Космологические модели с вращением типа VIII по Бьянкис источниками-жидкостями

Полный текст

1. Введение Обращение к анизотропной космологии обусловлено наблюдательными фактами [1-3]. В нынешнюю эпоху Вселенная расширяется с ускорением, причиной которого является, скорее всего, тёмная энергия. В работах [4-6] авторами были получены результаты для метрики рассматриваемого типа, но с другими материальными источниками, а в работах [7, 8] - в других метриках. В данной работе в рамках общей теории относительности построена космологическая модель с расширением и вращением с метрикой типа VIII по Бьянки вида, (1) где - элементы лоренцевой матрицы, ортонормированные 1-формы, выражающиеся через масштабный фактор следующим образом: при этом . Базисные 1-формы имеют следующий вид: Источниками гравитации являются анизотропная жидкость, чистое излучение, а также идеальная изотропная жидкость. Для метрики (1) ищется космологическое решение уравнений Эйнштейна (3) 2. Космологическая модель с анизотропной жидкостью и чистым излучением Возьмём параметры метрики в самом общем виде = {, , }, при этом тензор энергии-импульса анизотропной жидкости в тетрадном представлении имеет вид (4) где векторы анизотропии и 4-скорость сопутствующей анизотропной жидкости. Тензор энергии-импульса чистого излучения ( > 0), (5) причём тетрадные компоненты волнового вектора излучения , т. е. . Результирующий тензор энергии-импульса даётся формулой (6) В итоге из (3) для метрики (1) получим систему уравнений (12) Последнее уравнение из системы (7)-(12) открывает два возможных космологических сценария: статический, если масштабный фактор не зависит от времени, и динамический, когда = . 2.1. Статическое решение с излучением Если т. е. = const, то из системы уравнений (9)-(12) следует, что материальные параметры равны следующим значениям: (17) Данное решение можно использовать для исследования космологических эффектов, обусловленных только вращением Вселенной. 2.2. Нестатическое решение Если = , то из системы уравнений (9)-(12) следует, что а также . (20) Для нас представляют интерес модели с вращением и ускорением, поэтому рассмотрим нашу жидкость в качестве вакуумоподобной среды вдоль одной оси. В случае такого уравнения состояния = - получается следующее уравнение: ˙ Оно имеет следующие возможные решения: , если , если = 0. Постоянная интегрирования характеризует темп раздувания. При > 0 получается следующий вид эволюции параметров материи: Чтобы плотность энергии была положительной, требуется выполнение условия Легко убедиться, что при т. е. на больших временах анизотропная жидкость энергетически доминирует, а её давление асимптотически изотропизируется. В случае 6 0 имеет место такое же асимптотическое поведение материи. Также рамках использования уравнения состояния 0 имеет место особое решение тогда эволюция материальных параметров даётся следующими соотношениями: (29) В случае уравнения состояния из (18)-(20) получается следующее уравнение: (30) Его общее решение выбором константы интегрирования приводится к виду , т. е. является несингулярным независимо от коэффициентов метрики. Его асимптотическое поведение аналогично случаю, охватываемому уравнениями (26)-(29), т. е. и в этом случае положительность плотности энергии обеспечивается условием , а давления и стремятся к общему пределу. Определим, является ли модель с метрикой, определяемой условиями (1)-(2), причинной, методом, предложенным в работе [9]. Для этого предположим существование замкнутых времениподобных кривых, тогда на каждой из которых найдётся точка, удовлетворяющая условию d/d = 0, тогда как > 0 в силу времениподобности. Чтобы удовлетворить этим двум условиям, квадратичная форма из компонент касательного вектора, с матрицей коэффициентов из пространственных компонент метрического тензора, должна быть положительно определена. Матрица формы имеет вид: Вид этой матрицы, в силу условия 2 - 2 > 0 при выполнении неравенства таков, что с помощью критерия Сильвестра легко убедиться в неположительной определённости соответствующей квадратичной формы. Таким образом, мы пришли к противоречию с гипотезой о существовании замкнутых времениподобных линий, следовательно, рассмотренные в работе динамические модели являются причинными. 3. Космологическая модель с изотропной и анизотропной жидкостями В данном случае источниками гравитации являются анизотропная жидкость, которая описывает вращающуюся тёмную энергию, и идеальная жидкость с уравнением состояния пыли, описывающая барионную материю. Коэффициенты метрики (1) взяты в виде . Тензор энергии-импульса анизотропной жидкости в тетрадном представлении имеет вид , (31) где , - давления анизотропной жидкости в трёх направлениях, определяемых тетрадой, - плотность энергии идеальной жидкости, - вектор анизотропии, 0 - 4-скорость сопутствующей анизотропной жидкости. Тензор энергии-импульса идеальной пылевидной жидкости имеет вид: (32) где, соответственно, и - 4-скорость и плотность идеальной изотропной жидкости. В итоге тензор энергии-импульса имеет вид Из (3) для метрики (1) получим систему уравнений Эйнштейна: 3.1. Нестатические решения В данном случае число неизвестных превышает число уравнений. Избавляемся от этой проблемы наложением следующих условий: (38) Из системы уравнений (34)-(37) при условиях (38) следует следующее уравнение для определения масштабного фактора:. (39) Если то найдутся такие и , что решение уравнения (39) даётся соотношением (40) где . (41) Эволюция параметров материи даётся условием (39) и следующими уравнениями: (43) (44) (45) Рассмотрим ситуацию, когда вместо условия (38) выполняется 0. В этом случае вместо (34)-(37) следует, что (46) (47) Решение уравнения (47) даётся интегралом постоянная. Рассмотрим, как меняется решение уравнения (47) в зависимости от знаков и . Отметим, что и не могут быть одновременно отрицательными. Если то, где анизотропная жидкость в рассматриваемом случае вакуумоподобна и асимптотически изотропизируется. Если же Асимптотическое поведение плотностей и давлений останется таким же, как и в предыдущем случае, стоит лишь отметить, что именно эта модель позволяет корректно моделировать предельный переход в силу соотношения (47). Если В данном случае для параметров материи также выполняются соотношения, аналогичные (51)-(53) при замене гиперболических функций экспонентой. т. е. эта космологическая модель является осциллирующей. Качественное рассмотрение первой стадии инфляции при расширении Вселенной от планковского масштаба до современного размера наблюдаемой Вселенной 10 28 см, как и в работе [10], даёт в настоящее время угловую скорость вращения, равную по порядку 10 -11 рад/год, что совпадает с оценками [11, 12]. Параметры тёмной энергии - расширение , ускорение и параметр вращения - даются следующими формулами: . (60) Помимо ситуаций, рассмотренных выше, возможен ещё и случай особого решения при условии , с точностью до значения 0 описывающийся формулой (40). Эволюция плотностей и давлений такой модели имеет вид, аналогичный (42)-(45). 3.2. Статическое решение Наконец, отметим особое решение уравнения (46), соответствующее ситуации = 0, а именно = const. Для данного статического решения имеют место следующие значения плотностей и давлений, обладающие физическим смыслом при всех (64) Во всех случаях данная статическая модель является причинной, если при условии 4. Заключение В рассмотренных космологических моделях с двумя типами источников найдены стационарные и нестационарные решения. Обнаружены условия, при которых модели причинны, а также становятся асимптотически изотропными. Модели предсказывают согласующийся с экспериментами порядок угловой скорости вращения Вселенной в современную эпоху.

Об авторах

Д М Янишевский

Пермский государственный национальный исследовательский университет (ПГНИУ)

Автор, ответственный за переписку.
Email: ydm86@yandex.ru

Янишевский Даниил Михайлович - соискатель кафедры высшей математики ПГНИУ

ул. Букирева, д. 15, г. Пермь, Россия, 614990

Список литературы