№ 4 (2016)

В статье рассматривается задача о существовании глобальной полугеодезической параметризации поверхностей. Эта проблема хорошо известна и является до сих пор нерешённой в общем виде. Известно, что для дважды непрерывно дифференцируемых поверхностей эта проблема имеет локальное решение. Однако, пример параболоида вращения указывает на то, что невозможно, вообще говоря, использовать локальные сети для построения глобальной координатной сети, определяемой полугеодезической параметризацией. Для решения задачи авторы идут по пути, приводящему к построению изотермической параметризации для поверхностей с положительно определённой первой квадратичной формой. С этой целью они выводят дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять отображение реализующее нужную параметризацию. В отличие от классического случая изотермической параметризации, новое уравнение представляет собой существенно нелинейное уравнение. Кроме того, эллиптическая система, определяемая новым уравнением, допускает вырождение в точках, в которых якобиан её решения обращается в ноль или бесконечность. При этом множество вырождения является заранее неизвестным. Неизвестна и скорость вырождения системы, которая существенно влияет на свойства неравномерно эллиптических систем. Для преодоления указанных трудностей авторы видоизменяют постановку задачи: вместо семейства геодезических, покрывающих поверхность полностью, они ограничиваются семействами таких линий, которые покрывают её лишь с точностью до множества нулевой меры Хаусдорфа. С помощью теории K-квазиконформных отображений они строят негладкие отображения, являющиеся обобщёнными решениями нелинейного уравнения Бельтрами, которые, тем не менее, позволяют выделить нужное семейство геодезических. Построенная авторами параметризация даёт возможность исследовать неклассические равновесные формы жидких капель.

Интернет вещей (ИВ) имеет все шансы стать “третьей волной” в развитии Интернета и существенно поменять лицо отрасли связи как в технологическом, так и в экономическом отношении. Однако для того чтобы это стало реальностью, должна быть создана инфокоммуникационная инфраструктура, обеспечивающая функции сетевого доступа и управления миллионам, а то и миллиардам ИВ-устройств. Сети LTE займут центральное место в этой инфраструктуре при условии, что соответствующие стандарты будут доработаны для обеспечения массового межмашинного взаимодействия без ущерба для предоставления традиционных услуг абонентам. Настоящая работа посвящена построению модели распределения радиоресурсов в соте сети LTE, обслуживающей два типа трафика: телефонии и межмашинного взаимодействия. Модель построена в виде мультисервисной системы массового обслуживания с потоковыми и эластичными заявками. Ресурсы для пропуска трафика межмашинного взаимодействия выделяются диапазонами фиксированного размера, а поступление запросов на его передачу описывается с помощью марковского входящего потока (Markovian Arrival Process, MAP). В работе получены стационарное распределение вероятностей состояний системы и формулы для стационарных вероятностей потерь заявок.

Решается задача получения точек с высокой кривизной (особых точек) контуров для идентификации формы объектов на изображениях. Проводится разбор существующих методов численного дифференцирования в данном аспекте. Рассматривается новый метод дифференцирования плоских дискретно заданных кривых, являющихся точками (пикселями) контуров объектов, на основе использования вариаций метода Arch Height. Показаны особенности такого метода дифференцирования при использовании различных формул вычисления производной. Проанализированы аспекты зависимости точности, получаемой производной от длины хорды. Показано, что при возрастании её длины точность дифференцирования ухудшается, а результат стремится к модулю кривизны кривой в данной точке. Приводится сравнение разработанного метода с другими известными методами. Проведён анализ области применимости и вариабельности параметров дифференцирования. Исследованы аспекты точности вычисления производных для различных параметров дифференцирования. Рассмотрены примеры дифференцирования различных кривых, как заданных аналитически, так и функций-контуров, полученных из реальных изображений. Показано, что предложенный метод позволяет избавиться от неоднозначности положения точки контура с высокой кривизной, а, следовательно, повысить качество распознавания формы объектов. Изложены возможные области применения данного метода в различных областях науки и техники.

При решении полевых задач, в частности задач электродинамики, используются лагранжев и гамильтонов формализмы. Полевой гамильтонов формализм имеет то преимущество перед лагранжевым, что имманентно содержит калибровочное условие, в то время как в лагражевом формализме калибровочное условие вводится специально из некоторых внешних соображений. Однако использование гамильтонового формализма в полевых задачах затруднено из-за нерегулярности полевых лагранжианов. Необходимо использовать такой вариант лагранжевого и гамильтонового формализмов, который позволил бы работать с полевыми моделями, в частности решать задачи электродинамики. В качестве математического аппарата предлагается использовать современную дифференциальную геометрию и алгебраическую топологию, в частности теорию расслоенных пространств. Этот аппарат приводит к большей ясности в понимании математических структур, ассоциированных с физическими и техническими моделями. Использование теории расслоенных пространств позволяет углубить и расширить как лагранжев, так и гамильтонов формализмы, выявить широкий спектр вариантов данных формализмов, выбрать вариант формализма, наиболее адекватный изучаемой проблеме. Фактически, только использование формализма расслоенных пространств позволяет адекватно решать полевые задачи, в частности задачи электродинамики.