Динамическая нелинейная модель распространения и изменения лингвистической информации в индоевропейском модельном языковом сообществе

Полный текст

1. Введение В настоящей работе рассмотрена динамическая системная модель, описываю- щая распространение и изменение «лингвистической информации» в некоторых сообществах [1, 2]. В рамках этой модели было проведено численное исследование распространения лингвистической информации в некотором модельном индоевропей- ском (ИЕ) языковом сообществе, в том числе на начальном этапе его формирования. Обычно для информации используют следующее определение. Информация - это (от лат. informare - сообщать, изображать, составлять понятие о чём-либо; informatio - разъяснение, изложение) сведения, содержащиеся в конкретном высказывании и представляющие собой объект передачи, хранения, переработки, воспроизведения. В более узком смысле под лингвистической информацией могут пониматься, например, семантика (определяет соотношение между словами и их значениями) и грамматика (правила, выражающие общие синтаксические свойства слов и групп слов, позволя- ющие производить и/или описывать правильные предложения языка) некоторого языка; в принципе это может быть и количество групп языков, или просто число языков в некоторой языковой семье. Бифуркация (от латинского bifurcus - раздвоенный) - появление нового каче- ства в поведении динамической системы при малом изменении её параметров [3, 4]. Если при перестройке объекта он не изменяется во времени, то вместо термина «би- фуркация» можно использовать термин «катастрофа». При бифуркации происходит Статья поступила в редакцию 20 августа 2016 г. перестройка характера движения исследуемой системы, например, физической, хи- мической, биологической или социальной. Нередко требуется только ограниченный объём информации, причём качественного характера, которая и представляет основ- ной интерес при изучении конкретных объектов и описывающих их систем уравнений. Бифуркации происходят в точках бифуркации (критические точки); при этих значе- ниях параметров системы она меняет своё поведение, - происходит качественное изменение свойств системы. Если состояние системы можно описать некоторой по- тенциальной функцией, то в бифуркационном множестве происходит переход из одного локального минимума (устойчивое состояние системы) в другой или фазовый переход. При построении математических моделей распространения и изменения лингви- стической информации в языковых сообществах в качестве априорной информации использовали данные независимых исследований, как из лингвистики, так и из других научных областей, например, из истории, генетики и археологии [5-20]. В статье даны некоторые результаты предварительного теоретического анализа и компьютерного моделирования. Установлено, что данная математическая модель процесса распространения и изменения лингвистической информации демонстрирует как регулярное, так и типично хаотическое поведение. 2. Динамическая нелинейная модель распространения и изменения лингвистической информации в сообществе (древовидная модель) Динамическая модель распространения и изменения «лингвистической информа- ции» в сообществе может быть описана нелинейным уравнением [1, 2]: +1 = [1( - ) + 2( - )2], (1) где - величина анализируемой лингвистической информации, = 1, 2, . . . ( = 1 соответствует первому «измерению», т. е. 1 - начальное значение данной инфор- мации, например, в некоторый начальный момент времени 1); 1 - коэффициент, характеризующий распространение лингвистической информации при контактах «незнающих» со «знающими» данную информацию ; 2 - коэффициент, характе- ризующий воздействие только на «незнающих»; - максимальное значение данной лингвистической информации; - параметр задачи (в соответствии с теорией ка- тастроф он может быть назван управляющим параметром). Нелинейное уравнение (1) позволяет исследовать процесс изменения распространяющейся лингвистиче- ской информации, как в зависимости от времени, так и от параметров входящих в данное уравнение. Данное уравнение и его варианты могут использоваться в частно- сти при исследовании процесса обучения, например, детей взрослыми в некотором лингвистическом сообществе. Преобразуем уравнение (1) к следующему виду: = 1(1 - ) + 2(1 - )2, (2) где сделана замена переменных: = +1/ , = / ; и 1 = 1, 2 = 2 - новые управляющие параметры системы; 0 :( :( 1. ∈ ∈ ≈ ≈ ≈ ≈ Типичный график зависимости функции () приведён на рис. 1. Видно, что максимум функции max 0,83 наблюдается при = max 0,44. При увеличении параметра 1 (0, 4) в системе наблюдаются следующие закономерности. При 1 < 1 → → → → () 0 (итерации сходятся к * 0,3 - устойчивая неподвижная точка, см. рис. 2). Рис. 1. График зависимости функции = 1(1 - ) + 2(1 - )2; 1 = 3 и 2 = 0,3 - - - - Рис. 2. График зависимости функции +1 = 1(1 ) + 2(1 )2 от при 1 = 0,21, 2 = 0,56 и = 0. Наблюдается цикл 1 → → → → При дальнейшем росте управляющего параметра 1 происходит бифуркация: точка * 0,3 теряет устойчивость, а вновь появившаяся точка становится устой- чивой (итерированные значения const, т. е. динамический режим является стационарным или имеет период, равный единице - наблюдается цикл 1). Дальнейшее увеличение параметра 1 снова приводит к изменению системы: происходит бифуркация удвоения периода (неподвижная точка расщепляется и осциллирует между двумя значениями, образующими устойчивый аттрактор с пери- одом 2). В этом случае отображение (2) имеет устойчивый цикл с периодом 2: 2 (см. рис. 3). При дальнейшем увеличении параметра 1 возникают циклы вида 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. . . , и т. д. (где = 0, 1, 2, 3, 4, . . . ). В результате можно наблюдать ветвящийся процесс: исходная ветвь разделяется на две, новые две снова делятся на две и т. д. Поэтому, применительно к процессу распространения лингви- стической информации эту модель можно ещё назвать моделью «дерева» по аналогии с родословным деревом (в англоязычной литературе подобные модели называют “tree-model”). При таком подходе в качестве одной из количественных характери- стик рассматриваемого процесса распространения «лингвистической информации» можно рассматривать число возникающих циклов 2 в качестве числа возникших новых языков (или диалектов) в данном языковом сообществе; так циклы 1, 2, 4, 8, 16, 32 дают соответственно: 1, 2, 4, 8, 16 и 32 языка. Тогда вполне есте- ственно можно выбрать некоторый «внутренний» («встроенный») масштаб времени в данном процессе, а именно - воспользуемся известными в лингвистике данными: каждый цикл в динамике лингвистического сообщества соответствует на времен- ной шкале величине 500 лет - время расхождения двух родственных языков (см, например, [10]). Таким образом, данная нелинейная модель, где есть ветвящиеся (древовидные) циклы типа 2 , позволяет нам использовать в качестве временного масштаба априорную лингвистическую информацию о времени расхождения языков. Например, между циклами 2 и 4 расстояние по времени составляет 500 лет, при этом каждый из двух языков предшественников в исходном цикле 2 разошёлся за 500 лет на 2 новых, родственных исходным, языка (две новые лингвистические по- пуляции), и в итоге их стало 4; и т. д. Отметим, что на начальных этапах развития языкового сообщества это, возможно, могут быть и языковые семьи или языковые ареалы типа «сатем-кентум». - - - - Рис. 3. График зависимости функции +1 = 1(1 ) + 2(1 )2 от при 1 = 3, 2 = 0,3 и = 1. Наблюдается цикл 2 (︀ )︀ (︀ )︀ Устойчивый цикл 4 показан на рис. 4. Можно также построить функцию = () , которая пересекается с прямой = в точках, принадлежащих циклу 4 (они и определяют данный цикл). Дальнейший рост управляющего параметра → ∞ → ∞ 1 позволяет наблюдать переход системы в хаотический режим (см. рис. 5): непери- одический, случайный процесс возникает как предел всё более сложных структур (циклов вида 2 ). Таким образом, хаос возникает как предел сверхсложной ор- ганизации. Наконец, при некотором значении управляющего параметра 1 отображение (2) даёт уже непериодическую последовательность () типа цикла +1, показанного на рис. 5. Между порядком и хаосом наблюдается глубокая внутренняя связь. Подобные за- кономерности существуют в любых системах, где наблюдаются последовательности бифуркаций удвоения периода [1-5]. Анализ зависимостей, аналогичных полученным выше, при широком варьировании параметров позволяет установить области измене- ния параметров системы и соотношение между ними, при которых происходит как переход от стационарного к периодическому, а затем хаотическому поведению си- стемы, так и последующий возможный переход - от хаотического к стационарному или периодическому поведению. - - - - Рис. 4. График зависимости функции +1 = 1(1 ) + 2(1 )2 от при 1 = 3,2, 2 = 0,4 и = 2. Наблюдается цикл 4 Рис. 5. График зависимости функции +1 = 1(1 - ) + 2(1 - )2 от при 1 = 3,2, 2 = 0,6 и 1 ≪ < +∞. В системе наблюдается хаос Используем полученные выше данные при численном исследовании распростране- ния и изменения лингвистической информации в некотором модельном индоевропей- ском (ИЕ) языковом сообществе, в том числе на начальном этапе его формирования. При этом будем полагать, что время начала разделения (т. е. по сути «исчезновения») гипотетического праиндоевропейского (ПИЕ) языка (в англоязычной литературе ис- пользуется термин Proto-Indo-European language - PIE) произошло приблизительно не позднее 6500 (Курганная гипотеза) или не позднее 9500 (Анатолийская гипотеза) лет назад [5, 14]. 3. Результаты численных расчётов и их анализ. Выводы Ниже на рис. 6, 7 приведены наиболее характерные из полученных нами резуль- татов моделирования в рамках данной нелинейной модели. Видно, что на начальных этапах развития лингвистической системы в ней преобладает хаотическое состоя- ние. При дальнейшем развитии лингвистического сообщества внутри областей хаоса появляются окна периодического движения: узкие - на графиках слева и достаточ- но протяжённые - на графиках справа. Виден переход от хаотического «движения» динамической системы к периодическому (проявление определённых самооргани- зующих свойств данной системы). Мы связываем предположительно именно этот переход с началом формирования собственно индоевропейских языков (когда Ана- толийская ветвь уже отделилась), т. е. известных нам сейчас современных языков этой языковой семьи. Начальный же период, мы считаем, соответствует периоду совместного развития предков данных языков до их окончательного разделения (в пространстве и во времени). Как следует из графиков, приведённых слева, диапазон хаотического «движения» наблюдается от 0-го до 5-6-го «поколения» (итерации по ), т. е. примерно от 6500 до 2500-3000 лет назад. У графиков, приведённых справа, диапазон хаотического «движения» также наблюдается от 0-го до 5-6-го поколения, но в данном случае он составляет примерно отрезок от 9500 до 6500-7000 лет назад. 1. (b) - - - - Рис. 6. График зависимости функции +1 = 1(1 ) + 2(1 )2 от : 1. - при параметрах: 1 = 3,2 и 2 = 0,62, начальное значение 0 = 10-4; 2. - при параметрах: 1 = 3,2 и 2 = 0,59, начальное значение 0 = 10-4 1. (b) - - - - Рис. 7. График зависимости функции +1 = 1(1 ) + 2(1 )2 от : 3. - при параметрах: 1 = 3,2 и 2 = 0,62, начальное значение 0 = 1; 4. - при параметрах: 1 = 3,2 и 2 = 0,59, начальное значение 0 = 1 Анализ приведённых на рис. 6, 7 зависимостей и сравнение полученных из них временных оценок с данными независимых исследований [5] позволяет сделать вывод, что графики слева больше соответствует Курганной гипотезе, а графики справа - Анатолийской. Здесь следует сделать одно важное замечание: количественное и качественное изменения рассматриваемой модели произошли при незначительном количественном изменении одного параметра, а именно: 2 изменилось с 0,62 до 0,59, т. е. всего в 1,05 раза, или примерно на 5%. Как следует из рассмотрения данной математической модели, всего 5% могут стать решающими в истории развития исследуемого лингвистического сообщества. Теперь приведём данные, следующие из другой оценки временных рамок возник- новения и развития языков и их семей. Известно, что сейчас существует, по разным данным, примерно от 6000 до 8000 языков [9, 11], из которых собственно индоевро- пейских сейчас примерно 300-500 языков. По данным [11], живых индоевропейских языков сейчас примерно 445. В [12] справедливо отмечено о числе живых языков: «В последней версии международного лингвистического каталога “Этнолог” [11] при- водится цифра в 7106 единиц, но абсолютной точности здесь быть не может, потому что не существует единого строгого критерия, который позволял бы определить, где кончаются диалекты, то есть региональные варианты, одного языка и начинаются, собственно говоря, разные языки». · · ≈ ≈ ≈ ≈ Приведённые данные по числу языков позволяют получить следующие времен- ные оценки, в основе которых лежит сделанное выше предположение: использование данной нелинейной модели, где есть циклы вида 2 , позволяет нам получить не только «встроенный» внутренний временной масштаб с шагом в 500 лет, но и опре- делить временную «длину» данной лингвистической временной «линейки», вдоль которой развивается динамика исследуемой лингвистической системы. Действитель- но, для циклов вида 2 , где = 0, 1, 2, 3, 4 . . . , имеем следующий ряд значений для числа языков , соответствующего данному ряду последовательных их удвоений, начиная с одного возможного ИЕ праязыка, первоосновы всех современных ИЕ язы- ков: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 и т. д. Исходя из этого несложно получить следующую простую формулу для оценки возможного числа языков в таком динамическом процессе: = 2. Откуда получаем формулу для численной оценки количества соответствующих данному числу языков циклов : = log2 . Например, для 6000 всех языков получаем: = log2 6000 12,55, т. е. примерно 13 поколений (как и для 8000 языков: = log2 8000 12,97), что соответствует при- мерно времени 13 500 лет = 6500 лет. Только для индоевропейских языков имеем: ≈ ≈ = log2 500 8,97, т. е. примерно 9 поколений или 4500 лет. Учёт вероятных исчез- нувших языков и всевозможных диалектов увеличит эти оценки, особенно в случае всех языков, что вполне естественно. С этой точки зрения можно рассматривать дан- ные оценки как оценки времён, когда различные языки окончательно разошлись. Для уточнения модели можно использовать следующий факт: мы предполагали вы- ше, что в начальный период (от 0-го до 5-6-го поколения) был возможен некоторый период совместного развития предков данных ИЕ языков до их окончательного раз- деления (в пространстве и во времени), как внутри своей индоевропейской семьи, так и, возможно, с другими языковыми семьями. Вполне вероятно, что в этот пери- од завершилось окончательное разделение ИЕ-семьи языков с Уральской языковой семьёй, в частности с финно-угорскими языками. Как видно из графиков, полученные результаты компьютерного моделирования хорошо соответствуют по времени двум основным гипотезам о формировании прото- индоевропейцев: Анатолийской и Курганной [5, 14]. Напомним кратко об этих двух гипотезах. Анатолийская гипотеза локализует индоевропейскую прародину в за- падной Анатолии (современная Турция). Данные, полученные Греем и Аткинсоном методами байесовского анализа, по их мнению, указывают на возраст праиндоевро- пейского языка в интервале от 8000 до 9500 лет и на анатолийское происхождение языка (см., например, [13]). Курганная гипотеза была предложена Марией Гимбутас в 1956 г., чтобы соединить данные археологических и лингвистических исследований для определения местонахождения прародины народов носителей праиндоевропей- ского языка. Гипотеза является наиболее популярной в отношении происхождения ПИЕ. По ней протоиндоевропейские народы существовали в причерноморских сте- пях и юго-восточной Европе примерно с V по III тысячелетие до н.э. (а возможно и ранее) [5, 6, 13, 14, 18]. Важнейшим этапом в развитии курганной культуры было одомашнивание лошади и использование повозок, что сделало носителей культуры мобильными и существенно расширило их влияние [6, 14]. Этот факт был положен нами в основу при построении наших теоретических моделей. В частности, при ком- пьютерном моделировании соотношение коэффициентов 1 и 2 выбиралось исходя из соотношения средних скоростей движения (в км/час) всадников 1 и пешеходов ∝ ≈ ∝ ≈ 2 в индоевропейских сообществах: 1 : 2 1 : 2 15 : 3. В курганной гипотезе полагается, что причерноморские степи были прародиной протоиндоевропейцев и по всему этому региону говорили на поздних диалектах праиндоевропейского языка. Итак, из сравнения полученных нами данных с известными данными о возмож- ном возрасте праиндоевропейского языка (в Анатолийской и Курганной гипотезах) следует, что они хорошо соответствуют друг другу. При этом сравнение полученных нами данных по обеим гипотезам с данными независимых исследователей (см., на- пример, [5]) позволяет сделать однозначный вывод о предпочтительности Курганной гипотезы. Действительно, как видно из рис. 6, 7 (слева), в случае реализации сце- нария развития языков по Курганной гипотезе период существования 1-2 языков составляет примерно 1000-1500 лет (с примерно 4500 до 3500 лет назад), что вполне соответствует, например, данным [5]. Если считать, что полученные нами данные соответствуют формированию групп ИЕ языков (например, Славянская, Италий- ская, Кельтская, Германская, Индо-Арийская и др., то сходство наших результатов с результатами [5] будет более широким. В случае же Анатолийской гипотезы (см. рис. 6, 7 (справа)) период существования 1-2 ИЕ языков (или групп ИЕ языков) составляет примерно 4000-4500 лет (с примерно 7500 до 2000 лет назад), что не со- ответствует результатам большинства последних исследований (см, например, [5]). Таким образом, как видно из проведённого анализа полученных данных, более пред- почтительной в данной модели является Курганная гипотеза, поскольку именно она полнее и точнее соответствует данным независимых исследований. Приведём ещё результаты анализа некоторых данных, полученных по данной дре- воподобной модели. Например, как видно на графиках слева на рис. 6 и 7, величина «лингвистической информации» в первой (ветвящейся) модели после перехода от хао- тического «движения» динамической системы к периодическому (предположительно это время формирования собственно индоевропейских языков - этап их оконча- тельного расхождения или дивергенции (divergence); начальный хаотический период соответствует некоторому периоду совместного развития, определённой конверген- ции (convergence) предков данных ИЕ языков до их окончательного разделения) достигает первый раз максимума на 13-14-м поколениях. В этой области возникают циклы, где может превышать значения 16, 32, 64. Подчеркнём, что в дальнейшем планируется уточнение сделанных при исследова- нии предположений, а также выбранных параметров, в том числе с учётом новых лингвистических и генетических данных. ± ± Теперь посмотрим, возможно ли что-то сказать о гипотетическом ПИЕ алфавите, а именно - о числе возможных «символов/знаков» (или «букв») алфавита праиндо- европейцев на основании полученных нами данных. Для этого используем данные численных расчётов возможного количества информации примерно на 5-7-й ите- рациях по у графиков, приведённых слева, после хаотического «движения», т. е. примерно 4000 500 лет назад. Для оценки используем хорошо известную в теории информации формулу для полной информации Σ, содержащейся в некотором сообщении [21]: Σ = log2 ℑ, (3) ℑ ℑ где - общее число символов в сообщении (непрерывный сигнал заменён дискретной последовательностью отсчётов); - число различных символов алфавита. Для одного из полученных в численных расчётах по первой модели значения Σ = 523 бита (двоичные единицы), при некотором фиксированном заданном начальном ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ значении информации в сообществе, получаем ряд значений для = 2Σ / при вариации параметра1 : = 80, 80 = 93 символа; = 100, 100 = 38 символов; ℑ ℑ ÷ ℑ ℑ ÷ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ ℑ = 120, 120 = 21 символов; = 150, 150 = 11 символов; = 200, 200 = 6 символов. Скорее всего, разумная оценка должна быть ближе к диапазону: = 11 ℑ ℑ 38 символов. На следующей итерации значения Σ возрастают, и соответственно возрастают значения . Для сравнения приведём известные в научной литературе данные по числу знаков в алфавитах некоторых языков. Финикийское письмо - является одной из первых алфавитных письменностей в мире. Появилась около 3500 лет назад. Финикийская письменность дала начало нескольким ветвям алфавитных письменностей, и на сегодняшний день практически все алфавитные письменности мира имеют корни именно в финикийском письме. Отличительные особенности: использовался консонантный принцип, то есть для записи слов использовались только согласные звуки, а значение гласных оставлялось на понимание читателя; текст записывался справа налево. Число знаков в алфавите: 22. Греческий алфавит. Время создания алфавита: около VIII века до н.э. Чис- ло знаков в алфавите: 24 буквы. В доклассическую эпоху в некоторых диалектах греческого применялись ещё 6 букв. Отличительные особенности: тип письма - консонантно-вокалическое; направление письма - слева направо. Происхождение: из Финикийского алфавита. Греческий алфавит развился в следующие виды письмен- ности: готское письмо, глаголица, кириллица, коптское письмо, армянское письмо, этрусский алфавит, латинский алфавит. Глаголица - одна из первых славянских азбук. Языки: старославянский, цер- ковнославянский, ранние славянские языки. Тип письма: консонантно-вокалическое письмо. Время создания алфавита: примерно IX век н.э. Направление письма: слева направо. Число знаков в алфавите: 41. Происхождение: греческий (финикийский). Кириллица - кириллический (или кирилловский) алфавит; один из двух (на- ряду с глаголицей) древних алфавитов для старославянского языка. Тип письма: консонантно-вокалическое письмо. Языки: старославянский, церковнославянский, русский, сербский, болгарский, македонский, украинский, молдавский и многие другие. Время создания алфавита: примерно IX век; в современном виде с конца XVI века. Состав первоначальной кириллической азбуки неизвестен; «классическая» старославянская кириллица из 43 букв. Санскрит (деванагари: samskrta¯ v¯ac, «литературный язык») - древний литера- турный язык Индии со сложной синтетической грамматикой. Само слово «санскрит» означает «обработанный, совершенный». Возраст ранних памятников доходит до 3500 лет. Классификация: индоевропейская семья, индоиранская ветвь, индоарийская группа. Единой системы письменности для санскрита не существует. Это объясняется тем, что литературные произведения передавались в основном устно. С примерно XIX века используется письменность деванагари и др. Классический санскрит насчитыва- ет около 36 фонем2. Если учитывать аллофоны3 (а система письма их учитывает), то 1Для простоты под этим числом может пониматься некоторое число условных «символов», соответствующих числу знаков в некотором списке, например, в 100-словном списке Сводеша. «Символами» в доисторическую эпоху могли быть, например, как фонемы, так и целые предложения. 2Фонема (от др.-греч. ´ - «звук») - минимальная смыслоразличительная единица в языке. Фонема не имеет самостоятельного лексического или грамматического значения, она служит для различения и отождествления значимых единиц языка, таких как морфемы и слова. Морфема - наименьшая единица языка, имеющая некоторый смысл. 3Аллофон (от греч. ´ - другой, и ´ - звук) - реализация фонемы, её вариант, обусловленный конкретным фонетическим окружением. В отличие от фонемы, аллофон является не абстрактным понятием, а конкретным речевым звуком. ℑ ℑ общее количество звуков в языке увеличивается до 48. С учётом данных по древне- му санскриту (примерно 3700 лет назад) из книги [22] можно оценить минимальное возможное число «знаков» в алфавите пра-санскрита величиной: = 9. ℑ ÷ ℑ ÷ Как видно из приведённых данных для этих языков, они в основном удовлетво- ряют заданному диапазону: = 11 38 символов. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что предложенная нами ма- тематическая нелинейная модель распространения и изменения лингвистической информации в модельном ИЕ сообществе достаточно адекватно описывает иссле- дуемое явление. Вместе с тем проведённое исследование показало, что необходима дальнейшая тонкая настройка модели, в том числе с учётом априорной лингвистиче- ской и другой информации об исследуемых языковых сообществах. Итак, в настоящей работе приведены результаты компьютерного моделирования, которые показывают, в частности, хорошее соответствие двум основным гипотезам о формировании пра-индоевропейцев: Анатолийской и Курганной. При этом сово- купность данных, полученных при исследовании, говорит о предпочтительности Курганной гипотезы. Данный вывод хорошо согласуется с выводами большинства исследователей во всём мире: лингвистов, генетиков, историков и археологов. 4. Заключение В данной работе изложены теоретические принципы нового метода исследования лингвистических сообществ (и процессов распространения в них лингвистической информации) как динамических диссипативных систем. Этот подход может стать особенно перспективным в первую очередь для качественного анализа поведения подобных лингвистических систем. Результаты компьютерного моделирования пока- зывают, что Курганная гипотеза формирования праиндоевропейцев лучше соответ- ствует полученным временным оценкам. References 1. A. A. Egorov, Some Patterns of Dissemination of Information in Society, in: In Proc. of Conference “Communication Networks and Network technologies”, June, 24-26, 1997, Moscow, 1997, pp. 46-49, in Russian. 2. A. A. Egorov, M. A. Egorova, About Models of Dissemination of Linguistic Information in the Language Community, in: In Proc. of XXI-th All-Russian Conference “Theoretical Foundations and Designing of Numerical Algorithms of Solution of Mathematical Physics Problems”, September 5-11, 2016, Novorossiysk, Russia, IAM of RAS, Moscow, 2016, pp. 82-83, in Russian. 3. Computers and Nonlinear Phenomena: Information Technology and Modern Science, Science, Moscow, 1988, in Russian. 4. R. Gilmore, Catastrophe Theory for Scientists and Engineers, Wiley, New York, 1981. 5. W. Chang, C. Cathcart, D. Hall, A. Garrett, Ancestry-Constrained Phylogenetic Analysis Supports the Indo-European Steppe Hypothesis, Language 91 (1) (2015) 194-244. 6. W. A. David, The Horse, the Wheel, and Language: How Bronze-Age Riders from the Eurasian Steppes Shaped the Modern World, Princeton University Press, Princeton, 2007. 7. A. Kornai, Mathematical Linguistics, Springer, London, 2008. 8. S. A. Burlak, S. A. Starostin, Comparative and Historical Linguistics, Publishing center “Academy”, Moscow, 2005, in Russian. 9. Atlas of the World’s Languages. The Origin and Development of Languages Worldwide, Leake press, Moscow, 1998. 10. S. E. Yahontov, Assessment of the Degree of Closeness of Related Languages, Moscow, 1980, Ch. Theoretical Bases of Classification of World Languages, pp. 148-157, in Russian. 11. Ethnologue: Languages of the World. URL www.ethnologue.com 12. G. S. Starostin, et al., To the Source of Linguistic Diversity, Publishing House “Delo” RANHiGS, Moscow, 2015, in Russian. 13. D. G. Russell, D. A. Quentin, Language-Tree Divergence Times Support the Anatolian Theory of Indo-European Origin, Nature 426 (2003) 435-439. 14. A. Pereltsvaig, M. W. Lewis, The Indo-European Controversy: Facts and Fallacies in Historical Linguistics, Cambridge University Press, Cambridge, 2015. 15. A. P. Mikhailov, A. P. Petrov, N. A. Marevtseva, I. V. Tretyakova, Development of a Model of Information Dissemination in Society, Mathmod. 26 (3) (2014) 65-74, in Russian. 16. W. Labov, Transmission and Diffusion, Language 83 (2007) 344-387. 17. P. Heggarty, W. Maguire, A. McMahon, Splits or Waves? Trees or Webs? How Divergence Measures and Network Analysis Can Unravel Language Histories, Phil. Trans. R. Soc. B. 365 (2010) 3829-3843. 18. W. Haak, I. Lazaridis, N. Patterson, et al., Massive Migration from the Steppe is a Source for Indo-European Languages in Europe, Nature 522 (2015) 207-211. 19. I. Lazaridis, N. Patterson, A. Mittnik, et al., Ancient Human Genomes Suggest Three Ancestral Populations for Present-Day Europeans, Nature 513 (2014) 409-428. 20. Arkaim - Sintashta: the Ancient Heritage of the Southern Urals. Coll. of Scientific Works, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 2010, in Russian. 21. I. S. Gonorovsky, Radio Circuits and Signals. Part 1, Radio, Moscow, 1966, in Russian. 22. W. Borsboom, Alphabet or Abracadabra? Reverse Engineering the Western Alphabet, FriesenPress, Victoria, BC, Canada, 2015. © Егоров А. А., Егорова М. А., 2016

Об авторах

Александр Алексеевич Егоров

Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН

Email: alexandr_egorov@mail.ru
Москва, Россия

Майя Александровна Егорова

Российский университет дружбы народов

Email: egorova_ma@pfur.ru
Москва, Россия

Список литературы