КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМНОЙ ДИФФУЗИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЫ

Полный текст

ВведениеРешение задач, связанных с процессами переноса, является в настоящее вре- мя весьма актуальным направлением научных исследований в области твердо- тельной электроники [1]. К числу таких задач относится, в частности, диффузия примесей, являющаяся основой ряда технологических операций и играющая важную роль в деградации электрофизических свойств элементов твердотельной электроники [2].Важным при исследовании процессов диффузии является создание компью- терных моделей, которые адекватно описывают результаты, получаемые экспе- риментально и позволяющие прогнозировать электрофизические свойства фор- мируемых элементов твердотельной электроники. Вследствие уменьшения раз- меров элементов все большее значение приобретает именно двумерное математическое моделирование технологических процессов [3].Известные двумерные математические модели процессов диффузии, предло- женные Фишером, Уипплом, Судзуокой, Смолуховским, строятся на основе за- конов Фика. Для аналитического решения систем диффузионных уравнений ав- торы используют приближенные методы, такие как синус-преобразования и ко- синус-преобразования Фурье, преобразования Лапласа и др. Учет действия внешних электрических полей и упругих напряжений в этих работах не учиты- вается, что приводит к ограниченной возможности их применения в ряде прак- тически важных задач.Численные методы свободны от некоторых упрощений, используемых при аналитических решениях диффузионных задач, и позволяют снизить трудоем- кость расчетов. В настоящее время наиболее распространенным методом чис- ленного решения диффузионных уравнений является классический метод ко- нечных разностей [4].Как видим, до настоящего времени не разработано достаточно полной общей теории, позволяющей сделать точный расчет характеристик диффузионного про- цесса, а существующие теории описывают реальные процессы либо для частных случаев и определенных условий проведения процесса, либо для создания диф- фузионных слоев при относительно низких концентрациях и достаточно больших глубинах введения примеси. Причиной этого является многообразие процессов, протекающих в твердом теле при диффузии, таких как взаимодействие атомов различных примесей друг с другом и с атомами полупроводника, механические напряжения и деформации в решетке кристалла, влияние окружающей среды и других условий проведения процесса. В связи с этим актуальным вопросом яв- ляется разработка алгоритмов прогнозирования временных характеристик диф- фузионного процесса, а также зависимости указанных характеристик от объем- ного состава участвующих в диффузионном процессе материалов. Исследованию данного вопроса посвящен материал данной статьи, причем для компьютерного моделирования выбран метод клеточных автоматов [5].Предлагаемый методДля построения компьютерной модели диффузионного процесса необходимо рассмотреть основные ее механизмы. Диффузия - неравновесный процесс, вы- зываемый молекулярным тепловым движением и приводящий к установлению равновесного распределения концентраций внутри фаз. Диффузия обусловлена хаотическим тепловым движением атомов, сопровождаемым их переносом, при- чем последний может стать направленным под действием градиента концентра- ции или температуры. Диффундировать могут как собственные атомы решетки (самодиффузия или гомодиффузия), так и атомы других химических элементов, растворенных в полупроводнике (примесная или гетеродиффузия), а также то- чечные дефекты структуры кристалла - междоузельные атомы и вакансии.Для более конкретного изложения материала выберем для моделирования ме- ханизм диффузии примесей в полупроводнике с различным типом проводимости. В настоящее время используются три метода введения примеси: термическая диффузия, нейтронно-трансмутационное легирование и ионная имплантация (ионное легирование). С уменьшением размеров элементов интегральных микро- схем и толщин легируемых слоев преимущественно используется метод нейтрон- но-трансмутационного легирования. Однако и диффузионный процесс не теря- ет своего значения, тем более что при отжиге полупроводника после ионного легирования распределение примеси подчиняется общим законам диффузии.В качестве механизмов, инициирующих перемещение атомов по кристаллу, можно отметить следующие: прямой и кольцевой обмен атомов местами, пере- мещение атомов по междоузлиям, так называемая эстафетная диффузия; пере-мещение атомов по вакансиям; диссоциативное перемещение и миграция по протяженным дефектам.Схема возможных механизмов диффузии атомов в кристаллах показана на рис. 1 [5]. Для компьютерного моделирования формализуем следующие основные механизмы диффузии: вакансионный, межузельный, а также прямой и кольцевой обмен атомов местами, причем моделирование процесса включения каждого из перечисленных механизмов в модель дискретного рабочего поля диффузии будем производить вероятностным методом.Рис. 1. Вакансионный (1), межузельный (2), кольцевой (3), диссоциативный (4), эстафетный (5) и обменный (6) механизмы диффузии в кристаллах[The vacancy (1), interstitial (2), the ring (3), dissociative (4), the relay (5) and the exchange (6) diffusion mechanisms crystals]Механизм перемещения по вакансиям заключается в миграции атомов по кри- сталлической решетке при помощи вакансий, которые существуют в любом кри- сталле - это места в решетке без атомов. Атомы вокруг вакансии колеблются и, получив определенную энергию, один из этих атомов может перескочить на ме- сто вакансии и занять ее место в решетке, в свою очередь, оставив за собой ва- кансию.Механизм перемещения по междоузлиям заключается в переносе вещества межузельными атомами. Диффузия по такому механизму происходит интенсив- но, если в кристалле по каким-то причинам присутствует большое количество межузельных атомов и они легко перемещаются по решетке. Такой механизм диффузии предполагается, например, для азота в алмазе.Прямой обмен атомов местами заключается в том, что два соседних атома од- ним «прыжком» обмениваются местами в решетке кристалла. Кольцевой обмен атомов местами является общим случаем их прямого обмена.В любом процессе диффузии, как правило, имеют место все перечисленные механизмы движения атомов. При гетеродиффузии по крайней мере один из ато- мов является примесным. Однако вероятность протекания этих процессов в кри- сталле различна.Целью данной работы является моделирование диффузионного процесса в равнообъемной среде с использованием модели клеточного автомата [4]. Моде- лирование в клеточном автомате элементарной операции общего диффузионно- го процесса - перемещения частицы из одного положения в другое - подразуме-вает пошаговое копирование ее в «новом» месте дискретного рабочего поля с одновременным удалением его со «старого» места. Клеточный автомат двухком- понентной среды визуально представляет собой набор кругов двух цветов (рис. 2, а).a б вРис. 2. Модель двухкомпонентной среды: а) исходная; б) в начальной;в) в завершающей стадии диффузионного процесса[Model binary medium: a) Initial; b) primary; c) in the final stage of the diffusion process]Принцип действия клеточного автомата вытекает из практического наблюде- ния за физикой процесса диффузии: в природе при встрече двух молекул они просто обмениваются местами. Реализовать такой механизм с помощью клеточ- ного автомата можно, если разбить все множество его клеток на четные и нечет- ные пары (блоки). Далее можно запустить клеточный автомат, определив для него следующее правило: на нечетном шаге производить обмен содержимого клеток внутри его нечетных блоков, а на четном - содержимого четных блоков. При этом на каждом шаге необходимо генерировать новую случайную последователь- ность нулей и единиц, определяющую правила для блоков: 0 - не выполнять обмен и 1 - выполнять обмен. В данной работе в качестве критерия обмена ис- пользовался массив чисел, который заполнялся по следующему правилу: гене- рируется число в диапазоне от 0 до 100, если число больше 50, в ячейку массива записывается 1, в других случаях в ячейку записывается 0. Генератор случайных чисел реализован таким образом, что вероятность его работы описывается нор- мальным распределением, что приближает работу клеточного автомата к реальным условиям. На рисунке 2, а представлено исходное состояние диффузионного про- цесса, а на рис. 2, б и 2, в - в его начальной и завершающей стадии соответственно.Для анализа среды была введена величина, определяющая процентное содер- жание частиц компонентов в определенной области среды, которая может вы- ступить критерием окончания диффузионного процесса: как только эта величи- на становится равной 50, процесс останавливается. Используя этот критерий, можно оценить длительность диффузионного процесса в зависимости от коли- чества частиц компонентов (N). С учетом случайного характера диффузионного процесса полученная оценка, естественно, будет более объективной при ее ус- реднении по не менее 10 вычислительным экспериментам, каждый из которых должен быть реализован при одинаковом количестве частиц компонентов (N).В таблице 1, содержащей результаты моделирования, на пересечении i-той строки и j-той графы указана длительность (tij) диффузионного процесса двух- компонентной среды, состоящей из Nj числа частиц, выраженная числом тактов перемещения частиц в j-том из десяти вычислительном эксперименте.Длительность диффузионного процесса (ti, тактов) на i-м шаге [The duration of the diffusion process (ti, measures) on the i-th step]Таблица 1Nt1t2t3t4t5t6t7t8t9t10tСР1001782842152102552612393021973592502004443553865376844956384283705534893001 1577618346949371 2629729129359309394009121 3871 2851 2891 0071 1491 4051 3431 1761 7281 2685001 1131 5401 8752 0911 0852 2221 4301 4961 8121 6571 6326002 0232 5572 5991 8071 7621 6802 0401 9162 1182 1542 0667001 9761 9542 6592 2412 1092 3361 9652 2832 6721 9652 2168002 4882 3013 1383 0493 5053 9472 5573 3332 2742 1452 8749003 1982 9423 2133 1353 1513 4822 3743 0514 1322 6013 12810003 7583 0264 2086 1424 3663 8746 2533 8853 4893 0694 207В последней графе табл. 1 приведены искомые результаты усреднения. График, построенный по результатам усреднения, представлен на рис. 3.Рис. 3. График зависимости длительности процесса от числа частиц [Graph of the processing of the number of particles]Из графика видно, что увеличение длительности процесса диффузии при ко- личестве частиц М < 500 прямо пропорционально числу N частиц, участвующих в эксперименте. Однако при М >500 угол наклона линии увеличивается, т.е. за- висимость приобретает нелинейный (полиномиальный) характер, что необходи- мо учитывать при моделировании среды с большим количеством частиц.Кроме того, задавая длительность диффузионного процесса, можно оценить однородность структуры, не дожидаясь его окончания. В качестве показателя однородности среды можно принять выраженную в процентах величину P - от- ношения числа частиц первой компоненты к числу частиц второй компонентыдиффузионного процесса в единице объема. Данные по компьютерному моде- лированию величины Pi через 1000 тактов от начала диффузионного процесса приведены в табл. 2. Каждая графа этой таблицы за исключением последней со- держит результаты одного из 10 (i = 1, 2, …, 10) вычислительных экспериментов. По данным последней графы, содержащей усредненные (по горизонтали) данные, построен график зависимости однородности структуры от количества частиц через 1000 тактов от начала диффузионного процесса, который приведен на рис. 4.Процентное (Pi) содержание частиц в единице объема через 1000 тактов от начала диффузионного процесса[Percentages (Pi) content of particles per unit volume after 1000 cycles from the beginning of the diffusion process]Таблица 2Число частицР1Р2РЗР4Р5Р6Р7Р8Р9Р10РСР10052,050,055,051,053,052,049,054,049,052,051,720053,654,652,052,050,554 0849,049,050,050,551,530047,154,046,449,550,248,450,249,151,951,949,940048,548,048,848,846,046,846,051,850,347,848,350044,647,348,647,546,544,044,644,242,145,045,560042,143,842,443,045,144,044,546,241,945,043,870042,041,642,941,039,241,842,841,842,442,141,880039,440,239,839,840,738,540,940,539,736,939,690038,939,137,636,140,337,337,038,936,737,938,0100036,537,035,836,036,037,936,535,935,337,436,4Рис. 4. Соотношение компонентов среды после 1000 тактов диффузионного процесса [The ratio of components of the environment after 1000 cycles diffusion process]Из данного графика видно, что удовлетворительную однородность среды (> 45%) можно получить за время, гораздо меньшее длительности диффузионно- го процесса.Последнее обстоятельство позволяет существенно сократить сроки проведения эксперимента в тех случаях, когда исследователю достаточно получить лишь при- близительную оценку параметров диффузионного процесса.© Назаров А.В., 2017

Список литературы