Продольный изгиб однородной консоли с симметричным сечением в режиме пластических деформаций: численное моделирование посредством Maple 18

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Представлен способ численного моделирования посредством Maple 2018 продольного изгиба однородной консоли с симметричным сечением в режиме пластических деформаций. Получено обыкновенное дифференциальное уравнение для поперечной координаты, учитывающее высшие моменты инерции сечения. В качестве аргумента в нём служил уникальный для каждого места безразмерный наклон консоли \(p=tg
\theta\), взаимно однозначно связанный со всеми перемещениями. Диаграммы сжатия реальных материалов (сталь, титан, тефлон, алюминий-тефлон) моделировались в Maple при помощи нелинейной регрессии на экспериментальных и литературных данных с использованием полинома 3-го порядка, обеспечивающего условный предел текучести (\(t\),\(\sigma_f\)). Параметры консоли (длина \(l_0\), площадь сечения \(S\) и минимальный момент инерции \(J_x\)) подбирались так, чтобы изгибающая сила обеспечивала напряжение вблизи предела текучести \(\sigma_f\). Для нахождения ключевой зависимости углового наклона свободного конца \(p_f\) от закритической нагрузки \(F>F_{\text{cr}}\), что необходимо для определения формы прогиба, использовалось равенство проинтегрированной восстановленной элементарной длины её свободному значению \(l_0\). Зависимости \(p_f(F)\) и \(y(z)\), \(z\) — продольная координата, рассчитывались в рамках следующих трёх подходов: пластический характер деформаций согласно полиномиальной (\(n=3\)) диаграмме, приближение касательного модуля \(E_{\text{tang}}\) и приближение идеальной выполнимости закона Гука. Обнаружено, что в реальном случае пластических деформаций критическая нагрузка \(F_{\text{cr}}\) почти вдвое меньше, чем в идеальном случае. При этом наблюдается почти идентичность формы изгиба консоли в рамках этих трёх подходов при одинаковом конечном наклоне \(p_f\), особенно для металлов.

Полный текст

1. Introduction The problem of stability loss in a beam under longitudinal load (buckling) in the range of inelastic strains is actual and important from many points of view such as sports (pole vaulting), civil engineering (bridges, truss constructions), aeronautics, robotics and elsewhere the requirements of a small weight and large strength are imposed on structural elements been designed [1]. Fatigue of materials, lowering the proportionality and elasticity limit due to the Bauschinger effect in periodically tensile and compressed elements, hysteresis etc. - all that results in falling of initially secure loads time into the zone of serious risk of buckling. Therefore, beginning from the pioneering work of F.R. Shanley [2] considered so called tangent and reduced moduli approaches [ibid], Euler’s problem in inelastic range attracts more and more researchers - from engineers dealing with material strength to pure mechanicians and mathematicians dealing with bifurcations, nonlinear phenomena etc. Of course, modern models of buckling are 2or even 3-dimensional and they take into account not only bending shift component but a shear one too. To take all this into account the finite-element modeling (FEM) is widely used and it is implemented in the commercial software package ABAQUS (see e.g. [3-5]) and similar software. Many features and peculiarities both in thick so called Timoshenko beams [6] and in sandwich/fiber-composite/lattice/C-columns (see [7-9]) etc. are explained well in these multidimensional models. The problem is studied in university courses of material sciences within a plane cross-sections hypothesis which leads to simple one-dimensional (1D) Euler ordinary differential equation (ODE) of the II-nd order. However, the attention is paid mainly to moment of arising of the phenomenon itself and its possible shapes for various ways of a beam fixation. Unfortunately, the linearized Euler ODE coupled with boundary condition (BC) on the beam ends looks like a classical eigenvalue problem with unstable higher modes corresponding to higher eigenvalues too. This ODE is similar to the Schröedinger equation for 1D particle in a potential well with infinitely high walls. This similarity misleads the students to the wrong conclusion that the non-zero solution of the ODE exists only for a set of “resonant” axial loads
×

Об авторах

В. В. Чистяков

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: v.chistyakov@mail.ioffe.ru
ORCID iD: 0000-0003-4574-0857
Scopus Author ID: 44461256400
ResearcherId: F-9868-2016

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Senior Researcher of Laboratory of Physics of Rare Earth Semiconductors

Политехническая ул., д. 26, Санкт-Петербург, 194021, Россия

С. М. Соловьёв

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН

Email: serge.soloviev@mail.ioffe.ru
ORCID iD: 0000-0002-9019-7382
Scopus Author ID: 7101661580
ResearcherId: D-5128-2015

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Leading Researcher (Head of Laboratory) of Laboratory of Physics of Rare Earth Semiconductors

Политехническая ул., д. 26, Санкт-Петербург, 194021, Россия

Список литературы

  1. T. H. G. Megson, “Columns,” in Aircraft Structures for Engineering Students, 6th. Elsevier Ltd., 2022, pp. 253-324.
  2. F. R. Shanley, “Inealstic Column Theory,” Journal of Aeronautical Sciences, vol. 14, no. 5, pp. 261-280, 1947.
  3. A. Afroz and T. Fukui, “Numerical Analysis II: Branch Switching,” in Bifurcation and Buckling Structures, 1st. CRC Press, 2021, p. 12.
  4. N. Shuang, J. R. Kim, and F. F. Rasmussen, “Local-Global Interaction Buckling of Stainless Steel I-Beams. II: Numerical Study and Design,” Journal of Structural Engineering, vol. 141, no. 8, p. 04 014 195, 2014. doi: 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0001131.
  5. F. Shenggang, D. Daoyang, Z. Ting, et al., “Experimental Study on Stainless Steel C-columns with Local-Global Interaction Buckling,” Journal of Constructional Steel Research, vol. 198, no. 2, p. 107 516, 2022. doi: 10.1016/j.jcsr.2022.107516.
  6. S. P. Timoshenko and J. M. Gere, Theory of Elastic Stability. NewYork, USA: McGraw-Hill, 1961.
  7. K. L. Nielsen and J. W. Hutchinson, “Plastic Buckling of Columns at the Micron Scale,” International Journal of Solids and Structures, vol. 257, no. 5, p. 111 558, 2022. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2022.111558.
  8. A. Bedford and K. M. Liechti, “Buckling of Columns,” in Mechanics of Materials, Springer, Cham., 2020. doi: 10.1007/978-3-030-220822_10.
  9. Z. P. Bazant, “Shear buckling of sandwich, fiber-composite and lattice columns, bearings and helical springs: paradox resolved,” ASME Journal of Applied Mechanics, vol. 70, pp. 75-83, 2003. doi: 10.1115/1.1509486.
  10. C. Chuang, G. Zihan, and T. Enling, “Determination of Elastic Modulus, Stress Relaxation Time and Thermal Softening Index in ZWT Constitutive Model for Reinforced Al/PTFE,” Polymers, vol. 15, p. 702, 2023. doi: 10.3390/polym15030702.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Чистяков В.В., Соловьёв С.М., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.