№ 2 (2016)

Построен явный локально-кубический сплайн для аппроксимации гладких функций и рассмотрены его аппроксимативные свойства. Предложена сплайн-схема для численного решения краевых задач, основанная на свойствах локально-кубического сплайна и обычного коллокационного кубического сплайна. Схема реализуется путём последовательного решения двух трёхдиагональных систем, отличающихся друг от друга лишь правой частью, что позволяет использовать метод трёхточечной прогонки. Это свидетельствует о том, что данный алгоритм является эффективным, количество операций линейно зависит от числа узлов сетки. Доказано, что построенный сплайн обладает такими же аппроксимативными свойствами, что и локально-кубический сплайн. Таким образом, в данной работе фактически рассматриваются вопросы аппроксимации решений краевых задач. Предложенная схема позволяет найти решение краевой задачи и его первую и вторую производные в узлах равномерной сетки с точностью четвёртого порядка по шагу сетки. Теоретические выводы подтверждены численными экспериментами. Благодаря хорошим аппроксимативным свойствам и простоте алгоритма реализации предложенный метод может быть применён для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые часто встречаются как в математике, физике, так и в области естественных и инженерных наук.

Регрессионный анализ ставит перед собой задачу отыскания функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами изучаемого процесса. При этом исходные данные являются реализацией случайной величины, поэтому рассматривается зависимость математического ожидания. Такую задачу можно решать путём «сглаживания» исходных данных. Под сглаживанием понимается попытка удаления шума и несущественных фрагментов при сохранении наиболее важных свойств структуры данных, то есть результат подобен математическому ожиданию. Сглаживание данных, как правило, осуществляется путём параметрической или непараметрической регрессии. В случае параметрической регрессии необходимы априорные знания о форме уравнения регрессии. Большинство исследуемых данных, однако, невозможно параметризовать. С этой точки зрения непараметрическая и полупараметрическая регрессии представляются лучшим подходом к решению задачи сглаживания. Целью исследования ставилось разработка и реализация алгоритма быстрого сглаживания двумерных данных. Для достижения этой цели были проанализированы предыдущие работы в данной области и разработан свой подход, улучшающий предыдущие. В результате, в данной работе представлен алгоритм, который быстро и с минимальным потреблением памяти очищает данные от «шума» и «несущественных» частей. Для подтверждения «эффективности» алгоритма проведены сравнения с другими общепризнанными подходами на смоделированных и реальных данных. Результаты этих сравнений также приведены в статье.

В статье рассматриваются высокоамплитудные (геометрически нелинейные) колебания пологих оболочек двоякой кривизны c прямоугольными границами, свободно опертых по всем четырем краям и подвергающихся нормальному к поверхности гармоническому воздействию в спектральной окрестности основной формы. Первая часть проведенных исследований была представлена в работе [М. Амабили и др. Нелинейные колебания пологих оболочек двоякой кривизны // Вестник КГТУ, 2015. - Т. 18, № 6. - С. 158-163] авторов. Для расчета энергии упругой деформации были использованы два различных нелинейных соотношения между деформацией и перемещением: из теории Доннелла и теории Новожилова. Учитывались также геометрические несовершенства формы оболочкии и влияние инерции в плоскости. Построены приближенные уравнения динамики в форме уравнений Лагранжа второго рода. Предполагается, что потенциальная энергия сил упругости разлагается в ряд, в котором ограничиваются членами третьего порядка. Для исследования устойчивости невозмущенного движения используется метод функций Ляпунова и метод характеристичных чисел. Полагая функцию Ляпунова квадратичной формой с постоянными коэффициентами, определяются условия, при которых решение, соответствующее невозмущенному движению системы при гармоническом воздействии, является устойчивым. Определяется оценка наибольшего характеристичного числа Ляпунова. Приводятся результаты численных экспериментов, полученных для системы с гармоническим возбуждением. Рассматривается случай сферической оболочки, исследуется эффект влияния различной кривизны, проводится бифуркационный анализ.

В работе исследовались физико-химические свойства плёнок диоксида титана, содержащих наночастицы золота, изготовленных по гель-технологии. Проведено сравнение разных технологий синтеза диоксида титана. Экспериментально показано, что разработанная гель-технология позволяет получать практически 100% фазу наноструктурированного анатаза, что было подтверждено методами микроскопии высокого разрешения и результатами рентгеноструктурного анализа. Проведены исследования топографии и морфологии полученных образцов плёнок. Изучена фотоактивность синтезированных плёнок методом ЭПР-спектроскопии. Показано увеличение фотоактивности плёнок при УФ-облучении. Проведена модификация диоксида титана наночастицами золота разной концентрации. Исследованы спектры пропускания в зависимости от соотношения компонент раствора при изготовлении гель-плёнок, а также от температуры отжига при их формировании. Показано, что спектры поглощения существенно зависят от параметров технологического режима. Исследование спектров поглощения плёнок диоксида титана с содержанием наночастиц золота показало существенные изменения спектров, а именно: возникали дополнительные пики поглощения разной интенсивности и наблюдался сдвиг края полосы пропускания. Эти изменения обусловлены, по-видимому, изменением структуры плёнок, а также агрегацией наночастиц золота. Проведённые исследования показали перспективность гель-метода для синтеза диоксида титана и его модифицирования наночастицами.