Адаптивный нейросетевой метод многомерного интегрирования для произвольных подобластей

Многомерное интегрирование является фундаментальной задачей вычислительной математики, имеющей многочисленные приложения в физике и инженерии. Традиционные численные методы, такие как квадратура Гаусса--Лежандра и методы Монте-Карло, сталкиваются со значительными трудностями в пространствах высокой размерности из-за «проклятия размерности»: они требуют больших вычислительных ресурсов и часто теряют точность. В данной работе предлагается адаптивный метод многомерного интегрирования, основанный на нейронной сети, для эффективного вычисления интегралов по произвольным подобластям. Подход оптимизирует состав обучающей выборки с помощью параметра балансировки $\rho $, который регулирует долю точек, сгенерированных методом, использующим модификацию алгоритма Метрополиса--Гастингса, по сравнению с равномерным выбором. Это позволяет нейронной сети эффективно определять сложное поведение подынтегральной функции, особенно в областях с резкими изменениями. Ключевым элементом данного метода является принцип «обучи один раз --- интегрируй где угодно»: одна нейронная сеть, обученная на большом домене, может впоследствии вычислять интегралы на любых произвольных подобластях без повторного обучения, что значительно снижает вычислительные затраты. Эксперименты проведены на трёх типах функций --- квадратичной, Corner Peak и синусе суммы квадратов --- в размерностях от 2 до 6. Точность интегрирования оценивалась с помощью метрики Correct Digits (CD). Результаты показывают, что наш метод обеспечивает сравнимую или более высокую точность по сравнению с традиционными методами (Гаусс--Лежандр, Монте-Карло, Халтона) для сложных функций, при этом существенно сокращая время вычислений. Оптимальные диапазоны $\rho $ составляют 0.0--0.2 для гладких функций и 0.3--0.5 для функций с резкими особенностями. В многомерных случаях (4D,6D) метод демонстрирует устойчивость при $\rho = 0.2\text {--}0.6$, превосходя стохастические методы, хотя и немного уступая латинскому гиперкубическому выбору. Предложенный метод представляет собой масштабируемую и эффективную альтернативу классическим методам интегрирования, особенно полезную в задачах высокой размерности и в приложениях, требующих многократного вычисления интегралов на различных подобластях.