Об устойчивом приближённом решении некорректно поставленной краевой задачи для уравнения Лапласа с однородными условиями второго рода на краях при неточных данных на приближённо заданной границе

В работе рассматривается некорректно поставленная задача продолжения гармонических функций с неточно заданной границы в цилиндрической области с однородными краевыми условиями второго рода на боковых гранях. Значение функции и её нормальной производной (условия Коши) - известны приближённо на приближённо заданной поверхности произвольного вида, ограничивающей цилиндр. В данном случае задача Коши для уравнения Лапласа обладает свойством неустойчивости по отношению к погрешности в данных Коши, т. е. является некорректно поставленной. На основе представлений о функции источника исходной задачи, точное решение представляется в виде суммы двух функций, одна из которых явно зависит от условий Коши, вторая может быль получена как решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в виде ряда Фурье по собственным функциям второй краевой задачи для уравнения Лапласа. Для получения приближённого устойчивого решения интегрального уравнения применён метод регуляризации Тихонова, когда решение получается как экстремаль функционала Тихонова. Для приближённо заданной поверхности рассматривается вычисление нормали к этой поверхности и её сходимость к точному значению в зависимости от погрешности, с которой задана исходная поверхность. Доказывается сходимость полученного приближённого решения к точному решению при сопоставлении параметра регуляризации с ошибками в данных как по неточно заданной границе, так и по значению исходной функции на этой границе. Проводится численный эксперимент, который демонстрирует эффективность предложенного подхода для частного случая - для плоской границы и конкретного исходного источника тепла (набора точеных источников).