk = J (Bδ (yk )+ h) (h ∈ M : (Bδ (yk )+ h) n G /= ∅). h Доказательство можно найти в [29, гл. 2, лемма 9.1]. 82. Получим оценку снизу для квадратичной формы Re(LRu, u)L2(Q). Теорема 3.1. Пусть область Q удовлетворяет условию 2.1 и выполнены условия 3.1-3.3. Тогда существуют такие константы c0 � 0, c1 > 0, что для любой функции u ∈ выполнено неравенство C˙ ∞(Q) Re(LRu, u)L2(Q) + c0 n '\" i=1 (AiiQu, u)L2(Q) � c1 n '\" i=1 2 ⊕RiQuxi ⊕L2(Q). (3.5) Доказательство. I. Используя леммы 2.4, 2.10 и 3.1, формулу интегрирования по частям и формулу Лейбница, имеем n Re(LRu, u)L2(Q) = '\" ( i,j=1 bij (x)AijQuxj , uxi ) L2(Q) = n J n J '\" '\" ( ( ) ) = '\" '\" (bij (x)AijQ (ϕk u) , (ϕk u) - bij (x)AijQ (ϕk )x u , (ϕk )x u - i,j=1 k=1 xj xi L2(Q) i,j=1 k=1 j i L2(Q) n J n J - '\" '\" ( i,j=1 k=1 bij (x)AijQ ((ϕk )xj u) , ϕk uxi ) L2(Q) - '\" '\" (bij (x)AijQ i,j=1 k=1 (ϕk uxj ) , (ϕk )xi u ) L2(Q). (3.6) . Так как ϕk ∈ C∞(Rn), то верны следующие оценки: ⊕ϕk v⊕L2(Q) � ⊕v⊕L2(Q), (3.7) ⊕(ϕk )xi v⊕L2(Q) � k1⊕v⊕L2(Q), (3.8) ⊕ϕk bij v⊕L2(Q) � k2⊕v⊕L2(Q), (3.9) ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 139 ⊕(ϕk )xi bij v⊕L2(Q) � k3⊕v⊕L2(Q) (3.10) для любой функции v ∈ L2(Q), где k1, k2,... > 0 - константы, не зависящие от функций, входящих в неравенства. Из леммы 2.12 следует, что 1 1 1 1 для любой v ∈ L2(Q). 1A∗ 1 1P Aij v1 L2(Q) � k4 ijQv (3.11) L2(Q) Из лемм 2.10, 2.12, неравенства Коши-Буняковского, неравенств (3.7)-(3.11), а также неравенства ab � εa2 + ε-1b2 (a, b ∈ R, ε > 0) получаем n J n '\" '\" (bij AijQ (ϕk ux k x '\" '\" ( ijQ ( k ij x Aij k x j ) , (ϕ ) i u) = A ϕ b u j ) , P ((ϕ ) i u)) � i,j=1 k=1 L2(Q) '\" '\" n i,j=1 k L2(Q) � ⊕AijQ (ϕk bij ux )⊕ § ⊕P Aij ((ϕ ) u)⊕ � i,j=1 k n j L2(Q) k xi L2(Q) � k4 '\" '\" ⊕AijQ (ϕk bij ux ) L (Q) · ⊕A∗ Q ((ϕk )x u)⊕L (Q) = i,j=1 k n j ⊕ 2 ij i 2 = k4 '\" '\" ⊕ϕk bij AijQux L (Q) · ⊕(ϕk )x ijQu⊕L (Q) � i,j=1 k n j ⊕ 2 i A∗ 2 ijQ � k1k2k4J '\" ⊕A∗ u⊕L2(Q) o ⊕AijQ uxj ⊕L2(Q) � i,j=1 ⎛ n n ⎞ 2 � k1k2k4J ⎝ε-1 '\" ⊕A∗ u⊕ 2 + ε '\" ⊕AjiQux ⊕ ⎠ . i,j=1 ijQ L2(Q) i,j=1 i L2(Q) (3.12) ijs Из определений матриц Aijs и операторов AijQ следует, что A∗ ijQ = Ajis и A∗ = AjiQ. Поэтому из условия 3.3 и леммы 2.13 (1) имеем ⊕AjiQv⊕L2(Q) � k5⊕AiiQv⊕L2(Q), (3.13) ⊕A∗ v⊕ = ⊕A v⊕ � k ⊕A v⊕ ijQ L2(Q) jiQ L2(Q) 5 iiQ L2(Q) для любой функции v ∈ L2(Q). Тогда верно неравенство n / n n '\" '\" (bij AijQ (ϕk ux k x 1 '\" 6 2 iiQ '\" iiQ x L (Q) j ) , (ϕ ) i u) � k ε- ⊕A u⊕L (Q) + ε ⊕A u i ⊕ 2 . i,j=1 k L2(Q) i=1 2 i=1 (3.14) Аналогично получаем n / n n '\" '\" (bij AijQ ((ϕk )x k x 1 '\" 6 2 iiQ '\" 2 iiQ x j u) , ϕ u i ) � k ε- ⊕A u⊕L (Q) + ε ⊕A u i ⊕L (Q) . i,j=1 k L2(Q) i=1 2 i=1 2 (3.15) Вновь используя леммы 2.10, 2.12, неравенство Коши-Буняковского и неравенства (3.8), (3.11), (3.13), имеем n n '\" '\" (bij AijQ ((ϕk )x j u) , (ϕ k )xi u) L2(Q) � k '\" 7 ⊕AiiQ ⊕L (Q) u 2 . (3.16) 2 i,j=1 k i=1 Из (3.6), (3.14), (3.15), (3.16) имеем J n Re(LRu, u)L2(Q) � '\" '\" ( k=1 i,j=1 bij AijQ (ϕk u)xj , (ϕk u)xi L2(Q) - 140 В. А. ПОПОВ n n - (k7 + 2k6ε-1) '\" ⊕AiiQu⊕L (Q) - 2k6ε '\" ⊕AiiQux ⊕ . (3.17) 2 2 i=1 i=1 2 i L2(Q) Теперь оценим снизу второе слагаемое левой части неравенства (3.5). Из леммы 2.12 и условия 3.1 получим n n n n 2 '\" (AiiQu, u)L (Q) = '\" (AiiQP Aii u, P Aii u)L (Q) � k8 '\" ⊕P Aii u⊕ 2 � k9 '\" ⊕AiiQu⊕ . i=1 2 i=1 2 i=1 L2(Q) i=1 L2(Q) (3.18) Таким образом из (3.17), (3.18) получаем n J n Re(LRu, u)L2(Q) + c0 '\" i=1 (AiiQu, u)L2(Q) � '\" '\" ( k=1 i,j=1 n bij AijQ (ϕk u)xj , (ϕk u)xi n + L2(Q) + (c0k9 - k7 - 2k6ε-1) '\" ⊕AiiQu⊕L (Q) - 2k6ε '\" ⊕AiiQux ⊕ . (3.19) 2 2 i=1 n i=1 2 i L2(Q) 0. Рассмотрим теперь скалярное произведение 2 ), (RiQuxi , uxi )L (Q). Используя лемму 3.1 и формулу Лейбница, имеем i=1 n n J '\" (RiQux , ux )L (Q) = '\" '\" (RiQ (ϕk ux ) , ϕk ux )L (Q) = i=1 i i 2 n J i=1 k=1 i i 2 n J i = '\" '\" (RiQ (ϕk u)x i=1 k=1 i , (ϕk u)x ) L2(Q) '\" '\" ( ( RiQ (ϕk ) § xi i=1 k=1 i u) , (ϕk )x ) u L2(Q)- '\" '\" ( n J n J - '\" '\" (RiQ i=1 k=1 x k ((ϕ ) i u) , ϕk uxi ) L2(Q) § RiQ (ϕk uxi ) , (ϕk )xi i=1 k=1 . u) L2(Q) Далее оценим модули последних трех слагаемых в правой части последнего равенства. Используя леммы 2.10, 2.12, неравенство Коши-Буняковского, а также неравенства (3.8), (3.11), получим n J n J '\" '\" ( ((ϕ ) u) , (ϕ ) u) = '\" '\" (RiQ ((ϕk ) u) ,P Ri ((ϕk ) u)) � i=1 k=1 RiQ k xi k xi n J L2(Q) xi i=1 k=1 xi L2(Q) i � '\" '\" ⊕RiQ ((ϕk )x i=1 k=1 ) u ⊕L2(Q) x i o ⊕P Ri ((ϕk ) u)⊕L2(Q) � n J i � k10 '\" '\" ⊕RiQ ((ϕk )x i=1 k=1 i u)⊕L2(Q) · ⊕RiQ ((ϕk )x u)⊕L2(Q) = n J n = k10 '\" '\" ⊕(ϕk )x RiQu⊕L (Q) · ⊕(ϕk ) 2 RiQu⊕L (Q) � k11'\" ⊕RiQu⊕ , (3.20) i 2 i=1 k=1 xi 2 i=1 L2(Q) n J n J '\" '\" ( ((ϕ ) u) ,ϕ u ) = '\" '\" (RiQ ((ϕk ) 0. ,P Ri (ϕk ux )) � i=1 k=1 RiQ k xi k xi n J L2(Q) xi i=1 k=1 i L2(Q) � '\" '\" ⊕RiQ ((ϕk )x u)⊕L (Q) · ⊕P Ri (ϕk ux )⊕L (Q) � i 2 i 2 i=1 k=1 n J i � k10 '\" '\" ⊕RiQ ((ϕk )x i=1 k=1 ) u ⊕L2(Q) o ⊕RiQ (ϕk uxi )⊕L2(Q) = ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 141 n J = k10 '\" '\" ⊕(ϕk )x RiQu⊕L (Q) · ⊕ϕk RiQux ⊕L (Q) � i 2 i 2 i=1 k=1 n � k1k10J '\" ⊕RiQu⊕L (Q) · ⊕RiQux ⊕L (Q) � 2 i 2 i=1 / n n � k12 ε-1 '\" ⊕RiQu⊕L (Q) + ε '\" ⊕RiQux ⊕ . (3.21) Аналогично имеем i=1 2 2 i=1 2 i L2(Q) n J / n n '\" '\" ( ) -1 '\" 2 '\" 2 i=1 k=1 RiQ (ϕk uxi ) , (ϕk )xi u L2(Q) � k12 ε i=1 ⊕RiQu⊕L2(Q) + ε i=1 ⊕RiQuxi ⊕L2(Q) . (3.22) Из (3.20)-(3.22) получаем неравенство n n J '\" (RiQux , ux )L (Q) � '\" '\" (RiQ (ϕk u) , (ϕk u) ) + i=1 i i 2 xi i=1 k=1 n xi L2(Q) n 2 + 2k12ε '\" ⊕RiQux ⊕ + (k11 + 2k12ε-1 2 ) '\" ⊕RiQu⊕ . (3.23) С другой стороны, мы имеем i=1 i L2(Q) i=1 L2(Q) n n '\" (RiQux , ux )L (Q) = '\" (RiQP Ri ux ,P Ri ux ) � i=1 i i 2 n i=1 i i L2(Q) n n 2 � k13 '\" ⊕P Ri ux ⊕ � k14 '\" ⊕RiQP 2 Ri ux ⊕ 2 = k14 '\" ⊕RiQux ⊕ . (3.24) i=1 i L2(Q) i=1 i L2(Q) i=1 i L2(Q) Объединяя (3.23) и (3.24), получаем n k14 '\" ⊕RiQux 2 n '\" iQ x x i=1 J n i ⊕L2(Q) � (R i=1 u i ,u i )L2(Q) � n n � '\" '\" (RiQ (ϕk u)x , (ϕk u)x ) 2 + 2k12ε '\" ⊕RiQux ⊕ + (k11 + 2k12ε -1) R u . '\" 2 " iQ ⊕ i k=1 i=1 Следовательно, i L2(Q) i=1 i L2(Q) i=1 L2(Q) (3.25) J n '\" '\" (RiQ (ϕk u)x , (ϕk u)x ) � k=1 i=1 i i L2(Q) n n 2 � (k14 - 2k12ε) '\" ⊕RiQux ⊕ - (k11 + 2k12ε-1 2 ) '\" ⊕RiQu⊕ . (3.26) i=1 i L2(Q) i=1 L2(Q) 0. Рассмотрим произвольную точку yk ∈ Q из леммы 3.1. Существует подобласть Qsl такая, что yk ∈ Qsl. Обозначим zk = yk -hsl. Тогда zk ∈ Qs1. Определим вектор-функцию W k ∈ C˙ ∞,I (Bδ (zk )) с координатами W k i (x)= (ϕk u)(x + zki k § z ) (x ∈ Bδ (zk )), (3.27) где i = 1,..., I = I(s, zk ), а точки zki, соответствующие точке zk , определяются по правилу, описанному в начале параграфа. Матрицы A�ijs(x) могут иметь различный порядок в различных точ- �ijs ках x ∈ Bδ (zk ). Поэтому мы рассмотрим вспомогательные матрицы Ak порядка I(s, zk ) × I(s, zk ), �ijs � определенные по формуле Ak = Aijs(zk ). Введем преобразование Фурье вектор-функции W по 142 В. А. ПОПОВ формуле W (ξ)= (2π)-n/2 Г Rn e-i(x,ξ)W (x) dx. Теперь, используя теорему Планшереля, условие 3.1 и лемму 2.10, мы имеем n J n J ( '\" '\" (RiQ (ϕk u)x , (ϕk u)x ) = '\" '\" R�k (W k )x , (W k )x = i i=1 k=1 n J i L2(Q) LI i is i i=1 k=1 n J 2 (Rn) = '\" '\" r (R�k 2 k k '\" '\" r ( k k k k i=1 k=1Rn '\" '\" (bij (zk )A� n J isξi W , W dξ � CI i,j=1 k=1Rn n J bij (z )A�ijsξiξj W , W dξ = CI k = ijs(W i,j=1 k=1 k )xj , (W i k )x LI 2 (Rn) = '\" '\" (bij (zk i,j=1 k=1 )AijQ (ϕk u)xj , (ϕk u)xi = L2(Q) n J xj = '\" '\" (bij (x)AijQ (ϕk u) i,j=1 k=1 , (ϕk u)xi L2(Q) - n J '\" '\" ( - i,j=1 k=1 j (bij (zk ) - bij (x))AijQ (ϕk u)x , (ϕk u)xi L2(Q) , (3.28) где R�k - матрицы порядка I(s, zk ) × I(s, zk ), определенные по формуле R�k = R�is(zk ). is is В силу равномерной непрерывности функций bij (x) на множестве Qs1 и M -периодичности на Q, мы получим n J xj '\" '\" ((bij (zk ) - bij (x))AijQ (ϕk u) i,j=1 k=1 , (ϕk u)xi � L2(Q) n � ε1(a) '\" '\" ⊕AijQ(ϕk u)x ⊕ § ⊕P Aij (ϕ u) ⊕ � i,j=1 k n j L2(Q) k xi L2(Q) (3.29) 2 � ε1(a)k15 '\" ⊕AijQux ⊕ + ⊕A∗ 2 ux ⊕ � i,j=1 n j L2(Q) ijQ i L2(Q) n 2 � ε1(a)k16 '\" ⊕AijQ(ϕk u)x ⊕ 2 + ⊕AjiQux ⊕ 2 ε1(a)k5k17 '\" ⊕AiiQux ⊕ , i,j=1 j L2(Q) i L2(Q) j L2(Q) i где ε1(a) → 0 при a → 0. Из (3.28) имеем n J xj '\" '\" (bij (x)AijQ (ϕk u) i,j=1 k=1 n J , (ϕk u)xi � L2(Q) n (3.30) � '\" '\" (RiQ (ϕk u) , (ϕk u) + ε1(a)k5k17 '\" ⊕AijQux ⊕L (Q). i=1 k=1 xj xi L2(Q) j 2 i,j=1 Из условия 3.3 и леммы 2.13 следует, что ⊕AiiQv⊕L2(Q) � k18⊕RiQv⊕L2(Q), (3.31) ⊕AiiQv⊕L2(Q) � k19⊕RiQv⊕L2(Q) (3.32) для любой функции v ∈ L2(Q). Используя неравенства (3.19), (3.26) и (3.28)-(3.32), получим n n J Re(LRu, u)L2(Q) + c0 '\" i=1 (AiiQu, u)L2(Q) � n '\" '\" ( i,j=1 k=1 bij AijQ (ϕk u)xj , (ϕk u)xi n + L2(Q) + k19(c0k9 - k7 - 2k6ε-1) '\" ⊕RiQu⊕L (Q) - 2k6k18ε '\" ⊕RiQux ⊕ � 2 2 i=1 i=1 2 i L2(Q) ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 143 n 2 � rk19 (c0k9 - k7 - 2k6ε-1) - (k11 + 2k12ε-1)l '\" ⊕RiQu⊕L (Q)+ 2 i=1 n 2 + [(k14 - 2k12ε)+ ε1(a)k5k17k19 - 2k6k18ε] '\" ⊕RiQux ⊕ . (3.33) Выберем константы ε > 0, a > 0 так, что выполнено условие i=1 i L2(Q) (k14 - 2k12ε)+ ε1(a)k5k17k19 - 2k6k18ε > 0. (3.34) Затем выберем c0 > 0 так, что k19 (c0k9 - k7 - 2k6ε-1) - (k11 + 2k12ε-1) > 0. (3.35) Из (3.33)-(3.35) получаем заключение теоремы. R 3. Введем неограниченный дифференциально-разностный оператор L+ R : D(L+) ⊂ L2(Q) → R L2(Q), действующий по формуле L+u = - n ), i,j=1 ∂ ∂xi bij (x) ∂ ∂xj R ∗ jiQ R u(x), u ∈ D(L+)= C˙ ∞(Q). Теорема 3.2. Пусть область Q удовлетворяет условию 2.1 и выполнены условия 3.1-3.3. . Тогда существуют такая постоянная c2 > 0, что для всех u, v ∈ C∞(Q) R L ⎡ n R + L+ 2 u, v L2(Q) + c0 n '\" i=1 � (AiiQu, v)L2(Q) n ⎤ � c2 ⎣ '\" ⊕RiQux ⊕L (Q) · 1RjQvx 1 + '\" ⊕RiQu⊕ § ⊕RiQv⊕ ⎦ , (3.36) i,j=1 R L i 2 1 R - L+ j 1L2(Q) n '\" i=1 L2(Q) 1 1 L2(Q) u, v 2i � c2 L2(Q) i,j=1 ⊕RiQuxi ⊕L2(Q) · 1RjQvxj 1L2(Q). (3.37) Доказательство. Интегрируя по частям и используя неравенство Коши-Буняковского, а также леммы 2.12, 2.13 (1), из условий 3.3 получим L + L+ n R R '\" u, v = (AijQuxj , bij vxi )L2(Q) = 2 L2(Q) n i,j=1 n = '\" (AijQux Aij ij x L (Q) '\" 1 ijQ x 1 1 ij Aij x 1 i,j=1 n j ,b P v i ) 2 � 1A i,j=1 u j 1 n L2(Q) o 1b P v i 1 L2(Q) � '\" 1 1L (Q) · 1 ijQv i 1L (Q) '\" 1 � k2 1RjQ 1 uxj 1 i,j=1 2 2 i,j=1 � k1 L2(Q) · ⊕RiQ vxi ⊕L2(Q). (3.38) Аналогично, повторяя эти рассуждения, имеем R L R - L+ n '\" 1 1 u, v 2i � k1 L2(Q) i,j=1 1RjQuxj 1L2(Q) · ⊕RiQvxi ⊕L2(Q), (3.39) n n '\" '\" Aii (AiiQu, v)L2(Q) = (AiiQu, P 1. L2(Q) � i=1 n i=1 n (3.40) � k3 '\" ⊕AiiQu⊕L (Q) · ⊕AiiQv⊕ � k4 '\" ⊕RiQu⊕L (Q) · ⊕RiQv⊕. 2 i=1 2 i=1 Из (3.38)-(3.40) следует утверждение теоремы. 144 В. А. ПОПОВ Если в теореме 3.2 в качестве функции v взять функцию u, то мы получим оценку для мнимой части скалярного произведения Im(LRu, u)L2(Q). Таким образом, рассматриваемый дифференциально-разностный оператор является секториальным и для него существует фридрихсово расширение. Автор благодарен профессору А. Л. Скубачевскому за постановку задачи, ценные замечания и внимание к работе.

About the authors

V A Popov

RUDN University

Email: volodimir.a@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР. - 1969. - 185, № 4. - С. 739-740.
  2. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2007. - 21.- С. 5-36.
  3. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области// Мат. сб. - 1954. - 35, № 3. - С. 513-568.
  4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 2. - М.: Мир, 1966.
  5. Иванова Е. П. Непрерывная зависимость решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений от сдвигов аргумента// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2016. - 59. - C. 74-96.
  6. Каменский А. Г. Краевые задачи для уравнений с формально симметричными дифференциальноразностными операторами// Дифф. уравн. - 1976. - 12, № 12. - С. 815-824.
  7. Каменский Г. А., Мышкис А. Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Дифф. уравн. - 1974. - 10, No 3. - С. 409-418.
  8. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  9. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области// Докл. АН СССР. - 1951. - 77. - С. 181-183.
  10. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1971.
  11. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.
  12. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976.
  13. Муравник А. Б. Асимптотические свойства решений задачи Дирихле в полуплоскости для некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений// Мат. заметки. - 2016. - 100, № 4. - C. 566-576.
  14. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Итоги науки. Сер. Мат. Мат. анал. - 1971. - 1969. - С. 7-252.
  15. Попов В. А. Следы обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2016. - 62. - С. 124-139.
  16. Попов В. А., Скубачевский А. Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2010. - 36. - С. 125-142.
  17. Попов В. А., Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциальноразностных уравнений с вырождением// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2011. - 39. - С. 130-140.
  18. Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. - 1996. - 59, № 1. - C. 103-113.
  19. Россовский Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2014. - 36. - С. 125-142.
  20. Скубачевский A. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Дифф. уравн. - 1983. - 19, № 3. - С. 457-470.
  21. Скубачевский A. Л. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1997. - 59. - С. 240-285.
  22. Скубачевский A. Л. Нелокальные эллиптические краевые задачи с вырождением// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 5. - С. 3-112.
  23. Солонуха О. В. Об одном классе существенно нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений// Тр. МИАН. - 2013. - 283. - C. 233-251.
  24. Тасевич А. Л. Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2015. - 58. - C. 153-165.
  25. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка// Математика. - 1963. - 7, № 6. - С. 99-121.
  26. Kamenskii G. A., Myshkis A. D. Formulation of boundary-value problems for differential equations with deviating arguments containing several highest-order terms// Differ. Equ. - 1975. - 10. - С. 302-309.
  27. Popov V. A., Skubachevskii A. L. On smoothness of solutions of some elliptic functional-differential equations with degenerations// Russ. J. Math. Phys. - 2013. - 20, № 4. - С. 492-507.
  28. Skubachevskii A. L. The first boundary-value problem for strongly elliptic differential-difference equations// J. Differ. Equ. - 1986. - 63, № 3. - С. 332-361.
  29. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1997.
  30. Solonukha O. V. On a class of essentially nonlinear elliptic differential-difference equations// Proc. Steklov Inst. Math. - 2013. - 283. - С. 226-244.
  31. Solonukha O. V. On nonlinear and quasiliniear elliptic functional differential equations// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2016. - 9 (3). - С. 869-893. - doi: 10.3934/dcdss.2016033.
  32. Varfolomeev E. M. On some properties of elliptic and parabolic functional differential operators arising in nonlinear optics// J. Math. Sci. - 2008. - 153, № 5. - С. 649-682.

Statistics

Views

Abstract - 117

PDF (Russian) - 40

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies