Исследование прогиба брусьев различной ширины методом Тагучи

Полный текст

Введение Брусья из алюминиевого материала нашли широкое применение в различных областях науки, техники и производства. В процессе эксплуатации эти брусья сгибаются и теряют устойчивость под воздействием разного рода нагрузок. В то же время является актуальным анализ прогиба, образующегося в брусьях. Детально изучены вопросы устойчивости в брусьях. Разработана методика теоретического расчета прогиба для различных ситуаций. Но проведенные эксперименты показывают, что между теоретическими и полученными фактическими данными есть веские различия. В связи с этим анализ экспериментально полученных значений прогиба в брусьях также является актуальным. Как известно, имеются случаи, когда плоскость воздействия сил на брус проходит через его ось. В результате действия подобных сил в сечениях, перпендикулярных оси, появляются внутренние силовые факторы. В этом случае брусья подвергаются деформации прогиба. Получены дифференциальные зависимости между прогибающим моментом, силой среза и распределенной нагрузкой для случая прогиба прямоосных брусьев. Также выведены формулы для расчета прогиба и угла поворота при различных нагружениях в зависимости от размеров бруса, модуля упругости и приложенной нагрузки1. Получены модельные уравнения брусьев при различных условиях и положениях нагружения. Одновременно проведен анализ величин прогиба брусьев в различных сечениях. Исследовано влияние на прогиб таких параметров, как момент инерции, модуль упругости, нагрузка, сжимающая сила (сила сжатия). Даны результаты влияния сил сжатия на систему. С помощью специальных симуляционных программ смоделировано соответствие закономерности изменению прогиба. Результаты программной симуляции (моделирования) сравнивались со значениями, полученными в результате эксперимента. При этом линейные размеры поперечного сечения бруса принимались постоянными [1; 2]. Проведен экспериментальный и теоретический анализ прогиба брусьев различного размера под действием статической нагрузки в пределах упругости (эластичности). В некоторых точках образца было получено описание профилей прогибов и измерены значения их величин. По методу Тагучи разработан экспериментальный анализ прогиба брусьев, подвергнутых деформации продольного прогиба. Здесь, в лабораторных условиях, был осуществлен эксперимент по продольному прогибу стальных брусьев и проанализированы полученные результаты. При планировании эксперимента и математико-статистическом анализе полученных результатов использовались метод Тагучи и программа «Minitab». В зависимости от приложенной вдоль оси нагрузки и крепления концов брусьев (соотношения длин бруса) определен поперечный прогиб и изучена закономерность его изменения. Установлено, что для шарнирного соединения концов брусьев прогиб при осевом нагружении получается меньше. Также установлено, что прогиб более интенсивен при больших значениях нагрузок. При этом было принято, что нагрузка действует на три точки бруса, а поперечное сечение бруса - неизменно [3-7]. В представленной работе впервые изучено изменение прогиба в зависимости от ширины бруса, приложенной нагрузки и варианта установки бруса. Результаты эксперимента обработаны методом Тагучи. 1. Методы В соответствии с требованиями, указанными в нормативно-технической документации экспериментально-испытательного стенда, было отобрано три образца бруса различной ширины. Информация по образцам представлена далее: длина: L = 510 мм; толщина: 5 мм; ширина: 10 мм; 15 мм; 20 мм; модуль упругости: 70 ГПа. Эксперимент проводится при двух разных вариантах установки (позиционирования) с применением трех разных нагрузок. Прилагаемые нагрузки: 500, 1000 и 1500 г соответственно. Два различных варианта установки были приняты следующим образом: Ø брус не закреплен с обеих сторон (свободно позиционирован с двух сторон). Этот вариант установки условно принимаем за А (рис. 1, а); Ø брус закреплен с одной стороны и свободен с другой (свободно позиционирован с одной стороны). Этот вариант установки был принят как B (рис. 1, б). а б Рис. 1. Схемы установки бруса: а - брус не закреплен с обеих сторон; б - брус закреплен с одной стороны и свободен с другой. И с т о ч н и к : составлено автором Figure 1. Rod installation diagrams: а - the beam is not fixed on both sides; б - the beam is fixed on one side and free on the other S o u r c e : made by the author Эксперименты проводились на стенде W100 для испытаний на прогиб. Структурная схема такой экспериментальной компоновки стенда выглядит следующим образом (рис. 2). В случае с вариантом для положения А образец 9 размещают на цилиндрических элементах подвижных опор 2 и прикладывают нагрузку 4 к центральной точке. А в случае с вариантом для положения В образец с одной из сторон жестко соединяется с опорой с помощью крепежного элемента и прижимной пластины 6. Значение прогиба фиксируется при помощи измерительного прибора 8. Эксперимент был построен по плану Тагучи L18 (32×21). То есть количество оперируемых (контролируемых) факторов равно 2, количество экспериментов равно 27, а количество повторений равно 3. Оперируемые (контролируемые) факторы и их уровни приведены в табл. 1. Рис. 2. Схема стенда для испытаний на прогиб: 1 - корпус; 2 - подвижные опоры; 3 - крепежный элемент для опоры; 4 - груз; 5 - магнитный держатель; 6 - крепежный элемент и прижимная пластина; 7 - элемент силовой передачи; 8 - измерительный прибор; 9 - тестовый образец Figure 2. Diagram of the deflection test bench: 1 - Housing; 2 - Movable supports; 3 - Fastening element for support; 4 - Load; 5 - Magnetic holder; 6 - Fastening element and pressure plate; 7 - Power transmission element; 8 - Measuring device; 9 - Test sample Таблица 1 / Table 1 Оперируемые (контролируемые) факторы и их уровни / Operated (controlled) factors and their levels Оперируемые факторы / Operated factors Обозначение / Designation Единица измерения / Unit of measurement Уровень 1 / Level 1 Уровень 2 / Level 2 Уровень 3 / Level 3 Нагрузка / Load P q 500 1000 1500 Ширина бруса / Beam width B mm 10 15 20 Вариант установки / Installation option A; B A B - 2. Результаты эксперимента В табл. 2 приведены полученные экспериментальным путем средние значения прогиба в зависимости от ширины бруса, величины приложенной нагрузки и варианта установки (позиционирования). Также в графической форме на рис. 3, а, б, показано влияние вариантов установки (позиционирования), влияние нагрузки и ширины бруса на прогиб. Для варианта установки (позиционирования) А, когда приложенная нагрузка составляет 500 г, прогиб уменьшается на 0,5 мм, когда ширина бруса увеличивается с 10 до 15 мм, и уменьшается на 0,29 мм, когда ширина бруса увеличивается с 15 до 20 мм. Эти, указанные выше, значения составляют соответственно 1,19 и 0,52 мм, если приложенная нагрузка 1000 г, а при нагрузке в 1500 г составляют соответственно 1,81 и 0,78 мм. Для варианта установки (позиционирования) B, когда приложенная нагрузка составляет 500 г, прогиб уменьшается на 0,18 мм, когда ширина бруса увеличивается с 10 до 15 мм и уменьшается на 0,14 мм при увеличении ширины бруса с 15 до 20 мм. Эти значения составляют 0,48 и 0,24 мм соответственно для приложенной нагрузки в 1000 г и 0,78 и 0,4 мм соответственно для приложенной нагрузки в 1500 г. Как видно из результатов, величина прогиба уменьшается при сохранении постоянной нагрузки и увеличении ширины бруса, а также при увеличении нагрузки и сохранении постоянным ширины бруса. Сравнительный анализ значений показывает, что величина прогиба в положении B уменьшается на 50÷55 % по сравнению с положением А (рис. 3, а, б). P mm b mm а б Рис. 3. Поверхностный график для прогиба: а - вариант установки (позиционирования) А; б - вариант установки (позиционирования) B И с т о ч н и к : составлено автором Figure 3. Surface plot for deflection: a - installation option A (positioning); б - installation option B (positioning) S o u r c e : made by the author Оперируемые (контролируемые) факторы / Operated (controlled) factors Выходной актор / Output factor Результаты анализа методом Тагучи / The results of the Taguchi method analysis Вариант установки / Installation option Нагрузка P, г / Load P, g Ширина b, мм / Width b,mm Прогиб ݂, mm / Deflection f, mm Соотношение S/N для прогиба, dB / S/N ratio for deflection, dB A 500 10 1,670 -4,4543 A 500 15 1,106 -0,8751 A 500 20 0,816 1,7662 A 1000 10 3,416 -10,6704 A 1000 15 2,223 -6,9388 A 1000 20 1,703 -4,6243 A 1500 10 5,193 -14,3084 A 1500 15 3,383 -10,5860 3. Анализ результатов эксперимента 3.1. Анализ соотношения сигнал/шум (S/N) Необходимо рассчитать соотношения сигнал/шум (S/N) по целевой функции, соответствующей экспериментальным данным. Выделяют три основные целевые функции [10]: 1. Самый большой (наибольший) - лучший: 2. Самый меньший (наименьший) - лучший: 3. Номинальный - лучший: В рассматриваемой работе, чтобы брус был качественным, прогиб должен быть наименьшим. Поэтому при анализе результатов была выбрана целевая функция «Наименьший - лучший». В табл. 2 показаны экспериментально полученные значения прогиба и соотношения сигнал/шум, полученные методом Taguchi L18 (32×21). На основе таблицы ответов по Тагучи для оптимальных значений прогиба определяется уровень оперируемых (контролируемых) факторов, таких как варианты установки (позиционирования), приложенная нагрузка и ширина бруса. Были получены параметры, обеспечивающие оптимальный уровень прогиба по соотношениям сигнал/шум, составляющие 0,0090 для вариантов установки (позиционирования), -0,52444 для ширины бруса и 2,12549 для приложенной нагрузки (табл. 3). Здесь рассматривалась целевая функция «Наименьший - лучший». Оптимальными значениями контролируемых параметров прогиба были уровень 2 (В) для вариантов установки (позиционирования), уровень 1 для приложенной нагрузки (500 г) и уровень 3 для ширины бруса (20 мм) (рис. 4). Таблица 2 / Table 2 Результаты эксперимента по соотношению S/N / Results of the experiment on the S/N ratio Окончание табл. 2 / Ending of the Table 2 Оперируемые (контролируемые) факторы / Operated (controlled) factors Выходной актор / Output factor Результаты анализа методом Тагучи / The results of the Taguchi method analysis Вариант установки / Installation option Нагрузка P, г / LoadP, g Ширина b, мм / Width b,mm Прогиб , mm / Deflection f, mm Соотношение S/N для прогиба, dB / S/N ratio for deflection, dB A 1500 20 2,600 -8,2995 B 500 10 0,720 2,8534 B 500 15 0,536 5,4167 B 500 20 0,396 8,0461 B 1000 10 1,550 -3,8066 B 1000 15 1,070 -0,5877 B 1000 20 0,823 1,6920 B 1500 10 2,403 -7,6151 B 1500 15 1,620 -4,1903 B 1500 20 1,220 -1,7272 Таблица 3 / Table 3 Таблица ответов для S/N и прогиба / Response table for S/N and deflection Уровень / Level Вариант установки (позиционирования) / Installation (positioning) option Нагрузка, г / Load, g Ширина бруса, мм / Beam width, mm 1 -6,55451 2,12549 -6,33357 2 0,00903 -4,15596 -2,96020 3 - -7,78774 -0,52444 Delta 6,56354 9,91323 5,80913 Rank 2 1 3 График основных эффектов для соотношений S/N: значения данных / Main effects plot for S/N ratios: data means Рис. 4. График взаимозависимости прогиба с вариантом установки (позиционирования), нагрузкой и шириной бруса И с т о ч н и к : составлено автором Figure 4. Graph of the relationship between deflection and installation (positioning) option, load and rod width S o u r c e : made by the author 3.2. Вариационный анализ (ANOVA) Вариационный анализ (ANOVA) выполняется для определения отдельных влияний оперируемых (контролируемых) факторов [8-13]. В табл. 4 даны результаты вариационного анализа, показывающие влияние приложенной нагрузки, ширины бруса и вариантов установки (позиционирования) на прогиб при уровне надежности - 88 %. В этой работе, по результатам вариационного анализа, наиболее воздействующим параметром является фактор нагрузки, приложенный к брусу. Соотношение (коэффициент) воздействия составляет 40,12 %. Соотношение (коэффициент) воздействия вариантов установки (позиционирования) на прогиб составляет 29,68 %, а соотношение (коэффициент) воздействия ширины бруса - 18,30 %. Кроме того, был построен график нормальной веросравнению с уравнением регрессионной модели. ятности. График нормальной вероятности хаТочки, сгруппированные вокруг линии, указырактеризует отклонение отдельных значений по вают на меньшее отклонение (рис. 5) Рис. 5. График нормальной вероятности. И с т о ч н и к : составлено автором Figure 5. The graph of normal probability. S o u r c e : made by the author Таблица 4 / Table 4 Результаты вариации для прогиба / Results of variation for deflection Источник / Source Степень свободы / Degree of freedom Последовательная сумма квадратов / Ssequential sum of squares Скорректированная сумма квадратов / Adjusted sum of squares Скорректированные средние квадраты / Adjusted mean squares P значение, регресс, % / P values, regression, % Степень воздействия/ Degree of exposure, % Вариант установки / Installation option 1 7,699 7,699 7,6989 0,000 29,68 Нагрузка / Load 2 10,407 10,407 5,2035 0,000 40,12 Ширина / Width 2 4,749 4,749 2,3743 0,004 18,30 Погрешность остатка / Margin of error 12 3,088 3,088 0,2573 - 11,90 Всего / Total 17 25,942 - - - 100,00 3.3. Регрессионный анализ Регрессионный анализ используется для моделирования и анализа различных переменных, которые имеют связь между одной зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными. Для этого был проведен регрессионный анализ с использованием программы minitab для математического моделирования взаимодействия оперируемых (контролируемых) факторов и прогиба. В результате были получены следующие уравнения регрессии: Положение А: f 2,443 0,001862 Положение B: 0,1232 , (1) f 1,135 0,001862 0,1232 . (2) Как видно из уравнения, величина прогиба увеличивается с постоянным увеличением массы груза. Она уменьшается с увеличением ширины бруса. На основе этой модели можно рассчитать оптимальную величину прогиба в пределах заданных значений нагрузки и ширины. Заключение Основные результаты, полученные в ходе исследования. 1. По результатам экспериментов построены трехмерные поверхностные графики, характеризующие изменение прогиба в зависимости от уровней оперируемых (контролируемых) факторов. Определено, что значение прогиба при варианте установки (позиционирования) В примерно на 50% меньше, чем при варианте установки (позиционирования) А. 2. По соотношениям S/N оптимальными значениями контролируемых параметров прогиба были уровень 2 (В) для вариантов установки, уровень 1 для приложенной нагрузки (500 г) и уровень 3 для ширины бруса (20 мм). 3. С помощью вариационного анализа определены факторы, оказывающие наибольшее влияние на прогиб. Согласно результатам ANOVA, наиболее воздействующим параметром является фактор нагрузки, приложенный к брусу. Соотношение (коэффициент) воздействия составляет 40,12 %. Получено соотношение (коэффициент) воздействия вариантов установки (позиционирования) на прогиб - 29,68 % и соотношение (коэффициент) воздействия ширины бруса - 18,30 %. 4. С помощью программы «Minitab» проведен регрессионный анализ результатов эксперимента, получена математическая модель зависимости прогиба от приложенной нагрузки и ширины бруса по условиям установки (позиционирования).

Об авторах

Натиг Самандар Рзаев

Бакинский инженерный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: nrzayev@beu.edu.az
ORCID iD: 0000-0002-1159-9296

доктор философии в области механики, доцент кафедры инженерной механики

Баку, Республика Азербайджан

Список литературы