Методика отыскания алгебраических интегралов дифференциальных уравнений первого порядка

Обложка

Аннотация


Статья посвящена отысканию алгебраических интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной алгебры, основной акцент сделан на выработку практических указаний по работе с оригинальным пакетом Lagutinski for Sage. В начале статьи формулируется задача Дебона: для заданного дифференциального уравнения pdx + qdy = 0, где p, q - многочлены из кольца [x,y], выяснить, имеет ли оно рациональный интеграл, и в случае утвердительного ответа предъявить этот интеграл. Обсуждена проблема отыскания верхней грани для порядка интеграла и её значение для решения дифференциальных уравнений на практике, сформулирована ограниченная задача Дебона. В основу решения задачи положен метод М. Н. Лагутинского и его реализация в системе компьютерной алгебры Sage. Теория и её реализация протестированы на примерах из задачника А. Ф. Филиппова. Проделанные численные эксперименты свидетельствуют, что метода позволяет на практике без особых затрат ресурсов и времени идентифицировать наличие рационального интеграла, однако является весьма затратной как метод вычисления этого интеграла. В заключении даны рекомендации по оптимальному использованию метода М. Н. Лагутинского. Все вычисления выполнены в системе компьютерной алгебры Sage.


Михаил Дмитриевич Малых

Лицо (автор) для связи с редакцией.
malykh_md@rudn.university
Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН

Ин Юй

yingy6165@gmail.com
Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

аспирант кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН

  • Hairer E., Wanner G., Lubich C. Geometric Numerical Integration. StructurePreserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. - Berlin Heidelberg New York: Springer, 2000.
  • Декарт Р. Геометрия с приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. - Москва-Ленинград: ГОНТИ НКТП СССР, 1938. - Перевод, примечание и статья А. П. Юшкевича.
  • Ch´eze G. Computation of Darboux Polynomials and Rational First Integrals with Bounded Degree in Polynomial Time // Journal of Complexity. - 2011. - Vol. 27, issue 2. - Pp. 246-262. - doi: 10.1016/j.jco.2010.10.004.
  • .Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - Москва-Ленинград: ГТТЛ, 1950.
  • Лагутинский М. Н. Приложение полярных операций к интегрировананию обыкновенных дифференциальных уравнений в конечном виде // Сообщения Харьковского математического общества. Вторая серия. - 1911. - Т. 12. - С. 111- 243.
  • Лагутинский М. Н. О некоторых полиномах и связи их с алгебраическим интегрированием обыкновенных дифференциальньных алгебраических уравнений // Сообщения Харьковского математического общества. Вторая серия. - 1912. - Т. 13. - С. 200-224.
  • Добровольский В. А., Стрельцын Ж., Локоть Н. В. Михаил Николаевич Лагутинский (1871-1915) // Историко-математические исследования. - Москва: Янус-К, 2001. - Т. 41, вып. 6. - С. 111-127.
  • Christopher C., Llibre J., Vit´orio Pereira J. Multiplicity of Invariant Algebraic Curves in Polynomial Vector Fields // Pacific Journal of Mathematics. - 2007. - Vol. 229, No 1. - Pp. 63-117. - doi: 10.2140/pjm.2007.229.63.
  • .Малых М. Д. Об отыскании рациональных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений по методу М. Н. Лагутинского // Вестник Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». - 2016. - Т. 5, № 4. - С. 327-336. - doi: 10.1134/S2304487X16030068.
  • .Малых М. Д. О применении метода М.Н. Лагутинского к интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка. Часть 1. Отыскание алгебраических интегралов // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2017. - Т. 25, № 2. - С. 103-112. - doi: 10.22363/2312-9735-2017-25-2-103-112.
  • .Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Просмотры

Аннотация - 13

PDF (Russian) - 6


© Малых М.Д., Юй И., 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.