О сведении уравнений Максвелла в волноводах к системесвязанных уравнений Гельмгольца

Полный текст

Введение Первые задачи, описывающие распространение и дифракцию волноводных мод, были успешно решены ещё в середине прошлого века в ставших уже классическими работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1] и А. Г. Свешникова [2 - 4]. За редкими исключениями, рассмотренными ещё в работах А.Н. Тихонова и А. А. Самарского, эти задачи не решаются в символьном виде и требуют создания ресурсоёмких комплексов программ [5 - 7]. Фактически подобные комплексы создавались под конкретные задачи и не были детально описаны и переданы в общественное пользование, чему способствовала закрытость тематики в 1970-1980-х годах. Из опубликованных исследований следует упомянуть в первую очередь цикл работ, выполненных в МГУ им. М. В. Ломоносова, в том числе по проектированию волноводного перехода [8 - 11], вычислению нормальных мод волновода со сложным диэлектрическим заполнением [12, 13], решению дифракции волн на неоднородности в волноводе [14 - 18]. Теоретическая сторона этих вопросов хорошо проработана в общей векторной постановке. Для спектральной задачи установлена дискретность спектра и полнота системы нормальных волн, причём даже для волноводов с очень сложным заполнением [19 - 22]. Для задачи дифракции установлена фредгомовость [23 - 26] и с некоторыми оговорками обосновано применение неполного метода Галёркина, в том числе для волновода, сечение которого имеет входящие ребра [27 - 29]. Однако на практике при проведении численных экспериментов очень часто ограничиваются так называемым скалярным приближением. На самом деле векторный характер поля в заполненных волноводах приводит к гибридизации ТЕ- и TM-мод. Однако плохо изучено, насколько значительно этот эффект влияет на адекватность численных экспериментов натурным, а значит векторным задачам о распространении волноводных мод. Упомянутые выше теоретические результаты были сначала получены в скалярном приближении, а затем перенесены на векторный случай путём введения нестандартных функциональных норм. Перенесение этих конструкций на язык метода конечных разностей или метода конечных элементов часто представляет технически трудную задачу и приводит к весьма громоздким формулам. Проектирование современных устройств интегральной и волоконной оптики приводит к тем же задачам о распространении и дифракции волноводных волн с той существенной для численных экспериментов оговоркой, что параметры волновода, например, линейные размеры, раньше бывшие примерно равными, могут отличаться друг от друга на четыре порядка. Так, например, высота волноводной линзы Люнеберга меньше её диаметра в 10 4 раз, что неизбежно приводит к вычислительным трудностям. В настоящее время созданы комплексы программ (Ansys, Comsol Multiphysics) и даже специализированные языки программирования (FreeFem++), позволяющие решать стандартные краевые и начально краевые задачи математической физики по методу конечных разностей в самых разнообразных его модификациях и обобщениях [30]. Следует, однако, заметить, что задача дифракции в волноводе становится корректной математической задачей только после постановки парциальных условий излучения [5, 6], которые не являются локальными в отличие от классических краевых условий, реализованных в общедоступных комплексах программ по умолчанию. Поэтому в настоящий момент представляется весьма актуальной разработка современного комплекса программ, в котором было бы реализовано вычисление нормальных мод волновода с произвольным заполнением и решение задачи дифракции именно в полной электромагнитной постановке и с парциальными условиями излучения. Общедоступность такого комплекса не может быть достигнута, если в нём не будет реализована наглядная и в то же время весьма общая схема решения. На наш взгляд, ключевой момент в векторной задаче таится в отсутствии ответа на очень старый вопрос. Хорошо известно, что в некоторых криволинейных координатах, в том числе цилиндрических, можно свести уравнения Максвелла к паре уравнений Гельмгольца. Потенциалы вводились и именовались по разному, например, назывались функциями Боргниса или -координатой векторов Герца [6, 31]. Поэтому волны в полом регулярном волноводе описываются двумя независимыми уравнениями Гельмгольца, что и даёт деление нормальных мод на ТЕ- и ТМ-моды. Однако в волноводе со вставками такая декомпозиция оказывается невозможной хотя бы потому, что там возникают гибридные моды. На интуитивном уровне понятно, что в этом случае поле должно описываться парой уравнений Гельмгольца, «зацепляющихся» некоторым перекрёстным членом, величина которого характеризует явление гибридизации, а значит ошибку в применении скалярного приближения. Вопрос же состоит в том, как явно выписать эту пару уравнений Гельмгольца. Первые работы по математической теории волновода всегда имели в виду обобщение метода Фурье, поэтому вопрос о сведении системы уравнений Максвелла к двум скалярным уравнениям оказался в тени теоремы о полноте системы нормальных мод. В этой статье мы покажем, как выписать эту пару связанных уравнений Гельмгольца, если перейти к гамильтоновой или, выражаясь точнее, векторной форме этих уравнений. В основе нашего подхода [32] лежит двумерный аналог теоремы, известной в теории упругих тел как декомпозиция Гельмгольца [33]. 1. Исключение продольных компонент из системы уравнений Максвелла Рассмотрим волновод постоянного сечения с идеально проводящими стенками, относительно заполнения , которого не будет делать пока никаких предположений. Ось направим по оси цилиндра, нормаль к поверхности волновода будем обозначать как ⃗ , касательный вектор, перпендикулярный к ⃗ как ⃗ . В этой системе координат векторное поле ⃗ можно записать как ⃗ = ⃗ ⊥ + ⃗ . При решении задач в волноводах в полной векторной постановке можно выбирать в качестве основных различные наборы координат векторов ⃗ и ⃗ . Обзор возможностей на примере спектральной задачи дан в [12]. Возьмём сейчас за основу систему уравнений Максвелла, из которой исключим и . Чтобы выписать эту систему, положим Как известно, Поэтому уравнения Максвелла можно записать так Исключая отсюда продольные компоненты векторов имеем На границе выполняются условия идеальной проводимости 2. Декомпозиция Гельмгольца Теорема 1. Пусть - односвязная область на плоскости. Если вектор удовлетворяет граничному условию и имеет первые непрерывные производные в , то найдутся такие функции что при этом - решение задачи Указанное представление единственно с точностью до аддитивных констант. Доказательство. Задачи (3) и (4) имеют решение в [34], которое во внутренних точках области является дважды непрерывно дифференцируемыми в силу леммы Вейля [35]. Вектор удовлетворяет в обобщённом смысле двум условиям Отсюда следует, что где гармоническая функция. На границе то есть принимает на границе постоянное значение. В силу принципа максимума это означает, что =const, Теорема 2. Пусть - односвязная область на плоскости. Если вектор удовлетворяет граничному условию и имеет первые непрерывные производные в , то найдутся такие функции что при этом - решение задачи При этом потенциалы определены с точностью до аддитивных констант. Доказательство. Задачи (6) и (5) имеют решение в которое во внутренних точках области является дважды непрерывно дифференцируемыми в силу леммы Вейля [35]. Вектор удовлетворяет в обобщённом смысле двум условиям: 3. Уравнения Максвелла, записанные относительно потенциалов Теоремы 1, 2 позволяют в случае волноводов с односвязным сечением, не ограничивая общности рассмотрения, искать решение системы (1) в виде Если сечение является многосвязным, то искать решение в таком виде можно, сознавая, что так теряются некоторые «электростатические» решения. Введённые здесь на основании теоремы 1 четыре скалярные функции будем называть потенциалами и всегда предполагать, что они удовлетворяют граничным условиям на границе волновода. При этом автоматически выполняются два из трёх граничных условий (2) Что же касается третьего условия , то его можно записать как или В простых случаях на физическом уровне строгости третье условие выводят из первых двух, и поэтому про него можно было бы забыть. На самом деле, при обобщённой формулировке задачи это условие появляется вполне естественным образом. Подставляя выражения (7) в уравнения Максвелла (1) , получим Эта система представляет собой уравнения Максвелла, записанные относительно 4-х потенциалов. Если и зависят от , , то эта система не распадается на две: отдельно для -потенциалов, отдельно для -потенциалов, в чем, собственно говоря, и состоит упомянутое выше явление гибридизации мод. Частный случай, когда и не зависят от и , интересен тем, что он позволяет разглядеть в этой системе пару уравнений Гельмгольца. 4. Частный случай, когда система распадается на два скалярных уравнения Гельмгольца Пусть и не зависят от и . Не делая пока никаких предположений об их зависимости от , можем переписать систему (10) следующим образом Всякое решение этой системы, удовлетворяющее граничным условиям в силу теорем 1 и 2 удовлетворяет системе из четырёх уравнений, которая распадается на две системы: В том случае, когда и не зависят и от , уравнения (12) переходят в уравнение Гельмгольца. Переход от системы уравнений первого порядка к эквивалентному им уравнению второго порядка хорошо известен в классической механике как переход от уравнений Гамильтона к уравнениям Ньютона. Следуя этой аналогии, будем называть системы (11) гамильтоновыми формами уравнения Гельмгольца (12) . Однако этот термин подразумевает проведение дополнительного исследования симплектической структуры, связанной с этими уравнениями. Поэтому мы будем говорить осторожнее, что зацепление между уравнениями Гельмгольца мы выразили, переписав сами уравнения Гельмгольца в векторной форме. Заключение Введение четырёх потенциалов вместо двух позволило свести систему уравнений Максвелла в волноводе к системе (10) , которую можно трактовать как систему двух связанных уравнений Гельмгольца, записанных в векторной форме. По всей видимости, эта форма будет очень удобна для численно-аналитического анализа по неполному методу Галёркина, однако сказанное требует дальнейшего исследования.

Об авторах

М Д Малых

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: malykhmd@yandex.ru
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

А Л Севастьянов

Российский университет дружбы народов

Email: sevastianov_al@rudn.university
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Л А Севастьянов

Российский университет дружбы народов

Email: sevastianov_la@rudn.university
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

А А Тютюнник

Российский университет дружбы народов

Email: tyutyunnik_aa@rudn.university
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Список литературы