Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3683610.22363/1815-5235-2023-19-4-362-371WCETZIDynamics of structures and buildingsДинамика конструкций и сооруженийResearch ArticleThe formula for the first natural frequency and the frequency spectrum of a spatial regular trussФормула для первой частоты собственных колебаний и спектр частот пространственной регулярной фермыhttps://orcid.org/0000-0002-8588-3871KirsanovMikhail N.КирсановМихаил Николаевич

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Strength of Machines

c216@ya.ruNational Research University “MPEI”Национальный исследовательский университет «МЭИ»15112023194VOL 19, NO4 (2023)ТОМ 19, №4 (2023)36237126112023Copyright ©; 2023, Kirsanov M.N.Copyright ©; 2023, Кирсанов М.Н.2023Kirsanov M.N.Кирсанов М.Н.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/36836

A scheme of a statically determinate spatial truss is proposed. The gable cover of the structure is formed by isosceles rod triangles with supports in the form of racks on the sides. A formula is derived for the lower boundary of the structure’s first natural frequency under the assumption that its mass is concentrated in the nodes. To calculate the stiffness of the truss according to the Maxwell - Mohr formula, the forces in the rods are found by cutting out the nodes in an analytical form. The lower limit of the fundamental frequency is calculated using the Dunkerley partial frequency method. A series of solutions obtained for trusses with a different number of panels is generalized to an arbitrary order of a regular truss by induction using Maple symbolic mathematics operators. Comparison of the analytical solution with the numerical value of the first frequency of the spectrum shows good agreement between the results. The spectra of a series of regular trusses of various orders are analyzed. Two spectral constants of the problem are found, one of which is the highest frequency of truss vibrations, which does not depend on their order.

Предложена схема статически определимой пространственной фермы. Двускатное покрытие конструкции образовано равнобедренными стержневыми треугольниками с опорами в виде стоек по боковым сторонам. Выводится формула для нижней границы первой собственной частоты сооружения в предположении, что его масса сконцентрирована в узлах. Для расчета жесткости фермы по формуле Максвелла - Мора усилия в стержнях находятся методом вырезания узлов в аналитической форме. Нижняя граница основной частоты рассчитывается методом парциальных частот Донкерлея. Серия решений, полученных для ферм с различным числом панелей, обобщается на произвольный порядок регулярной фермы методом индукции с привлечением операторов символьной математики Maple. Сравнение аналитического решения с численным значением первой частоты спектра показывает хорошее совпадение результатов. Анализируются спектры серии регулярных ферм различного порядка. Обнаружены две спектральные константы задачи, одна из которых - высшая частота колебаний ферм, не зависящая от их порядка.

spatial trussDunkerley methodfundamental frequencyanalytical solutionnatural oscillationsregular constructionspectrumspectral constantinduction methodMaxwell-Mohr formulaпространственная фермаметод Донкерлеяосновная частотааналитическое решениесобственные колебаниярегулярная конструкцияспектрспектральная константаметод индукцииформула Максвелла-МораThis work was financially supported by RSF 22-21-00473.Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ 22-21-00473.Han Q.H., Xu Y., Lu Y., Xu J., Zhao Q.H. Failure Mechanism of Steel Arch Trusses: Shaking Table Testing and FEM Analysis. Engineering Structures. 2015;82:186-198. https://doi.org/10.1016/J.ENGSTRUCT.2014.10.013Han Q.H., Xu Y., Lu Y., Xu J., Zhao Q.H. Failure Mechanism of Steel Arch Trusses: Shaking Table Testing and FEM Analysis // Engineering Structures. 2015. Vol. 82. P. 186–198. https://doi.org/10.1016/J.ENGSTRUCT.2014.10.013Colajanni P., La Mendola L., Latour M., Monaco A., Rizzano G. FEM Analysis of Push-out Test Response of Hybrid Steel Trussed Concrete Beams (HSTCBs). Journal of Constructional Steel Research. 2015;111:88-102. https:// doi.org/10.1016/j.jcsr.2015.04.011Colajanni P., La Mendola L., Latour M., Monaco A., Rizzano G. FEM Analysis of Push-out Test Response of Hybrid Steel Trussed Concrete Beams (HSTCBs) // Journal of Constructional Steel Research. 2015. Vol. 111. P. 88–102. https://doi.org/10.1016/j.jcsr.2015.04.011Macareno L.M., Agirrebeitia J., Angulo C., Avilés R. FEM Subsystem Replacement Techniques for Strength Problems in Variable Geometry Trusses. Finite Elements in Analysis and Design. 2008;44:346-357. https://doi.org/10.1016/ j.finel.2007.12.003Macareno L.M., Agirrebeitia J., Angulo C., Avilés R. FEM Subsystem Replacement Techniques for Strength Problems in Variable Geometry Trusses // Finite Elements in Analysis and Design. 2008. Vol. 44. P. 346–357. https://doi.org/10.1016/j.finel.2007.12.003Belyankin N.A., Boyko A.Yu. Formulas for the deflection of a beam truss with an arbitrary number of panels under uniform loading. Structural mechanics and structures. 2019;1(20):21-29. (In Russ.) EDN: YZOZGHБелянкин Н.А., Бойко А.Ю. Формулы для прогиба балочной фермы с произвольным числом панелей при равномерном загружении // Строительная механика и конструкции. 2019. № 1 (20). С. 21–29. EDN: YZOZGHTkachuk G.N. The formula for the dependence of the deflection of an asymmetrically loaded flat truss with rein- forced braces on the number of panels. Structural mechanics and structures. 2019;2(21):32-39. (In Russ.) EDN: JKKMFYТкачук Г.Н. Формула зависимости прогиба несимметрично нагруженной плоской фермы с усиленными раскосами от числа панелей // Строительная механика и конструкции. 2019. № 2 (21). С. 32–39. EDN: JKKMFYBoyko A.Yu., Tkachuk G.N. Derivation of formulas for the dependence of the deflection of a flat articulated-rod frame on the number of panels in the Maple system. Structural mechanics and structures. 2019;4(23):15-25. (In Russ.) EDN: ZJDBGWБойко А.Ю., Ткачук Г.Н. Вывод формул зависимости прогиба плоской шарнирно-стержневой рамы от числа панелей в системе Maple // Строительная механика и конструкции. 2019. № 4 (23). С. 15–25. EDN: ZJDBGWKirsanov M.N. Stress state and deformation of a rectangular spatial rod coating. Scientific Bulletin of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and architecture. 2016;1(41):93-100. (In Russ.) EDN: VNXUONКирсанов М.Н. Напряженное состояние и деформации прямоугольного пространственного стержневого покрытия // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. 2016. № 1 (41). С. 93–100. EDN: VNXUONBuka-Vaivade K., Kirsanov M.N., Serdjuks D.O. Calculation of deformations of a cantilever-frame planar truss model with an arbitrary number of panels. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2020;15(4):510-517. https://doi.org/10.22227/1997-0935.2020.4.510-517Buka-Vaivade K., Kirsanov M.N., Serdjuks D.O. Calculation of deformations of a cantilever-frame planar truss model with an arbitrary number of panels // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. Вып. 4. С. 510–517. https://doi.org/10.22227/ 1997-0935.2020.4.510-517Kirsanov M.N. Evaluation of the deflection and stability of a spatial beam truss. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2016;5(268):19-22. (In Russ.)Кирсанов М.Н. Оценка прогиба и устойчивости пространственной балочной фермы // Строительная механика и расчет сооружений. 2016. № 5 (268). С. 19–22.Larichev S.A. Inductive analysis of the effect of building lift on the rigidity of a spatial beam truss. Collection of scientific and methodological articles “Trends in Applied Mechanics and Mechatronics”. Moscow: Infra-M Publ.; 2015;(1):4-8. (In Russ.) EDN: AZKRYXЛаричев С.А. Индуктивный анализ влияния строительного подъема на жесткость пространственной балочной фермы // Сборник научно-методических статей “Trends in Applied Mechanics and Mechatronics”. М.: ИнфраМ., 2015. Т. 1. С. 4–8. EDN: AZKRYXHutchinson R.G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids - the hunt for statically determinate periodic trusses. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2005;85(9):607-617. https://doi.org/10.1002/zamm.200410208Hutchinson R.G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids — the hunt for statically determinate periodic trusses // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2005. Vol. 85. Is. 9. P. 607–617. https://doi.org/10.1002/zamm.200410208Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006;54(4):756-782. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2005.10.008Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. № 4. P. 756–782. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2005.10.008Zok F.W., Latture R.M., Begley M.R. Periodic truss structures. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016;96:184-203. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2016.07.007Zok F.W., Latture R.M., Begley M.R. Periodic truss structures // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016. Vol. 96. P. 184–203. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2016.07.007Kaveh A., Rahami H., Shojaei I. Swift Analysis of Civil Engineering Structures Using Graph Theory Methods. Springer Cham Publ.; 2020, 290 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-45549-1Kaveh A., Rahami H., Shojaei I. Swift Analysis of Civil Engineering Structures Using Graph Theory Methods. Springer Cham Publ.; 2020. 290 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-45549-1Kaveh A., Hosseini S.M., Zaerreza A. Size, Layout, and Topology Optimization of Skeletal Structures Using Plasma Generation Optimization. Iranian Journal of Science and Technology. Transactions of Civil Engineering. 2020;45(2):513-543. https://doi.org/10.1007/S40996-020-00527-1Kaveh A., Hosseini S.M., Zaerreza A. Size, Layout, and Topology Optimization of Skeletal Structures Using Plasma Generation Optimization // Iranian Journal of Science and Technology. Transactions of Civil Engineering. 2020. No. 45 (2). P. 513–543. https://doi.org/10.1007/S40996-020-00527-1Goloskokov D.P., Matrosov A.V. A Superposition Method in the Analysis of an Isotropic Rectangle. Applied Mathematical Sciences. 2016;10(54):2647-2660. https://doi.org/10.12988/ams.2016.67211Goloskokov D.P., Matrosov A.V. A Superposition Method in the Analysis of an Isotropic Rectangle // Applied Mathematical Sciences. 2016. No. 10 (54). P. 2647–2660 https://doi.org/10.12988/ams.2016.67211Goloskokov D.P., Matrosov A.V. Comparison of two analytical approaches to the analysis of grillages. 2015 International Conference on “Stability and Control Processes” in Memory of V.I. Zubov, SCP 2015. Proceedings. 2015: 382-385. https://doi.org/10.1109/SCP.2015.7342169Goloskokov D.P., Matrosov A.V. Comparison of two analytical approaches to the analysis of grillages // 2015 International Conference on “Stability and Control Processes” in Memory of V.I. Zubov, SCP 2015. Proceedings. 2015. P. 382–385. https://doi.org/10.1109/SCP.2015.7342169Kirsanov M.N. Planar Trusses: Schemes and Formulas. Cambridge Scholars Publishing. Lady Stephenson Library, Newcastle upon Tyne, NE6 2PA, UK; 2019. ISBN: (13):978-1-5275-3531-2Kirsanov M.N. Planar Trusses: Schemes and Formulas. Cambridge Scholars Publishing. Lady Stephenson Library, Newcastle upon Tyne, NE6 2PA, UK; 2019. 198 p. ISBN (13): 978-1-5275-3531-2Komerzan E.V., Sviridenko O.V. Analytical calculation of the deflection of a flat externally statically indeter- minate truss with an arbitrary number of panels. Structural mechanics and structures. 2021;2(29):29-37. (In Russ.) EDN: LJWUOWКомерзан Е.В., Свириденко О.В. Аналитический расчет прогиба плоской внешне статически неопределимой фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2021. № 2 (29). С. 29–37. EDN: LJWUOWDai Q. Analytical Dependence of Planar Truss Deformations on the Number of Panels. AlfaBuild. 2021;17:1701. https://doi.org/10.34910/ALF.17.1Dai Q. Analytical Dependence of Planar Truss Deformations on the Number of Panels // AlfaBuild. 2021. No. 17. Article 1701. https://doi.org/10.34910/ALF.17.1Kirsanov M., Luong C.L. Deformations and natural frequency spectrum of a planar truss with an arbitrary number of panels. AlfaBuild. 2022;25:2507. https://doi.org/10.57728/ALF.25.7Kirsanov M., Luong C.L. Deformations and natural frequency spectrum of a planar truss with an arbitrary number of panels // AlfaBuild. 2022. No. 25. Article 2507. https://doi.org/10.57728/ALF.25.7Kirsanov M. Simplified Dunkerley method for estimating the first oscillation frequency of a regular truss. Construction of Unique Buildings and Structures. 2023;108:10801. https://doi.org/10.4123/CUBS.108.1Kirsanov M. Simplified Dunkerley method for estimating the first oscillation frequency of a regular truss // Construction of Unique Buildings and Structures. 2023. No. 108. Article 10801. https://doi.org/10.4123/CUBS.108.1Domanov E.V. Analytical dependence of the deflection of a spatial cantilever of a triangular profile on the number of panels. Science Almanac. 2016;6-2(19):214-217. (In Russ.) https://doi.org/10.17117/na.2016.06.02.214Доманов Е.В. Аналитическая зависимость прогиба пространственной консоли треугольного профиля от числа панелей // Научный альманах. 2016. № 6–2(19). С. 214–217. https://doi.org/10.17117/na.2016.06.02.214Petrichenko E.A. On the deflection of a cantilever truss with a cross-shaped lattice depending on the redistribution of the areas of the rods and the number of panels. Science Almanac. 2016;6-2(19):279-266. (In Russ.) https://doi.org/ 10.17117/na.2016.06.02.279Петриченко Е.А. О прогибе консольной фермы с крестообразной решеткой в зависимости от перераспределения площадей стержней и числа панелей // Научный альманах. 2016. № 6–2 (19). С. 279–266. https://doi.org/ 10.17117/na.2016.06.02.279Osadchenko N.V. Analytical solutions to the problems of deflection of flat arch-type trusses. Structural mechanics and structures. 2018;1(16):12-33. (In Russ.) EDN: YSLUGLОсадченко Н.В. Аналитические решения задач о прогибе плоских ферм арочного типа // Строительная механика и конструкции. 2018. № 1 (16). C. 12–33. EDN: YSLUGLRutenberg A. A Lower Bound for Dunkerley’s Formula in Continuous Elastic Systems. Journal of Sound and Vibration. 1976;45(2):249-252. https://doi.org/10.1016/0022-460X(76)90599-XRutenberg A. A Lower Bound for Dunkerley’s Formula in Continuous Elastic Systems // Journal of Sound and Vibration. 1976. Vol. 45. Is. 2. P. 249–252. https://doi.org/10.1016/0022-460X(76)90599-XLow K.H. A Modified Dunkerley Formula for Eigenfrequencies of Beams Carrying Concentrated Masses. International Journal of Mechanical Sciences. 2000;42(7):1287-1305. https://doi.org/10.1016/S0020-7403(99)00049-1Low K.H. A Modified Dunkerley Formula for Eigenfrequencies of Beams Carrying Concentrated Masses // Interna- tional Journal of Mechanical Sciences. 2000. Vol. 42. Is. 7. P. 1287–1305. https://doi.org/10.1016/S0020-7403 (99)00049-1Komerzan E.V., Maslov A.N. Analytical estimation of the fundamental frequency of natural vibrations of a regular truss. Structural mechanics and structures. 2023;2(37):17-26. (In Russ.) https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.002Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Аналитическая оценка основной частоты собственных колебаний регулярной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). C. 17–26. https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.002Shchigol E.D. Formula for the Lower Estimation of the Natural Oscillations of a Planar Regular Beam Truss with a Rectilinear Upper Chord. Structural mechanics and structures. 2023;2(37):46-53. (In Russ.) https://doi.org/10.36622/ VSTU.2023.37.2.005Щиголь Е.Д. Формула для нижней оценки собственных колебаний плоской регулярной балочной фермы с прямолинейным верхним поясом // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). C. 46–53. https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.005Manukalo A.S. Analysis of the value of the first frequency of natural vibrations of a flat trussed truss. Structural mechanics and structures. 2023;2(37):54-60. (In Russ.) https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.006Манукало А.С. Анализ значения первой частоты собственных колебаний плоской шпренгельной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). C. 54–60. https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.006Komerzan E.V., Maslov A.N. Estimation of the fundamental oscillation frequency of an L-shaped spatial truss. Structural mechanics and structures. 2023;2(37):35-45. (In Russ.) https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.004Комерзан Е.В., Маслов А.Н. Оценка основной частоты колебаний Г-образной пространственной фермы // Строительная механика и конструкции. 2023. № 2 (37). C. 35–45. https://doi.org/10.36622/VSTU.2023.37.2.004