Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3442410.22363/1815-5235-2023-19-1-73-83FYSMCVAnalytical and numerical methods of analysis of structuresАналитические и численные методы расчета конструкцийResearch ArticleStatics and dynamics of curved rods based on Bernoulli hypotheses and relations for a rectilinear rodСтатика и динамика криволинейных стержней на основе гипотез Бернулли и соотношений для прямолинейного стержняhttps://orcid.org/0000-0001-7222-19359043-5123SerazutdinovMurat N.СеразутдиновМурат Нуриевич

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Fundamentals of Design and Applied Mechanics

доктор физико-математических наук, профессор кафедры основ проектирования и прикладной механики

serazmn@mail.ruKazan National Research Technological UniversityКазанский национальный исследовательский технологический университет30032023191VOL 19, NO1 (2023)ТОМ 19, №1 (2023)738315042023Copyright ©; 2023, Serazutdinov M.N.Copyright ©; 2023, Серазутдинов М.Н.2023Serazutdinov M.N.Серазутдинов М.Н.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/34424

Method for calculating the statics and dynamics of curved rods, based on the equations for a rectilinear rod, is described and justified in detail. Bernoulli's hypotheses and the variational method are applied. The main advantage and special feature of these formulas is that the simplest formulas that are valid for rectilinear rods are used for the calculations of curved rods. These formulas do not contain parameters characterizing the curvatures of the longitudinal axis of the rod. This feature is an essential factor in the calculation of curved rods, where the information about their longitudinal axis is given discretely, since no special methods of approximation of discretely given data are required, which enable to obtain information about the radius-vector of the rod longitudinal axis and its derivatives with the required high accuracy. Solutions of test static and dynamic problems are provided. Bending of a rod with a longitudinal axis in the form of a circle, a naturally twisted rod, and a spring fluctuation are considered. Comparison of the calculation results with the data published in the literature illustrates the reliability and high accuracy of the solutions obtained.

Описывается и подробно обосновывается метод расчета статики и динамики криволинейных стержней, основанный на соотношениях для прямолинейного стержня. Используются гипотезы Бернулли и вариационный метод. Основное достоинство и особенность используемых соотношений состоит в том, что для расчетов криволинейных стержней применяются простейшие формулы, справедливые для прямолинейных стержней. В эти формулы не входят параметры, характеризующие кривизны продольной оси стержня. Данная особенность является существенным фактором при расчете криволинейных стержней, информация о продольной оси которых задается дискретно, так как не требуется использование специальных методов аппроксимации дискретно заданных данных, позволяющих получать информацию о радиусе-векторе продольной оси стержня и его производных с требуемой высокой точностью. Представлены решения тестовых статических и динамической задач. Рассмотрены изгиб стержня с продольной осью в виде окружности, естественно закрученного стержня и колебания пружины. Сравнение результатов расчета с опубликованными в литературе данными иллюстрирует достоверность и высокую точность получаемых решений.

curved rodsBernoulli hypothesesstaticsdynamicscalculation methodкриволинейные стержнигипотезы Бернуллистатикадинамикаметод расчетаShulkin Yu.B. Theory of elastic rod structures. Moscow: Nauka Publ.; 1984. (In Russ.)Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций: монография. М.: Наука, 1984. 271 с.Svetlitsky V.A. Mechanics of rods (part 1). Moscow: Vysshaya Shkola Publ.; 1987. (In Russ.)Светлицкий В.А. Механика стержней: монография: в 2 ч. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1987. 320 с.Svetlitsky V.A. Mechanics of rods (part 2). Moscow: Vysshaya Shkola Publ.; 1987. (In Russ.)Светлицкий В.А. Механика стержней: монография: в 2 ч. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1987. 304 с.Grudev I.D. Vibrations of curved rods. Moscow: MIK Publ.; 2007. (In Russ.)Грудев И.Д. Колебания криволинейных стержней: монография. М.: МИК, 2007. 254 с.Levin V.E., Pustovoy N.V. Mechanics of deformation of curved rods. Novosibirsk: NSTU Publ.; 2008. (In Russ.)Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней: монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. 208 с.Serazutdinov M.N., Nedorezov O.A. On the approximation of the median surface of the shell. Research on the Theory of Shells: Proceedings of the Seminar. 1990;(25):97–102. (In Russ.)Серазутдинов М.Н., Недорезов О.А. Об аппроксимации срединной поверхности оболочки. Иследования по теории оболочек // Исследования по теории оболочек: труды семинара. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990. Вып. 25. С. 97-102.Khairullin F.S., Serazutdinov M.N. Method of parametrization of the median surface of a thin-walled structural element. Izvestiya Vuzov. Aviation Equipment. 2006;(4):14–16. (In Russ.)Хайруллин Ф.С., Серазутдинов М.Н. Метод параметризации срединной поверхности тонкостенного элемента конструкции // Известия вузов. Авиационная техника. 2006. № 4. С. 14-16.Sakhbiev O.M., Khairullin F.S. About one of the methods of isogeometric approximation by cubic splines. Bulletin of the Technological University. 2022;25(5):111–114. (In Russ.)Сахбиев О.М., Хайруллин Ф.С. Об одном из методов изогеометрической аппроксимации кубическими сплайнами // Вестник технологического университета.2022. Т. 25. № 5. С. 111-114.Kvasov B.I. Methods of isogeometric approximation by spline. Moscow: Fizmatlit Publ.; 2006. (In Russ.)Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами: монография. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 360 с.Krivoshapko S.N. On parabolic bending of a flat metal sheet into a torso structure. Technology of Mechanical Engineering. 2020;(11):14–24. (In Russ.)Кривошапко С.Н. О параболическом изгибании плоского металлического листа в торсовую конструкцию // Технология машиностроения. 2020. № 11. С. 14-24.Krivoshapko S.N. Shell structures and shells at the beginning of the 21st century. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2021;17(6):553–561. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-553-561Krivoshapko S.N. Shell structures and shells at the beginning of the 21st century // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. № 6. С. 553-561. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-553-561Papkova I.V., Krysko A.V., Krysko V.A. Theory and methods for studying the nonlinear dynamics of a beam – plate nano resonator taking into account the temperature and strain fields connection in additive color noise. Proceedings of the 27th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2020. http://doi.org/10.23919/ICINS43215.2020.9133824Papkova I.V., Krysko A.V., Krysko V.A. Theory and methods for studying the nonlinear dynamics of a beam - plate nano resonator taking into account the temperature and strain fields connection in additive color noise // Proceedings of the 27th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2020. http://doi.org/10.23919/ICINS43215.2020.9133824Awrejcewicz J., Krysko V.A., Papkova I.V., Krysko A.V. Deterministic chaos in one dimensional continuous system. World Scientific Publishing; 2016.Awrejcewicz J., Krysko V.A., Papkova I.V., Krysko A.V. Deterministic chaos in one dimensional continuous system. World Scientific Publishing, 2016.Papkova I.V., Krysko A.V., Saltykova O.A., Krysko V.A., Zakharova A.A. Contact interaction of flexible Timoshenko beams with small deflections. Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012087Papkova I.V., Krysko A.V., Saltykova O.A., Krysko V.A., Zakharova A.A. Contact interaction of flexible Timoshenko beams with small deflections // Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012087Saltykova O.A., Papkova I.V., Krysko V.A. Chaotic dynamics of two beams described by the kinematic hypothesis of the third approximation in the case of small clearance. Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012102Saltykova O.A., Papkova I.V., Krysko V.A. Chaotic dynamics of two beams described by the kinematic hypothesis of the third approximation in the case of small clearance // Journal of Physics: Conference Series. 2018. http://doi.org/10.1088/1742-6596/944/1/012102Krysko V.A., Yakovleva T.V., Papkova I.V., Saltykova O.A., Pavlov S.P. The contact interaction of size-dependent and multimodulus rectangular plate and beam. Journal of Physics: Conference Series. 2019. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/3/032021Krysko V.A., Yakovleva T.V., Papkova I.V., Saltykova O.A., Pavlov S.P. The contact interaction of size-dependent and multimodulus rectangular plate and beam // Journal of Physics: Conference Series. 2019. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/3/032021Papkova I.V., Krylova E.Yu., Krysko A.V. Contact interaction of NEMS shell elements in a color noise field. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020;747(1):012059. http://doi.org/10.1088/1757-899X/747/1/012059Papkova I.V., Krylova E.Yu., Krysko A.V. Contact interaction of NEMS shell elements in a color noise field // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020;747(1):012059. http://doi.org/10.1088/1757-899X/747/1/012059Artyukhin Yu.P. The analytical method for studying deformations of spatial curved rods. Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series. 2012;154(3):97–111. (In Russ.)Артюхин Ю.П. Приближенный аналитический способ исследования деформаций пространственных криволинейных стержней // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2012. Т. 154. № 3. С. 97-111.Artyukhin Yu.P. Arbitrary bending of a cantilever rod by conservative force. Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series. 2013;155(2):144–157. (In Russ.)Артюхин Ю.П. Произвольный изгиб консольного стержня консервативной силой // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2013. Т. 155. № 2. С. 144-157.Yakupov N.M., Serazutdinov M.N. Calculation of elastic thin-walled structures of complex geometry. Kazan; 1993. (In Russ.)Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии: монография. Казань: ИММ РАН, 1993. 206 с.Krivoshapko S.N. Shells and rod structures in the form of analytically undefined surfaces in modern architecture. Construction and Reconstruction. 2020;(3):20–30. (In Russ.)Кривошапко С.Н. Оболочки и стержневые структуры в форме аналитически незадаваемых поверхностей в современной архитектуре // Строительство и реконструкция. 2020. № 3 (89). С. 20-30.Papkova I.V., Krysko A.V., Barulina M.A., Krysko V.A. Mathematical modeling of the nonlinear dynamics components of nanoelectromechanical sensors taking into account thermal, electrical and noise impacts. Proceedings of the 26th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2019. http://doi.org/10.23919/ICINS.2019.8769406Papkova I.V., Krysko A.V., Barulina M.A., Krysko V.A. Mathematical modeling of the nonlinear dynamics components of nanoelectromechanical sensors taking into account thermal, electrical and noise impacts // Proceedings of the 26th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. 2019. http://doi.org/10.23919/ICINS.2019.8769406Tebyakin A., Papkova I.V., Krysko V.A. The variational iterations method for the three-dimensional equations analysis of mathematical physics and the solution visualization with its help. CEUR Workshop Proceedings. 2020;(l):2744.Tebyakin A., Papkova I.V., Krysko V.A. The variational iterations method for the three-dimensional equations analysis of mathematical physics and the solution visualization with its help // CEUR Workshop Proceedings. 2020;l:2744.Krysko V.A., Awrejcewicz J., Papkova I.V., Saltykova O.A. Analysis of the nonlinear dynamics of flexible two-layer beams, with account for their stratification. In: Awrejcewicz J., Kaźmierczak M., Mrozowski J., Olejnik P. (eds.) Engineering Dynamics and Life Sciences (pp. 297–308). Lodz: DAB&M of TUL Press; 2017.Krysko V.A., Awrejcewicz J., Papkova I.V., Saltykova O.A. Analysis of the nonlinear dynamics of flexible two-layer beams, with account for their stratification // Engineering Dynamics and Life Sciences / ed. by J. Awrejcewicz, M. Kaźmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik. Lodz: DAB&M of TUL Press, 2017. Pp. 297-308.Saltykova O.A., Papkova I.V., Vetsel S.S., Krysko V.A. Investigation of the influence of changing the boundary conditions along the side of the plate on its chaotic dynamics. Journal of Physics Conference Series. 2019;1158(4):042008. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042008Saltykova O.A., Papkova I.V., Vetsel S.S., Krysko V.A. Investigation of the influence of changing the boundary conditions along the side of the plate on its chaotic dynamics // Journal of Physics Conference Series. 2019. Vol. 1158. No. 4. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042008Serazutdinov M.N., Khairullin F.S. Method of calculating curved rods. News of Universities. Construction and Architecture. 1991;(5):104–108. (In Russ.)Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стержней // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104-108.Serazutdinov M.N., Ubaydulloev M.N. Variational method of calculation of rectilinear and curved thin-walled rods. Kazan: KNITU Publ.; 2016. (In Russ.)Серазутдинов М.Н., Убайдуллоев М.Н. Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней: монография. Казань: Изд-во КНИТУ, 2016. 144 с.Serazutdinov M.N., Ubaydulloyev M.N. The method of calculating inelastic elements of rod structures under loading, unloading and reloading regimes. Journal of Physics Conference Series. 2019;1158(4):042014. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042014Serazutdinov M.N., Ubaydulloyev M.N. The method of calculating inelastic elements of rod structures under loading, unloading and reloading regimes // Journal of Physics Conference Series. 2019. Vol. 1158. No. 4. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1158/4/042014Birger I.A., Panovko Ya.G. Strength, stability, fluctuations (vol. 1). Moscow: Mashinostroenie Publ.; 1968. (In Russ.)Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания: cправочник: в 3 т. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. 821 с.