Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate Professor of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence
Multidimensional integration is a fundamental problem in computational mathematics with numerous applications in physics, engineering, and data science. Traditional numerical methods such as Gauss–Legendre quadrature [1] and Monte Carlo techniques face significant challenges in high-dimensional spaces due to the curse of dimensionality, often requiring substantial computational resources and suffering from accuracy degradation. This study proposes an adaptive neural network-based method for efficient multidimensional integration over arbitrary subdomains. The approach optimizes training sample composition through a balancing parameter $\rho $, which controls the proportion of points generated via a Metropolis–Hastings inspired method versus uniform sampling. This enables the neural network to effectively capture complex integrand behaviors, particularly in regions with sharp variations. A key innovation of the method is its ``train once, integrate anywhere'' capability: a single neural network trained on a large domain can subsequently compute integrals over any arbitrary subdomain without retraining, significantly reducing computational overhead. Experiments were conducted on three function types---quadratic, Corner Peak, and sine of sum of squares---across dimensions 2D to 6D. Integration accuracy was evaluated using the Correct Digits (CD) metric. Results show that the neural network method achieves comparable or superior accuracy to traditional methods (Gauss–Legendre, Monte Carlo, Halton) for complex functions, while substantially reducing computation time. Optimal $\rho $ ranges were identified: 0.0--0.2 for smooth functions, and 0.3--0.5 for functions with sharp features. In multidimensional scenarios (4D, 6D), the method demonstrates stability at $\rho = 0.2\text {--}0.6$, outperforming stochastic methods though slightly less accurate than Latin hypercube sampling [2]. The proposed method offers a scalable, efficient alternative to classical integration techniques, particularly beneficial in high-dimensional settings and applications requiring repeated integration over varying subdomains.
Многомерное интегрирование является фундаментальной задачей вычислительной математики, имеющей многочисленные приложения в физике и инженерии. Традиционные численные методы, такие как квадратура Гаусса--Лежандра и методы Монте-Карло, сталкиваются со значительными трудностями в пространствах высокой размерности из-за «проклятия размерности»: они требуют больших вычислительных ресурсов и часто теряют точность. В данной работе предлагается адаптивный метод многомерного интегрирования, основанный на нейронной сети, для эффективного вычисления интегралов по произвольным подобластям. Подход оптимизирует состав обучающей выборки с помощью параметра балансировки $\rho $, который регулирует долю точек, сгенерированных методом, использующим модификацию алгоритма Метрополиса--Гастингса, по сравнению с равномерным выбором. Это позволяет нейронной сети эффективно определять сложное поведение подынтегральной функции, особенно в областях с резкими изменениями. Ключевым элементом данного метода является принцип «обучи один раз --- интегрируй где угодно»: одна нейронная сеть, обученная на большом домене, может впоследствии вычислять интегралы на любых произвольных подобластях без повторного обучения, что значительно снижает вычислительные затраты. Эксперименты проведены на трёх типах функций --- квадратичной, Corner Peak и синусе суммы квадратов --- в размерностях от 2 до 6. Точность интегрирования оценивалась с помощью метрики Correct Digits (CD). Результаты показывают, что наш метод обеспечивает сравнимую или более высокую точность по сравнению с традиционными методами (Гаусс--Лежандр, Монте-Карло, Халтона) для сложных функций, при этом существенно сокращая время вычислений. Оптимальные диапазоны $\rho $ составляют 0.0--0.2 для гладких функций и 0.3--0.5 для функций с резкими особенностями. В многомерных случаях (4D,6D) метод демонстрирует устойчивость при $\rho = 0.2\text {--}0.6$, превосходя стохастические методы, хотя и немного уступая латинскому гиперкубическому выбору. Предложенный метод представляет собой масштабируемую и эффективную альтернативу классическим методам интегрирования, особенно полезную в задачах высокой размерности и в приложениях, требующих многократного вычисления интегралов на различных подобластях.