Асимптотическое решение задачи Штурма-Лиувилля с периодическими граничными условиями для релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера

Описание взаимодействия релятивистских частиц в рамках квазипотенциального подхода широко применяется в современной физике. Этот подход основан на так называемой ковариантной формулировке квантовой теории поля, в которой эта теория рассматривается на пространственно-подобной трёхмерной гиперповерхности в пространстве Минковского. Особое внимание в этом подходе уделяется методам построения различных квазипотенциалов, а также использованию квазипотенциального подхода для описания характеристик связанных состояний в кварковых моделях, таких как амплитуды адронного упругого рассеяния, масс-спектры и ширины распадов мезонов, сечения глубокого неупругого рассеяния лептонов на адронах.

В настоящей работе сформулированы задачи Штурма–Лиувилля с периодическими граничными условиями на отрезке и на положительной полупрямой для усечённого релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера (уравнение Логунова–Тавхелидзе–Кадышевского, LTKT-уравнение) с малым параметром при старшей производной.

Целью работы является построение асимптотических решений (собственных функций и собственных значений) в виде регулярных и погранслойных частей решений для этой сингулярно возмущённой задачи Штурма–Лиувилля. Основная задача исследования состоит в асимптотическом анализе поведенческих решений рассматриваемой задачи в случае ε→0 и m→∞. Нами был предложен метод построения асимптотических решений (собственных функций и собственных значений), который является обобщением асимптотических методов решения сингулярно возмущённых задач, представленных в работах А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова. Основной результат данной работы — доказанные теоремы об асимптотической сходимости решений сингулярно возмущённой задачи к решениям вырожденной задач при ε→0 и сходимости решений усечённого LTKT-уравнения в случае m→∞. Кроме того, в статье нами рассматривается задача Штурма–Лиувилля на положительной полуоси для LTKT-уравнения 4-го порядка с периодическими граничными условиями для квантового гармонического осциллятора. Для этой задачи построены асимптотические приближения собственных функций и собственных значений и показана их сходимость к решению вырожденной задачи.