Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3683410.22363/1815-5235-2023-19-4-339-348WXVNULAnalytical and numerical methods of analysis of structuresАналитические и численные методы расчета конструкцийResearch ArticleTorsion problem: stress statement and solution by the boundary element methodЗадача о кручении: постановка в напряжениях и решение методом граничных элементовhttps://orcid.org/0000-0003-3850-424XLalinVladimir V.ЛалинВладимир Владимирович

Dr.Sc., Professor of the Higher School of Industrial, Civil and Road Construction of the Institute of Civil Engineering

доктор технических наук, профессор Высшей школы промышленно-гражданского и дорожного строительства Инженерно-строительного института

vllalin@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0002-9144-1412SemenovDaniil A.СеменовДаниил Аркадьевич

PhD student of the Higher School of Industrial, Civil and Road Construction of the Institute of Civil Engineering

аспирант Высшей школы промышленно-гражданского и дорожного строительства Инженерно-строительного института

dan290797@gmail.comPeter the Great St. Petersburg Polytechnic UniversityСанкт-Петербургский политехнический университет Петра ВеликогоRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов15112023194VOL 19, NO4 (2023)ТОМ 19, №4 (2023)33934826112023Copyright ©; 2023, Lalin V.V., Semenov D.A.Copyright ©; 2023, Лалин В.В., Семенов Д.А.2023Lalin V.V., Semenov D.A.Лалин В.В., Семенов Д.А.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/36834

The formulation of the problem of torsion regarding stresses and its solution by the boundary elements method are described. The main advantage of the problem formulation in stresses is direct determination of stresses in the cross-section, unlike the classical formulation, when the result of the approximate solution is the Prandtl stress function values, and the determination of stresses is brought down to numerical differentiation. The boundary integral equation of the second kind is obtained to formulate the problem with respect to stresses. The procedure for solving the problem by the boundary elements method is described, the system of solving equations is compiled. Solutions of test problems on torsion of rods with rectangular and channel cross-sections are presented. Comparison of the calculation results with known analytical solutions illustrates the reliability and permissible engineering accuracy of the obtained solutions.

Приводится постановка задачи о кручении относительно напряжений и ее решение методом граничных элементов. Основным достоинством данной постановки задачи является непосредственное определение напряжений в сечении, в отличие от классической постановки, где результатом приближенного решения являются значения функции напряжений Прандтля, а определение напряжений сводится к численному дифференцированию. Для постановки задачи относительно напряжений получено граничное интегральное уравнение второго рода. Описана процедура решения задачи методом граничных элементов, составлена система разрешающих уравнений. Представлены решения тестовых задач о кручении стержней прямоугольного и швеллерного сечений. Сопоставление результатов расчета с известными аналитическими решениями иллюстрирует достоверность и допустимую инженерную точность полученных решений.

Elastic Rod TorsionPoisson’s equationIntegral Representation of StressesBoundary Integral EquationIntegral Equation of the second kindкручение упругих стержнейуравнение Пуассонаинтегральное представление напряженийграничное интегральное уравнениеинтегральное уравнение второго родаArutyunyan N.H., Abramyan B.L. Torsion of elastic bodies. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1963. (In Russ.)Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. 688 с.Chen H., Gomez J., Pindera M.J. Saint Venant’s torsion of homogeneous and composite bars by the finite volume method. Composite Structures. 2020;242:112-128. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.112128Chen K.H., Kao J.H., Chen J.T., Liau J.F. A new error estimation technique for solving torsion bar problem with inclusion by using BEM. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2020;115:168-211. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2020.02.012Ma X., Kiani K. Spatially nonlocal instability modeling of torsionaly loaded nanobeans. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2023;154:29-46. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2023.05.012Labaki J., A Barros P.L., Mesquita E. A model of the time-harmonic torsional response of piled plates using an IBEM-FEM coupling. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2021;125:241-249. https://doi.org/10.1016/j.enganabound. 2021.01.010Sapountzakis E.J., Tsipiras V.J., Argyridi A.K. Torsional vibration analysis of bars including secondary torsional shear deformation effect by the boundary element method. Journal of Sound and Vibration. 2015;355:208-231. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2015.04.032Katsikadelis J.T. The Boundary Element Method for Engineers and Scientists. Theory and Applications. Athens: School of Civil Engineering. National Technical University of Athens; 2016.Fairweather G., Rizzo F.J., Shippy D.J., Wu Y.S. On the numerical solution of two-dimensional potential problems by an improved boundary integral equation method. Journal of computational physics. 1979;31:96-112.Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C. Boundary Element Techniques: Theory and Applications in Engineering. SpringerLink; 1984. https://doi.org/10.1007/978-3-642-48860-3Kazakova A.O. Application of the boundary element method to numerical modeling of rod torsion. Nauchnye issledovaniya: ot teorii k praktike [Scientific research: from theory to practice]. 2016;(9):25-30. (In Russ.)Казакова А.О. Применение метода граничных элементов к численному моделированию кручения стержня // Научные исследования: от теории к практике. 2016. Т. 3. № 9. С. 25-30.Chen F. Solution of torsional problems by BEM. WIT Transactions of Modelling and Simulations. 1993;1:1-9.Igumnov L.A. Variants of boundary-element method and boundary-integral equation method in linear theory of elasticity. Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod. 2000;3(2):11-21. (In Russ.)Игумнов Л.А. Варианты метода граничных элементов и метода граничных интегральных уравнений в линейной теории упругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Механика. 2000. Т. 3. № 2. С. 11-21.Temis Y.M., Karaban V.V. Boundary element technique in torsion problems of beams with multiply connected cross-sections. Journal of the Korean Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001;5(2):39-51.Dumont N.A. Complex-variable, high-precision formulation of the consistent boundary element method for 2D potential and elasticity problems. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2023;152:552-574. https://doi.org/ 10.1016/j.enganabound.2023.04.024Dumont N.A. The consistent boundary element method for potential and elasticity: Part I - Formulation and convergence theorem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2023;149:127-142. https://doi.org/10.1016/ j.enganabound.2023.01.017Gil-Martin L.M., Palomares A., Hernandez-Montes E. Approximate expression of the Prandtl membrane analogy in linear elastic pure torsion of open thin-walled cross sections and regular polygons. International Journal of Solids and Structures. 2021;210-211:109-118. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2020.11.020Tsiptsis I.N., Sapountzakis E.J. Bars under nonuniform torsion - Application to steel bars, assessment of EC3 guidelines. Engineering Structures. 2014;60:133-147. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2013.12.027Sapountzakis E.J. Nonuniform torsion of multi-material composite bars by the boundary element method. Computers & Structures. 2001;79:2805-2816. https://doi.org/10.1016/S0045-7949(01)00147-XLurie A.I. Theory of Elasticity. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg; 2005.Friedman Z., Kosmatka J.B. Torsion and flexure of a prismatic isotropic beam using the boundary element method. Computers & Structures. 2000;74(4):479-494. https://doi.org/10.1016/S0045-7949(99)00045-0Cruz J.M.F., Mendonça A.V. Torsional analysis of thin-walled beams of open sections by the direct boundary element method. Computers & Structures. 2014;136:90-97. https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2014.02.002