Том 26, № 1 (2018)

В работе изучаются дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда.. Теория классическихпотенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и её приложений в теории дифференциальныхуравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли, С. М. Никольского, И.М. Стейна, В.Г. Мазьи.Локальное поведение ядер Бесселя-Макдональда в окрестности начала координат характеризуется наличием особенности степенного типа ||-. На бесконечности они стремятсяк нулю с экспоненциальной скоростью. Исследованию дифференциальных свойств обобщённых потенциалов Бесселя-Рисса были посвящены недавние работы М. Л. Гольдмана,А. В. Малышевой и Д. Хароске.В данной статье изучаются дифференциальные свойства потенциалов, обобщающихклассические потенциалы Бесселя-Рисса. Ядра потенциалов могут иметь нестепенныеособенности в окрестности начала координат. Их поведение на бесконечности связанолишь с условием интегрируемости, так что в рассмотрение включены и ядра с компактнымносителем, В связи с этим порождённые ими пространства обобщённых потенциалов Бесселяотносятся к так называемым пространствам обобщённой гладкости. Рассмотрен случай когдавыполнен критерий вложения потенциалов в пространство непрерывных ограниченныхфункций. В этом случае дифференциальные свойства потенциалов выражены в терминахповедения их модулей непрерывности в равномерной метрике. Установлены критериивложения потенциалов в пространства Кальдерона и получены явные описания модулейнепрерывности потенциалов и оптимальных пространств для таких вложений в случае,когда базовое пространство для потенциалов есть весовое пространство Лоренца. Этирезультаты конкретизируют общие конструкции, установленные в предыдущих работах.

В работе рассматривается много приборная система массового обслуживания с ожиданием, требования в которой делятся в момент начала обслуживания на фрагменты так, что они одновременно занимают все свободные обслуживающие приборы. Предполагается, что обслуживающие приборы имеют различные интенсивности обслуживания. Фрагменты обслуживаются независимо друг от друга, интенсивность обслуживания фрагмента зависит от его величины. Фрагмент, завершивший своё обслуживание, освобождает обслуживающий его прибор. Требование будет считаться обслуженным только после того, как будет завершено обслуживание всех его фрагментов, сразу после чего фрагменты требования объединяются, и полученное исходное требование покидает систему обслуживания.В предположении о пуассоновском входящем потоке и экспоненциальных длительностях обслуживания фрагментов на приборах для описанной системы обслуживания с использованием матрично-геометрического метода получены точные выражения для основных стационарных характеристик. Особое внимание уделено длительности времени пребывания требований в системе обслуживания. Приводится численный пример анализа системы рассматриваемого типа, обсуждаются результаты работы и перспективы дальнейших исследований.Представленная в работе система обслуживания может применяться в качестве модели современных многопроцессорных вычислительных систем, а также других систем с параллельным и распределённым принципом функционирования.

Исследование электромагнитного поля в регулярном волноводе, заполненным однородным веществом, сводится к исследованию двух независимых краевых задач для уравнения Гельмгольца. В случае волновода, заполненного неоднородным веществом, между модами этих двух задач возникает связь, которую в численных экспериментах не всегда удаётся учесть в полной мере. В настоящей статье показано, как переписать уравнения Гельмгольцав векторной форме, чтобы выразить эту связь явно.В работе рассматривается цилиндрический волновод с идеально проводящими стенками,заполнение которого может менять в поперечном сечении произвольным образом. В основе нашего подхода лежит двумерный аналог теоремы, известной в теории упругих тел как декомпозиция Гельмгольца. На её основании будут введены четыре потенциала вместо двух,обычно используемых в теории полых волноводов. Доказано, что любое решение уравнений Максвелла в волноводе, удовлетворяющее краевым условиям идеальной проводимости на стенках волновода, можно представить при помощи этих потенциалов. Система уравнений Максвелла записана относительно этих потенциалов, и показано, что эта система переходит в пару несвязанных уравнений Гельмгольца в случае полого волновода.

Представлен метод оценки многомерной плотности, основанный на взвешенном методе ближайших соседей и имитирующий метод естественных соседей. Оценка многомерной плотности важна в машинном обучении, астрономии, биологии, физике и эконометрике.Строится 2-аддитивная нечёткая мера на основе аппроксимации индексов парных взаимодействий. Соседи, лежащие примерно в одном направлении, рассматриваются как излишние,и вклад дальнего соседа передаётся ближнему соседу. Расчёт локальной оценки плотности осуществляется с помощью дискретного интеграла Шоке таким образом, что учитывается вклад соседей, расположенных со всех сторон точки, где производятся вычисления. Однако вклад соседей, расположенных с одной и той же стороны, занижается с помощью выбора подходящей нечёткой меры. Таким образом вычисляется приближение к множеству естественных соседей Сибсона. Этот метод значительно снижает вычислительную нагрузку методов на базе естественных соседей, которые лежат на основе тесселяции Делоне, в высокой размерности, для которых вычислительная сложность растёт как экспонента раз-мерности. Описанный метод подходит для оценки плотности структурированных данных(возможно, лежащих на многообразии более низкой размерности), так как в этом случае ближайшие соседи могут значительно отличаться от естественных соседей.

Передача данных по одноранговым сетям или P2P-сетям занимает значительную долютрафика в современной сети Интернет. Наибольшей популярностью пользуется обмен файлами по P2P-сетям. Обмен файлами по P2P-сети обладает рядом преимуществ такими, как,например, хорошая масштабируемость, высокая пропускная способность, по сравнению с традиционным подходом Клиент/Сервер к передаче файлов. Данная работа посвящена изучению минимального времени распространения файла. Речь идёт о минимальном времени, которое необходимо затратить для получения целого файла всеми пользователями сети, которым необходим этот файл. Этот параметр имеет прямое отношение к уже упомянутой пропускной способности сети. Для получения выражения для минимального времени распространения файла используется так называемая жидкостная модель P2P-сети.Выражение оперирует такими понятиями, как размер файла, скорость передачи сидов,скорость передачи и скорость загрузки личеров. С использованием численных примеров для минимального времени распространения файла показана эффективность применения жидкостной модели для описания файлообмена по P2P. Рассматривается поведение си-стемы в случае, когда в сети имеются личеры двух типов, которые отличаются друг от друга скоростью передачи данных.