Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)4037010.22363/1815-5235-2024-20-3-265-275RDDWZDAnalysis of thin elastic shellsРасчет тонких упругих оболочекResearch ArticleAnalytical Calculation of Momentless Conical Shell with Elliptical BaseАналитический расчет конической оболочки на эллиптическом основании по безмоментной теорииhttps://orcid.org/0000-0002-9385-36992021-6966KrivoshapkoSergey N.КривошапкоСергей Николаевич

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Civil Engineering, Academy of Engineering

доктор технических наук, профессор, профессор департамента строительства, инженерная академия

sn_krivoshapko@mail.ruRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов30072024203VOL 20, NO3 (2024)ТОМ 20, №3 (2024)26527511082024Copyright ©; 2024, Krivoshapko S.N.Copyright ©; 2024, Кривошапко С.Н.2024Krivoshapko S.N.Кривошапко С.Н.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/40370

Differential equilibrium equations of the momentless shell theory are very easily integrated in cases of cylindrical and right circular conical shells. Shells of zero Gaussian curvature defined in arbitrary curvilinear coordinates are more difficult to analyze, which was reaffirmed by the case of elliptical conical shells. For the first time, analytical expressions of normal and tangential internal forces in a momentless right elliptical conical shell defined in non-orthogonal conjugate system of curvilinear coordinates are obtained. The derived results can be used for approximation of the stress state of thin conical shells with elliptical base and also for the investigation of stability of these shells. Four internal tangential forces obtained by integration of the system of four equilibrium equations of a shell element contain two unknown integration functions, which are determined by satisfying given boundary conditions. The application of obtained analytical equations is demonstrated by an example of analysis of a truncated elliptical conical shell with free upper edge. A uniformly distributed surface load in the direction of the vertical axis of the shell was assumed as external load. The presented formulae are easily adapted for the analysis of a right circular conical shell.

Дифференциальные уравнения равновесия безмоментной теории оболочек легче всего интегрируются для цилиндрических и прямых конических круговых оболочек. Труднее задача решается для оболочек нулевой гауссовой кривизны, заданных не в линиях кривизны. Это еще раз подтверждено на примере конической эллиптической оболочки. Впервые получены аналитические формулы для определения нормальных и касательных внутренних усилий в прямой конической эллиптической оболочке по безмоментной теории оболочек, заданных в неортогональной сопряженной системе криволинейных координат. Полученные результаты могут быть использованы для приближенной оценки напряженного состояния тонких конических оболочек на эллиптическом основании, а также при исследовании устойчивости этих оболочек. Четыре внутренних тангенциальных усилия, полученные интегрированием системы четырех уравнений равновесия элемента оболочки, содержат две неизвестные функции интегрирования, которые находятся при выполнении поставленных граничных условий. Использование полученных аналитических формул проиллюстрировано на примере расчета усеченной конической эллиптической оболочки со свободным верхним краем. Внешняя нагрузка - поверхностная равномерно распределенная нагрузка в направлении вертикальной оси оболочки. Приведенные формулы легко адаптируются для случая расчета прямой круговой конической оболочки.

elliptical conemomentless shell theorynon-orthogonal curvilinear coordinatestruncated elliptical coneэллиптический конусбезмоментная теория оболочекнеортогональные криволинейные координатыусеченный эллиптический конусGoldenveizer A.L. Theory of Elastic Thin Shells. New York: Pergamon Publ.; 1961.Goldenveizer A.L. Theory of Elastic Thin Shells. New York: Pergamon Publ.; 1961. 662 p.Novozhilov V.V., Chernikh K.F., Mikhailovskiy E.I. Linear Theory of Thin Shells. Leningrad: Politechnika Publ.; 1991. (In Russ.) ISBN 5-7325-0127-4Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с. ISBN 5-7325-0127-4Jawad M.H. Design of Plate and Shell Structures. New York: ASME Publ.; 2004. ISBN: 0-7918-0199-3Jawad M.H. Design of Plate and Shell Structures. NY: ASME PRESS, 2004. 476 p. ISBN: 0-7918-0199-3Bajoriya G.Ch. The application of the system of Goldenveiser’s equations for analysis of momentless torse shells. Issledovaniya po Raschetu Elementov Prostranstvennih Sistem [Investigation on Analysis of Fragments of Space Systems]. Мoscow: UDN; 1987. P. 65-72 (In Russ.)Баджория Г.Ч. Применение системы уравнений А.Л. Гольденвейзера для расчета торсовых оболочек по безмоментной теории // Исследования по расчету элементов пространственных систем. М.: Изд-во УДН, 1987. С. 65–72.Ivanov V.N., Krivoshapko S.N. Analytical Methods of Analysis of Shells of Non-canonical Shape. Moscow: RUDN; 2010. (In Russ.) EDN: TINZYPИванов В.Н., Кривошапко С.Н. Аналитические методы расчета оболочек неканонической формы. М.: РУДН, 2010. 542 с. EDN: TINZYPRekach V.G. Manual for Solution of Problems of Applied Theory of Elasticity. Мoscow: Vysshaya Shkola Publ.; 1973.Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. М.: Высшая школа, 1973. 384 с.Tovstik P.E. Stability of Thin Shells: Asymptotic Methods. Moscow: Nauka, Fizmatlit Publ.; 1995. (In Russ.) ISBN 5-02-014522-ХТовстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука; Физматлит, 1995. 320 с. ISBN 5-02-014522-ХTyurikov E.V. On the construction of mathematical models of the membrane theory of convex shells. Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2023;23(1):17-25. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2023-23-1-17-25Тюриков Е.В. К вопросу о построении математических моделей мембранной теории выпуклых оболочек // Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2023. Vol. 23. No. 1. P. 17–25. https://doi.org/10.23947/2687-1653-2023-23-1-17-25Ivanov V.N., Alyoshina O.О. Comparative analysis of the stress-strain state’s parameters of equal slope shell with the director ellipse using three calculation methods. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2020;3:37-46. In Russ.) https://doi.org/10.37538/0039-2383.2020.3.37.46Иванов В.Н., Алёшина О.О. Сравнительный анализ параметров напряженно-деформированного состояния торса с направляющим эллипсом с помощью трех методов расчета // Строительная механика и расчет сооружений. 2020. № 3. С. 37–46. https://doi.org/10.37538/0039-2383.2020.3.37.46Fattah M.Y., Waryosh W.A., Al-Hamdani M.A.E. Experimental and theoretical studies of bearing capacity of conical shell foundations composed of reactive powder concrete. Acta Geodyn. Geometer. 2015;12(4):411-420. https://doi.org/10.13168/AGG.2015.0037Fattah M.Y., Waryosh W.A., Al-Hamdani M.A.E. Experimental and theoretical studies of bearing capacity of conical shell foundations composed of reactive powder concrete // Acta Geodyn. Geometer. 2015. Vol. 12. No. 4. P. 411–420. https://doi.org/10.13168/AGG.2015.0037Mamieva I.A., Razin A.L. Symbol spatial structures in the form of conic surfaces. Industrial and Civil Engineering. 2017;10:5-11. (In Russ.) EDN: ZSMVFNМамиева И.А., Разин А.Д. Знаковые пространственные сооружения в форме конических поверхностей // Промышленное и гражданское строительство. 2017. № 10. С. 5–11. EDN: ZSMVFNGolzan B.S., Showkati H. Buckling of thin-walled conical shells under uniform external pressure. Thin-Walled Structures. 2008;46(5):516-529. https://doi.org/10.1016/j.tws.2007.10.011Golzan B.S., Showkati H. Buckling of thin-walled conical shells under uniform external pressure // Thin-Walled Structures. 2008. Vol. 46. Iss. 5. P. 516–529. https://doi.org/10.1016/j.tws.2007.10.011Chung S.W., Ju Gisu. A conical shell theory of hybrid anisotropic materials. International Journal of Composite Materials. 2019;9(3):53-59. https://doi.org/10.5923/j.cmaterials.20190903.01Chung S.W., Ju Gisu. A conical shell theory of hybrid anisotropic materials // International Journal of Composite Materials. 2019. Vol. 9. Iss. 3. P. 53–59. https://doi.org/10.5923/j.cmaterials.20190903.01Kantor B.Ya., Mellerovich G.M., Naumenko V.V. Investigation of stress state of shells of elliptic cone. Dynamics and Strength of Mashines. 1982;31:19-34.Кантор Б.Я., Меллерович Г.М., Науменко В.В. Исследование напряженного состояния оболочек типа эллиптического конуса // Динамика и прочность машин. 1982. Вып. 31. С. 19–34.Krivoshapko S.N., Timoshin M.A. Static calculation of an elliptical shell of the same slope, two conical shells with a guiding ellipse and a torso with two ellipses lying in parallel planes for overall stability. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference “Engineering Systems - 2012.” Moscow, 2012. C. 40-46. (In Russ.) EDN: TYKBOVКривошапко С.Н., Тимошин М.А. Статический расчет эллиптической оболочки одинакового ската, двух конических оболочек с направляющим эллипсом и торса с двумя эллипсами, лежащими в параллельных плоскостях на общую устойчивость // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы — 2012». М., 2012. С. 40–46. EDN: TYKBOVDrozdov S.M., Zhirnikov B.L., Kosykh A.P., Nersesov G.G., Yumashev V.L. Investigation of streamlining and aero-dynamical characteristics of blunted elliptical cones when supersonic speed. Scientific notes of TSAGI, 2008. Vol. 39. No. 1-2. P. 39-51. (In Russ.) EDN: JWVOIZДроздов С.М., Жирников Б.Л., Косых А.П., Нерсесов Г.Г., Юмашев В.Л. Исследование обтекания и аэродинамических характеристик затупленных эллиптических конусов при сверхзвуковых скоростях // Ученые записки ЦАГИ. 2008. Т. 39. № 1–2. С. 39–51. EDN: JWVOIZHueston S. Anthropometric Analysis of the Cervical Spine. Wright State University. Browse all Theses and Dissertations. 2011. 83 p. Available from: https://corescholar.libraries.wright.edu/etd_all/487 (accessed: 22.05.2023).Hueston S. Anthropometric Analysis of the Cervical Spine. Wright State University. Browse all Theses and Dissertations. 2011. 83 p. URL: https://corescholar.libraries.wright.edu/etd_all/487(дата обращения: 22.05.2023).Krivoshapko S.N. Ruled shells of conical type on elliptical base. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2024;20(1):40-56. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2024-20-1-40-56Krivoshapko S.N. Ruled shells of conical type on elliptical base // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2024. Т. 20. № 1. С. 40–56. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2024-20-1-40-56Weisstein E.W. Elliptic Cone. Available from: https://mathworld.wolfram.com/EllipticCone.html (accessed: 22.05.2023).Weisstein E.W. Elliptic Cone. URL: https://mathworld.wolfram.com/EllipticCone.html (дата обращения: 22.05.2023).Gizatulina G.S. Investigation of Stability of Truncated Conical Shells of Elliptical Cross Section under Different Types of Loading: dissertation for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Kazan; 1999. EDN: QCZCNBГизатулина Г.С. Исследование устойчивости усеченных конических оболочек эллиптического поперечного сечения при различных типах нагружения: дис.. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1999. 131 с. EDN: QCZCNB