Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Senior Researcher of Laboratory of Physics of Rare Earth Semiconductors
Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Leading Researcher (Head of Laboratory) of Laboratory of Physics of Rare Earth Semiconductors
The method of numerical integration of Euler problem of buckling of a homogeneous console with symmetrical cross section in regime of plastic deformation using Maple 18 is presented. The ordinary differential equation for a transversal coordinate \(y\) was deduced which takes into consideration higher geometrical momenta of cross section area. As an argument in the equation a dimensionless console slope \(p=tg \theta\) is used which is linked in mutually unique manner with all other linear displacements. Real strain-stress diagram of metals (steel, titan) and PTFE polymers were modelled via the Maple nonlinear regression with cubic polynomial to provide a conditional yield point (\(t\),\(\sigma_f\)). The console parameters (free length \(l_0\), \(m\), cross section area \(S\) and minimal gyration moment \(J_x\)) were chosen so that a critical buckling forces \(F_\text{cr}\) corresponded to the stresses \(\sigma\) close to the yield strength \(\sigma_f\). To find the key dependence of the final slope \(p_f\) vs load \(F\) needed for the shape determination the equality for restored console length was applied. The dependences \(p_f(F)\) and shapes \(y(z)\), \(z\) being a longitudinal coordinate, were determined within these three approaches: plastic regime with cubic strain-stress diagram, tangent modulus \(E_\text{tang}\) approximations and Hook’s law. It was found that critical buckling load \(F_\text{cr}\) in plastic range nearly two times less of that for an ideal Hook’s law. A quasi-identity of calculated console shapes was found for the same final slope \(p_f\) within the three approaches especially for the metals.
Представлен способ численного моделирования посредством Maple 2018 продольного изгиба однородной консоли с симметричным сечением в режиме пластических деформаций. Получено обыкновенное дифференциальное уравнение для поперечной координаты, учитывающее высшие моменты инерции сечения. В качестве аргумента в нём служил уникальный для каждого места безразмерный наклон консоли \(p=tg \theta\), взаимно однозначно связанный со всеми перемещениями. Диаграммы сжатия реальных материалов (сталь, титан, тефлон, алюминий-тефлон) моделировались в Maple при помощи нелинейной регрессии на экспериментальных и литературных данных с использованием полинома 3-го порядка, обеспечивающего условный предел текучести (\(t\),\(\sigma_f\)). Параметры консоли (длина \(l_0\), площадь сечения \(S\) и минимальный момент инерции \(J_x\)) подбирались так, чтобы изгибающая сила обеспечивала напряжение вблизи предела текучести \(\sigma_f\). Для нахождения ключевой зависимости углового наклона свободного конца \(p_f\) от закритической нагрузки \(F>F_{\text{cr}}\), что необходимо для определения формы прогиба, использовалось равенство проинтегрированной восстановленной элементарной длины её свободному значению \(l_0\). Зависимости \(p_f(F)\) и \(y(z)\), \(z\) — продольная координата, рассчитывались в рамках следующих трёх подходов: пластический характер деформаций согласно полиномиальной (\(n=3\)) диаграмме, приближение касательного модуля \(E_{\text{tang}}\) и приближение идеальной выполнимости закона Гука. Обнаружено, что в реальном случае пластических деформаций критическая нагрузка \(F_{\text{cr}}\) почти вдвое меньше, чем в идеальном случае. При этом наблюдается почти идентичность формы изгиба консоли в рамках этих трёх подходов при одинаковом конечном наклоне \(p_f\), особенно для металлов.