ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙЧАТЫХ ГЕЛИКОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК

Полный текст

История вопроса расчета линейчатых геликоидальных оболочек В работах [1-4] была рассмотрена геликоидальная оболочка из ортотропного композитного материала под действием нормальной распределенной нагрузки. Аналогичная задача рассматривается в статье [5], но не по теории тонких оболочек Кирхгофа, а с учетом поперечных сдвигов. Согласно результатам экспериментальных исследований, именно разрушения от поперечного сдвига часто ограничивают несущую способность армированных конструкций. Поперечные сдвиги учитываются согласно обобщенным кинематическим гипотезам Тимошенко, краевые условия на лицевых поверхностях оболочки удовлетворяются. Установлено, что учет поперечного сдвига влияет на НДС конструкции значительно более, чем учет обжатия. Расчет показал, что учет поперечного сдвига 1 Патент России № 2101560, МКИ6 F 03 D 5/00, 3/06. Шнековый ветроротор / Смульский И.И., Мельников В.П., Кавун И.Н., опубл. 10.01.98, Бюл. № 1. необходим при расчете НДС оболочек, изготовленных из материала, армированного высокомодульными волокнами [4]. Расчет оболочек из железобетона может проводиться без учета поперечного сдвига в рамках классической теории Кирхгофа-Лява. В публикации [5] даются формулы, согласно которым можно определить все внутренние силовые факторы в любом сечении плитчатой лестницы при условии жесткого защемления на одной опоре и шарнирного опирания на второй. Расчетом лопаток с начальной закруткой занимались исследователи И.И. Биргер и Б.Ф. Шорр [6; 7]. И.И. Биргер разработал приближенное решение задачи о пространственном НДС лопаток турбомашины. В работах [8; 9] изучалось влияние начальной закрутки на НДС лопаток большей по сравнению с толщиной криволинейного профиля ширины. Теория естественно закрученных стержней с учетом гипотезы ортогональных сечений была применена к расчету начально закрученных лопаток в работе [10]. Б.Ф. Шорр учитывал также нормальные напряжения при кручении стержня согласно модели С.П. Тимошенко. В работе [11] рассмотрены методы расчета винтовых оболочек в форме торсов-геликоидов. В работе [12] С.Н. Кривошапко применил асимптотический метод малого параметра для аналитического расчета тонких упругих торсов-геликоидов. Мэнсфилд Е. [13] исследовал конечные неоднородные деформации спиральной полосы. Упругопластическая работа тонкой оболочки в форме геликоида общего вида из изотропного материала с учетом физической и геометрической нелинейности изучалась в работе Б.М. Меерсона [14]. Бесконечно длинные оболочки в форме геликоидов общего вида произвольного профиля изучались Дж. Г. Симмондсом [8; 9]. В поставленной задаче оболочка находится под действием осевой силы, крутящего момента и распределенного внутреннего давления. Выводятся уравнения физических, геометрических соотношений и уравнений равновесия и неразрывности деформаций с учетом геометрической нелинейности. Приведен числовой пример расчета прямого геликоида на растяжение и кручение трубы произвольного профиля на чистый изгиб. Единственным апробированным аналитическим методом расчета оболочек в форме развертывающегося геликоида является асимптотический метод малого параметра. В работе [10] та же задача для пологого случая без учета коэффициента Пуассона была решена А.А. Сальманом. С.Н. Кривошапко [12] занимался вопросом модификации метода малого параметра для торсов-геликоидов, анализируя возможности решений в рядах. Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работе М.И. Рынковской [15]. Мэнсфилд Е. изучал поведение упругой оболочки в форме цилиндрической винтовой полосы под действием сосредоточенной нагрузки и крутящего момента [13]. Выявлена практически важная зависимость между нагрузкой и деформациями. Аналитические методы расчета дорожных сооружений используются в основном как ориентировочные и предварительные, так как содержат в себе значительные упрощения. Эти методы включают в себя метод внецентренного сжатия, метод балочного ростверка и метод плитно-балочных конструкций. Анализ плитного пролетного строения может производиться с применением разных расчетных моделей в зависимости от вида плиты, например, методами теории упругости или при помощи метода коэффициента поперечной установки. Устойчивость оболочек в форме прямого геликоида Довольно интересной является проблема устойчивости оболочек сложной геометрии. В настоящей статье рассматривается устойчивость оболочек в форме прямых геликоидов. Анализ устойчивости выполнялся на основе компьютерных моделей четырех оболочек одинаковой высоты h = 18 м с равными длинами образующих l = 10 м, но с различным числом свободных витков (рис. 1). а б в г Рис. 1. Конечно-элементные модели оболочек: а - геликоид с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 1. Finite element models of shells: a - a helicoid with one free turn; б - the same with two; в - at the same with three; г - the same with four] Для построения срединной поверхности каждой оболочки использовались параметрические уравнения в прямоугольных координатах, которые представляются следующим образом: для геликоида с четырьмя свободными витками - x = (10t - 5)cos(5πs); y = (10t - 5)sin(5πs); z = 0,1(πs); геликоида с тремя свободными витками - x = (10t - 5)cos(4πs); y = (10t - 5)sin(4πs); z = 0,1(πs); геликоида с двумя свободными витками - x = (10t - 5)cos(3πs); y = (10t - 5)sin(3πs); z = 0,1(πs); геликоида с одним свободными витком - x = (10t - 5)cos(2πs); y = (10t - 5)sin(2πs); z = 0,1(πs), где t и s - переменные, значения которых изменяются от 0 до 1. Рис. 2. Локальная система координат узлов [Fig. 2. Local coordinate system of nodes] Численное исследование устойчивости выполнялось методом конечных элементов в программном комплексе Lira-Sapr 2017. Для удобства анализа результатов расчета применялась локальная система координат (рис. 2), согласно которой ось X имела направление от вертикальной оси симметрии оболочки до характерного узла, а оси Y и Z образовывали с ней правую тройку. Для расчета использовались треугольные оболочечные конечные элементы (№ 42). Общее количество узловых неизвестных было одинаковое в каждой из рассматриваемых задач и составляло 16 206. Расчет устойчивости оболочек производился на комбинацию нагрузок, включающую в себя собственный вес с коэффициентом надежности 1,1 и поперечную равномерную нагрузку в проекции на горизонтальную поверхность интенсивностью 0,2 т/м2 с коэффициентом надежности 1,2. Принимались следующие характеристики материала: модуль упругости E = 3 600 000 т/м2; коэффициент Пуассона v = 0,18; толщина оболочки h = 10 см; плотность материала ρ = 2,5 т/м3. Граничные условия: упругое защемление оболочек вдоль нижней и верхней образующих. Жесткости защемления: RX = RY = RZ = 100000 т/м, θX = θY = = θZ = 100 000 тм. Результаты расчета графически представлены на рис. 3-6 и сведены в табл. 1. Дополнительный учет нелинейных эффектов приводит к снижению коэффициентов устойчивости по сравнению с линейным расчетом. а б в г Рис. 3. Изополя вертикальных перемещений Z (мм) для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 3. Isofields of displacements along the Z-axis (mm) for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] K = 41,9031 K = 20,9779 K = 13,2331 K = 10,1415 а б в г Рис. 4. Первая форма потери устойчивости для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 4. The first form of loss of stability for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] K = 63,339 K = 35,0329 K = 21,6702 K = 14,8402 а б в г Рис. 5. Вторая форма потери устойчивости для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 5. The second form of loss of stability for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] K = 99,3995 K = 52,802 K = 30,8274 K = 21,3433 а б в г Рис. 6. Третья форма потери устойчивости для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; в - то же с четырьмя [Fig. 6. The third form of loss of stability for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] Формы потери устойчивости [Table 1. Forms of loss of stability] Таблица 1 Число свободных витков геликоида [Number of free turns of a helicoid] Макс. прогиб [Max. deflection], мм Формы потери устойчивости [Forms of loss of stability] 1 2 3 Коэффициенты устойчивости [Coefficients of stability] K Максимальные перемещения для каждой формы [Maximum displacements for each form], мм Z X Y Z X Y Z X Y Z 1 -3,86 40,9031 63,339 99,3995 721 >1000 -751 928 979 -924 137 470 -769 2 -8,73 20,9779 35,0329 52,802 697 >1000 -981 976 973 -994 696 702 -929 3 -15,4 13,2331 21,6702 30,8274 670 791 -997 850 >1000 -961 493 656 -993 4 -23,3 10,1415 14,8402 21,3433 659 483 -998 941 920 -994 479 628 -995 f = 0,978 Гц f = 0,872 Гц f = 0,751 Гц f = 0,655 Гц а б в г Рис. 7. Первые формы собственных колебаний для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 7. The first forms of natural oscillations for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] f = 2,208 Гц f = 0,930 Гц f = 0,778 Гц f = 0,669 Гц а б в г Рис. 8. Вторые формы собственных колебаний для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 8. The second forms of natural oscillations for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] Определенный интерес представляет исследование собственных колебаний рассматриваемых оболочек. При нахождении частот и форм свободных колебаний учитывался только собственный вес геликоидальных оболочек. Полученные результаты модального анализа показаны на рис. 7-9 и приведены в табл. 2. f = 4,469 Гц f = 1,948 Гц f = 1,449 Гц f = 1,343 Гц а б в г Рис. 9. Третьи формы собственных колебаний для геликоидов: а - с одним свободным витком; б - то же с двумя витками; в - то же с тремя; г - то же с четырьмя [Fig. 9. Third forms of natural oscillations for helicoids: a - with one free turn; б - the same with two; в - the same with three; г - the same with four] Формы собственных колебаний [Table 2. Forms of natural oscillations] Таблица 2 Число свободных витков геликоида [Number of free turns of a helicoid] Формы собственных колебаний [Forms of natural oscillations] 1 2 3 Частота собственных колебаний [Natural frequency] f, Гц Период собственных колебаний [The period of natural oscillations] T, c Максимальные перемещения для каждой формы [Maximum displacements for each form], мм X Y Z X Y Z X Y Z 1 0,978 1,023 2,208 0,453 4,469 0,224 645 >1000 -643 958 >1000 -765 656 730 <-1000 2 0,872 1,147 0,930 1,076 1,948 0,513 >1000 936 -802 975 >1000 -911 479 646 <-1000 3 0,751 1,332 0,778 1,286 1,449 0,690 837 >1000 -656 933 873 <-1000 366 389 <-1000 4 0,655 1,526 0,669 1,495 1,343 0,745 977 >1000 799 >1000 885 -923 630 432 <-1000 При увеличении числа витков геликоидальной оболочки возрастает ее масса, что приводит к уменьшению частот свободных колебаний. Стоит заметить, что для оболочек с относительно небольшим количеством витков данный факт существенного значения не имеет. ВЫВОДЫ Наибольшей устойчивостью обладает геликоид с одним свободным витком (K = 41,9031). Устойчивость геликоида с двумя свободными витками оказалась вдвое меньше (K = 20,9779). Однако, как показал расчет, устойчивость оболочек с тремя и четырьмя свободными витками различается лишь на 30% (коэффициенты устойчивости равны 13,2331 и 10,1415 соответственно). Отчасти это можно объяснить тем, что наблюдается некоторое сглаживание геометрии срединной поверхности этих оболочек. Исследовав устойчивость геликоидов с большим количеством витков, можно установить, что коэффициент устойчивости имеет тенденцию к резкому снижению до определенного предела, в случае геликоидальных оболочек с большим числом витков (более 10) дальнейшее увеличение количества витков не приводит к существенному уменьшению коэффициента устойчивости.

Об авторах

Матье Жильулбе

Российский университет дружбы народов (РУДН)

Автор, ответственный за переписку.
Email: giloulbem@hotmail.com

кандидат технических наук, доцент департамента архитектуры и строительства Инженерной академии, Российский университет дружбы народов. Область научных интересов: теория тонких упругих оболочек, нелинейная устойчивость оболочек сложной геометрии, компьютерное моделирование

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Алексей Семенович Маркович

Российский университет дружбы народов (РУДН)

Email: markovich.rudn@gmail.com

кандидат технических наук, доцент департамента архитектуры и строительства Инженерной академии, Российский университет дружбы народов. Область научных интересов: строительная механика, численные методы расчета сооружений, компьютерное моделирование

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Евгения Михайловна Тупикова

Российский университет дружбы народов (РУДН)

Email: tupikova_em@rudn.university

кандидат технических наук, ассистент департамента архитектуры и строительства Инженерной академии, Российский университет дружбы народов. Область научных интересов: теория тонких упругих оболочек, нелинейная устойчивость оболочек сложной геометрии, компьютерное моделирование

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Юлиан Викторович Журбин

Российский университет дружбы народов (РУДН)

Email: julianzhurbin2015@gmail.com

магистрант департамента архитектуры и строительства Инженерной академии, Российский университет дружбы народов. Область научных интересов: компьютерное моделирование, расчеты строительных конструкций, зданий, сооружений и комплексов

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Список литературы