КОЛЕБАНИЕ МНОГОСЛОЙНОГО ЕСТЕСТВЕННО- ЗАКРУЧЕННОГО СТЕРЖНЯ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ

Полный текст

Задача расчета собственных частот и форм колебаний стержней, балок, за- крученных рабочих лопаток с точки зрения однородной теории рассматривалась в литературе неоднократно. Основы расчета и методы достаточно подробно опи- саны в работах [1-4] и др.Колебания и волны в слоистых и композитных телах рассмотрены в [5-7] и др., причем здесь использовались соотношения изотропной или анизотропной однородной теорий упругости.Ниже исследуются колебания армированных закрученных слоистых cтержней (рис. 1). В целях определения особенностей слоистых стержней, выяснения роли некоторых ее параметров рассматривались наиболее простые формы колебания. Рассматриваются поперечные колебания компрессорной лопатки из компози- ционного материала, находящейся в поле центробежных сил.Рис. 1. Армированный слоистый стержень с профилем произвольной формы [The reinforced laminate rod with a profile of arbitrary shape]Колебания невращающегося закрученного анизотропного стержняПри колебаниях закрученного стержня каждая точка совершает перемещения w(z) = w, компоненты угловых перемещений сечения - γх(z) = γу(z) = 0. Тогда кинетическая энергия стержня при колебаниях имеет вид [3]Т = 1ρ{⎡w 2 + u 2 + v 2 + 2θ (v xu y )⎤ F + Iθ2 }dz,(1)2 ∫ ⎣0s s ⎦ pгде xs, ys - координаты центра масс в системе ху; Ip - полярный момент инерции;F - площадь сечения.Компоненты нагрузки в уравнениях равновесия [8]N k11k12k13k14 w′-qzM ξ k12k22k23k24u′′Lу = qх + mу= ⋅ =M η k13k23k33k34M z k14 k24 k34 k44v′′θ′Lх = qу - mхLθ = -mz = 0при колебаниях будут [3]:qz = -ρFw ;qy = -ρF (v + θ xs );qx = -ρF (u - θ ys );mz = -ρ θ I p - ρF (v xs - u xs ) = 0;mx = my = mη = mξ = 0.(2)Откуда уравнение равновесия имеет вид [3]Pz′ + qz = 0, My″ + my′ + qx = 0, Mx″ + mx′ - qy = 0, Mz′ + mz = 0, (3) После интегрирования уравнения (3) с учетом граничных условий и после под-становки в нее инерционных нагрузок из выражений (2) уравнение колебаний(3) имеет вид [8]k11k12k13k14 k12k22k23k24 k13k23k33k34 k14 k24 k34 k44wz′-uz′′⋅vz′′θ′z-ρFw -ρF (u - θ ys )= ,-ρF (v + θ xs )-ρ θ I p - ρF (v xs - u xs )z(4)где F - площадь; xs, ys - координаты центра масс сечения закрученного слоистого анизотропного стержня в системе ху; ρ - плотность материала слоя.Пусть дана система (например стержень), совершающая малые колебания око- ло положения равновесия. В предположении гармонического характера колеба- ний получаем, что все отклонения от положения равновесия (т.е. функции u, w, v, θ, входящие в (4)), имеют вид, например,w(z, t) = w0(z)eiωt, u(z, t) = u0(z)eiωt, v(z, t) = v0(z)eiωt, θ(z, t) = θ0(z)eiωt, (5)тогда∂u = iu ωe∂t 0iωt ;∂v = iv ωe∂t 0iωt ;∂w = iw ωe∂t 0iωt ,∂θ = iθ ωe∂t 0iωt ,2 2 2 2∂ u 2iωt ∂ v2 iωt ∂ w2 iωt ∂ θ2 iωt2 02 0= -u ω e∂t; = -v ω e∂t;∂t 22 0= -w0ω e, = -θ ω e ,∂t∂u = ∂u0 eiωt ;∂v = ∂v0 eiωt ;∂w = ∂w0 eiωt ,∂θ = ∂θ0 eiωt ,∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂2u=∂z 2∂2u0∂z 2eiωt ;∂2v=∂z 2∂2v0∂z 2eiωt ;∂2w∂z 20∂2w=∂z 2eiωt ;∂2θ=∂z 2∂2θ0∂z 2eiωt, ...,(6)т.е. все элементы системы колеблются с одинаковой круговой частотой ω и оди- наковой фазой, все они одновременно проходят положение равновесия и одно- временно достигают своего наибольшего отклонения.Следовательно, подставляя (6) в (4), получаем систему линейных дифферен- циальных уравнений [3]k11k12k13k14 k12k22k23k24 k13k23k33k34 k14 k24 k34 k44w0′ qz-u0′′ qx⋅ = ,v0′′ qyθ′0 mz(7)где qz = λw0 = ρω2Fw0; qy = λ(v0 + θ0xs) = ρω2Fv0; qx = λ(u0 - θ0ys) = ρω2Fu0; mz = ρω2θ0Ip + ρω2F(v0xs + u0xs); λ = ρω2F.Система линейных дифференциальных уравнений (7) для консольного стерж- ня длиной l, защемленного при z = ζ = 0, удовлетворяет следующим граничным условиям:при ς = 0, w = 0, v = 0, u = 0, θ = 0,при ς = l, w′ = 0, θ′ = 0, v″ = 0, u″ = 0. (8) Под действием центробежных сил растяжения точки сечений испытывают поступательные смещения, которым соответствуют удлинения центральных эле-zментов стержня εi в слое і [8].Для общности также предположим, что сечения испытывают повороты вокруг главных его осей х и у, т.е. стержень изгибается. В этом случае продольные де- формации в армированном многослойном стержне определяются выражениемi 2εz = ε - ξχ2 + ηχ1 + τ0τr .Здесь χy, χx - составляющие кривизны, r =x 2 + y2 = ξ2 + η2 .В связи с этим кинематические соотношения (1) учитывают различия осевых удлинений и изменений кривизн слоя, в то время как для угла раскручивания τ такое разделение не производилось.Если исключить поперечные силы, то нормальные и касательные напряжения слоя i через перемещения выражаются следующим образом [8]:σiі= с εi, σ =i τc′ εsini α, σі= τс ε , ε = w′ - ξu′′ + ηv′′ + τ θ′r 2,33 1 z23 0 44 z13 0 1 z z 01 33 35cі = c′i + c′i cos α,α = τ0 ς.(9)Из соотношений (9) видно, что нормальные напряжения изменяются в сече- нии по параболическому закону. Для решения задачи используется принцип ми- нимума потенциальной энергии в виде δП = 0, где П = Wℓ - L. В этой формуле Wℓ - энергия упругого деформирования, L - работа внешних сил.Для определенности рассматриваются сечения лопатки на расстоянии r(R0  r  R) от оси вращения. По методу сечения действие на тело отсеченной части заменяется поверхностными силами, приложенными к плоскости этого сечения. Поэтому слагаемые в выражении потенциальной энергии вычисляются по следующей формуле:W t = σi j εi j dV .∫ k kVПолагаяw0 = w̃Xn(z); ũ0 = -ũXn(z); ṽ0 = ṽXn(z); θ0 = θ̃Xn(z), (10)где Xn(z) - допустимые функции; w̃, θ̃, ũ, ṽ - неопределенные параметры,в качестве допустимых функций можно выбрать функции стержня в виде [9]X (ς) =1 ( A sin kς+ B cos kς+ C shkς+ D chkς),(11)n n n n n где ς = ς/ℓ, а постоянные A, B, C, D определяются из граничных условий; ℓ - длина стержня.Граничные условия в этом случае имеют вид [9]ς = 0, Xn(ς) = 0, Xn′(ς) = 0,ς = 1, Xn′(ς) = 0, Xn″(ς) = 0, Xn‴(ς) = 0, (12)т.е. на жестко закрепленном конце перемещения и угол поворота сечения равны нулю, на свободном конце равны нулю изгибающий момент, поперечные силы.Подставляя в выражение (2) значения собственных функций (11), получаем систему алгебраических уравнения относительно постоянных интегрированияA, B, C, D. Решение этой системы уравнения позволяет определить собственную функцию (12) в виде [9]X (ς) =1 [shkς+ sin k-sin k shkς+ n n (chkn nς- cos kς)].(13)n n ncos kn + chknВ (13) волновое число kn удовлетворяет характеристическому уравнению 1 + chkncoskn = 0 и принимает значения, данные в табл. 1, ℓ - длина стержня. Балочные функции являясь ортонормированными, удовлетворяют равенствам⎧ k 2⎧ k 4∫ n p⎧1,⎩0,n = p;n ≠ p. ∫ n p⎪ n , n = p; ∫ n p⎪⎪ n , n = p; ⎪X X dz = ⎨X ′ X ′ dz = ⎨ 2X ′′X ′′dz = ⎨ 40 0 ⎩0,n ≠ p. 0⎩0,n ≠ p,что удовлетворяет условиям (12). Из (7) получимk11k12k13k14 w ρw ω2 Fk12k22k23k24u ρF ω2 (u + θ xs )⋅ = .(14)k13k23k33k34v ρF ω2(v - θ ys )k14 k24 k34 k44θ ρω2θ I p + ρω2 F (u xs + v xs )Если сократить правую часть первых трех уравнений (16) на ρF и последнее уравнение на ρIp, то получим(k ′-ω2 ) k ′k ′ k ′11 12 13 14w 0k ′ (k ′-ω2 ) k ′(k ′x ) u 012 22 23 24s ⋅ = .k ′ k ′(k ′-ω2 ) (k ′+ y )v 031 32 33 34 sk ′ k ′k ′ (k ′-ω2 )θ 041 42 43 44Если центр локальной системы координат расположен в центре тяжести (xs, ys) (xs = 0, ys = 0) сечения, то(k ′-ω2 ) k ′k ′ k ′11 12 13 14w 0k ′ (k ′-ω2 ) k ′k ′ u 012 22 23 24⋅ = .(15)k ′ k ′(k ′-ω2 )k ′ v 031 32 33 34k ′ k ′k ′ (k ′-ω2 )θ 041 42 43 442 4 4 2k ′ = kn11 F 2k11 ,ρk ′ = knF 4k12ρk ′ = knF 4k13 ,ρk ′ = knF 2k14 ,ρ2 4 4 2k ′ = kn21 F 2k12 ,ρk ′ = knF 4k22 ,ρk ′ = knF 4k23 ,Fk ′ = knF 2k24 ,ρ2 4 4 2k ′ = kn31 F 2k13 ,ρk ′ = knF 4k23 ,ρk ′ = knF 4k33 ,ρk ′ = knF 2k34 ,ρk 2 kk 4 kk 4 k k 2 k n 14 n 24 n 34 n 44 I ρk4′1 = 2 , I ρk4′2 = 4 , I ρk4′3 = 4 , I ρk4′4 = 2 . (16)p p p pгде kn принимает значения, данные в табл. 1.Значение волновых чисел [The value of the wave numbers]Таблица 1№1234567n → kn1,8754,6947,85410,99614,13717,27920,422n -1π2Система уравнений (7) позволяет определить свободное колебание много- слойных закрученных стержней и лопаток.Влияние вращения на колебания закрученного анизотропного стержняУравнения равновесия (3) после подстановки в нее нагрузки от центробежных сил [3]qx = 0,qy = -ρΩ2vF , qz= ρΩ2wF , mx = -v′Ω2 ∫ρ(R + z)Fdz,Ω Ω Ω Ωz mΩ = -ρΩ2u′(R + z)Fdz, mΩ = ρΩ2θ(II ) + θ′′P , P= Ω2ρ(R + z)I dz(17)y ∫ z y x0 0 ∫ pz zимеет видk11k12k13k14 w′-ρFw - ρΩ2wFk12k22k23k24 k13k23k33k34-u′′⋅v′′-ρF (u - θ ys )= ,-ρF (v + θ xs ) + ρΩ2 Fv - Pz v′(18)k14 k24 k34 k44θ′ -ρ θ I p - ρF (v xs - u xs ) - ρΩ2θ(I y - I x ) - θ′P0 где Pz = Ω2 ∫ ρ(R + z)Fdz - центробежная растягивающая сила в сечении z;  - угло-z вая скорость вращения, P0 = Ω2 ∫ ρ(R + z)(I y + I x )dz.zИз (18) с учетом (5)-(8) получим систему уравнений(k ′-ω2 ) k ′k ′ k ′11 12 13 14w 0k ′ (k ′-ω2 ) k ′k ′ u 021 22 23 24⋅ = .(19)k ′ k ′(k ′-ω2 )k ′ v 031 32 33 34k ′ k ′k ′ (k ′-ω2 ) θ 041 42 43 44Выбором начала координат в центре тяжести сечения и главных направлений осей координат ξη система уравнений (19) приводится к виду(k ′-ω2 ) 0 0 k ′11 14w 00 (k ′-ω2 ) 0k ′ u 022 24⋅ = ,(20)0 0 (k ′-ω2 )k ′ v 033 34k ′ k ′k ′ (k ′-ω2 ) θ 041 42 43 44m k + μF m k2 4 11 12m k 4 13m k2 14 k1′1 =ρF , k1′2 = ρFk1′3 =ρF , k1′4 = ρF ,2 4 2 4 2k2′1m k= 12 ,ρFk2′2m k22 - m Pz= ,ρFk2′3m k= 23 ,ρFk2′4m k= 24 ,ρF2 4 4 2 2k3′1m k= 13 ,ρFk3′2m k= 23 ,ρFk3′3m k33 - μF + m Pz= ,ρFk3′4m k= 34 ,ρFm2k m4 km4 k m2k + μ(II ) + m2P k ′ =14 ,k ′ =24 ,k ′ =34 ,k ′ = 44 y x 0 ,41 42 43 44ρI pρI pρI pρI pгде μ = ρ2; m = kn/l, n = 1, 2, …, ω - собственные круговые частоты колебаний.После определения из системы (20) собственных чисел несимметричной ве- щественной матрицы находят продольные, крутильные и изгибные собственные частоты слоистого стержня. После вычисления собственных векторов, соответ- ствующих отдельному собственному числу матрицы (20), определяют формы ко- лебания слоистого стержня по формуле (10).Расчетные соотношения (21) устанавливают непосредственную зависимость собственных частот от упругих и динамических параметров отдельных компо- нентов композиции и позволяют путем их выбора управлять вибрационными характеристиками тела.В качестве примера приводятся резонансные диаграммы для компрессорной лопатки из боралюминия. На рисунке 2 изображена резонансная диаграмма для первых пяти гармоник возбуждения на рабочем режиме ñ = 1.Рис. 2. Резонансная диаграмма компрессорной лопатки из боралюминиядля отстройки от первых пяти гармоник (1-5) возбуждения на рабочем режиме ñ = 1* возможный режим возникновения автоколебания[Resonance diagram of the compressor blades of boraluminum for the detuning of the first five harmonics (1-5) excitation operating mode ñ = 1* the possible occurrence of self-oscillation mode]Для данной компрессорной лопатки из боралюминия, как видно из рис. 2, отстройки потребуется от четвертой гармоники возбуждения на рабочем режиме ñ = 1.В таблице 2 приведены первые пять гармоник неподвижной и вращающийся компрессорной лопатки равномерно по длине закрученные на угол τ0 = 0,006 рад/ мм из боралюминия длины 140 мм и получены пять собственных частот колебании(i)(изгибные в плоскости меньшей жесткости fvв плоскости большой жесткости fu).(i = 1, 2, 3), крутильная fθ, изгибнаяТаблица 2ñ00,250,50,751kn1(1)426,07430,38443,03463,42490,332fθ1119,61120,91124,711311139,73(2)1733,21736,91748,11766,61791,94(3)3356,73359,83368,933843404,95(4)3504,23507,43517,23533,53556,1Собственные частоты [The natural frequencies]fvfv fv fvНа рисунке 3 представлены узловые линии первой изгибной (а), второй (б - первой крутильной) и третьей (в - второй изгибной) формы собственных частот колебаний при ñ = 1 на поверхности компрессорной лопатки со стороны корыт- ца. На рисунке 4 представлены узловые линии четвертой (а) и пятой (б) формы собственных частот колебаний при ñ = 1 на поверхности компрессорной лопат- ки со стороны корытца.Применение стержневой теории к сложной модели, каковой является ком- прессорная лопатка, показывает, что формы колебаний будут смешанными иимеют изгибные, крутильные, продольные перемещения одновременно. Поэто- му особый интерес представляет поведение второй изгибной и первой крутильной форм из-за возможности возникновения на определенных рабочих режимах из- гибно-крутильного флаттера. Отметим, что вопросы прогнозирования возмож- ности возникновения флаттера выходят за рамки данной работы. Однако имеет- ся определенный эффект, возникновения которого необходимо избегать на эта- пе эскизного проектирования лопатки из композиционных материалов.Рис. 3. Узловые линии на поверхности корытца:а - первая изгибная; б - первая крутильная; в - вторая изгибная [The nodal lines on the surface of the trough:a - bending first; б - the first torsional; в - the second bending]Рис. 4. Узловые линии на поверхности корытца:а - изгибная в плоскости большой жесткости; б - изгибно-крутильная [The nodal lines on the surface of the trough:a - bending stiffness in the plane of the big; б - flexural-torsional]ВыводыПоказано, что путем выбора материала с учетом армирования отдельных сло- ев можно в широких пределах управлять уровнями напряжений и деформаций и собственными частотами колебаний при одних и тех же физических оборотах ротора. Сравнение значений частот первых трех форм колебаний, полученных в [9], показало удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными. Разработан алгоритм и пакет программ для определения НДС в композиционных анизотропных стержнях и лопатках с учетом слоистости материала. Расчет лопа- ток и стержней по этой методике позволяет учесть влияние на НДС каждого ор- тотропного слоя со своими свойствами формы и его геометрического располо- жения в теле лопатки. Составленная программа расчета на ЭВМ осуществляет выбор оптимальной структуры армирования конкретного многослойного стерж- ня из ранее выбранного класса КМ [8]. Эффективность и достоверность разра- ботанной программы подтверждена сравнением расчетных величин с результа- тами расчета по программе ANSYS.© Нуримбетов А.У., Дудченко А.А., 2017

Об авторах

Алибек Усипбаевич Нуримбетов

Московский авиационный институт

Автор, ответственный за переписку.
Email: alibek_55@mail.ru

кандидат физ.-мат. наук, докторант кафедры прочности авиационных и ракетно-космических конструкций

Волоколамское шоссе, 4, Москва, Россия, 125993

Александр Александрович Дудченко

Московский авиационный институт

Email: a_dudchenko@mail.ru

доктор технических наук, профессор кафедры прочности авиационных и ракетно-космических конструкций

Волоколамское шоссе, 4, Москва, Россия, 125993

Список литературы