Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines
доктор физико-математических наук, профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин
This study considers a plane statically determinate truss with double lattice structure and without a lower chord. Well-known versions of this design are Fink and Bollman trusses. Two methods are used to derive the analytical relationship of the lower limit of the fundamental frequency with the number of panels in the periodic structure. It is assumed that mass of the truss is concentrated at its joints (nodes). The nodes vibrate vertically, and the number of degrees of freedom coincides with the number of nodes. The stiffness analysis of the truss is performed using the Maxwell - Mohr method. The forces in the elastic elements and the reactions of the roller and pin supports are calculated by the method of joints depending on the size of the truss and its order of periodicity. The system of linear equations is solved using the inverse matrix method. The Dunkerley method of partial frequencies is used to calculate the lower limit of the fundamental frequency. For a series of solutions obtained for trusses with different number of panels, the common term in the sequence of solution formulas is found by induction using Maple software. The solution coefficients have polynomial form in the number of panels of order not higher than the fifth. The solution is compared with an approximate version of the Dunkerley method, in which the sum of the terms corresponding to partial frequencies is calculated using the mean value theorem. The closeness of the frequency obtained by the two analytical methods to the numerical frequency spectrum solution is shown by particular examples. An approximate version of the Dunkerley method has a simpler form and an accuracy comparable to the original Dunkerley method.
Рассмотрена модель плоской статически определимой фермы решетчатого типа без нижнего пояса с двойной решеткой. Известные аналоги такой конструкции - ферма Финка и ферма Больмана. Двумя методами выводится аналитическая зависимость нижней границы основной собственной частоты регулярной конструкции от числа панелей. Предполагается, что его масса фермы сконцентрирована в ее узлах. Узлы совершают колебательные движения по вертикали, число степеней свободы совпадает с числом узлов. Расчет жесткости фермы производится с помощью интеграла Максвелла - Мора. Усилия в упругих стержнях и реакции подвижной и неподвижной опор вычисляются методом вырезания узлов в зависимости от размеров фермы и ее порядка регулярности. Система линейных уравнений решается с помощью метода обратной матрицы. Для расчета нижней границы основной частоты используется метод парциальных частот Донкерлея. Для серии решений, полученных для ферм с различным числом панелей, методом индукции в системе символьной математики Maple находится общий член последовательности расчетных формул. Коэффициенты формулы имеют вид полиномов по числу панелей порядка не выше пятого. Решение сравнивается с приближенным вариантом метода Донкерлея, в котором сумма слагаемых, соответствующих парциальных частотам, вычисляется по теореме о среднем. На конкретных примерах показана близость частоты, полученной двумя аналитическими методами, численному решению задачи о спектре частот. Приближенный вариант метода Донкерлея имеет более простую форму и точность, сопоставимую с исходным методом Донкерлея.