Doctor of Technical Sciences, Professor, senior researcher of Keldysh Institute of Applied Mathematics, Professor of Moscow Aviation Institute (National Research University)
доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, профессор Московского авиационного института
Relevance. The progressive development of views on the Saint-Venant formulated principles and methods underlying the deformable body mechanics, the growth of the mathematical analysis branch, which is used for calculation and accumulation of rules of thumb obtained by the mathematical results interpretation, lead to the fact that the existing principles are being replaced with new, more general ones, their number is decreasing, and this field is brought into an increasingly closer relationship with other branches of science and technology. Most differential equations of mechanics have solutions where there are gaps, quick transitions, inhomogeneities or other irregularities arising out of an approximate description. On the other hand, it is necessary to construct equation solutions with preservation of the order of the differential equation in conjunction with satisfying all the boundary conditions. Thus, the following aims of the work were determined: 1) to complete the familiar Saint-Venant’s principle for the case of displacements specified on a small area; 2) to generalize the semi-inverse Saint-Venant’s method by finding the complement to the classical local rapidly decaying solutions; 3) to construct on the basis of the semi-inverse method a modernized method, which completes the solutions obtained by the classical semi-inverse method by rapidly varying decaying solutions, and to rationalize asymptotic convergence of the solutions and clarify the classical theory for a better understanding of the classic theory itself. To achieve these goals, we used such methods , as: 1) strict mathematical separation of decaying and non-decaying components of the solution out of the plane elasticity equations by the methods of complex variable theory function; 2) construction of the asymptotic solution without any hypotheses and satisfaction of all boundary conditions; 3) evaluation of convergence. Results. A generalized formulation of the Saint-Venant’s principle is proposed for the displacements specified on a small area of a body. A method of constructing asymptotic analytical solutions of the elasticity theory equations is found, which allows to satisfy all boundary conditions.
Актуальность. Постепенное развитие взглядов на сформулированные Сен-Венаном принципы и методы, лежащие в основе механики деформируемого тела, рост той ветви математического анализа, которая применяется при вычислениях, и накопление практических правил, получаемых путем истолкования математических результатов, приводят к тому, что существующие принципы заменяются новыми, более общими, число их уменьшается и данная область приводится во все более тесную связь с другими отделами науки и техники. Большинство дифференциальных уравнений механики обладает решениями, в которых наблюдаются разрывы, быстрые переходы, неоднородности или другие неправильности, возникающие из приближенного описания. Большой интерес представляет обобщенная формулировка принципа Сен-Венана для затухания заданных на малом участке перемещений для объяснения полученных приближенных решений. С другой стороны, необходимо построение решений уравнений с сохранением порядка дифференциального уравнения в сочетании с выполнением всех граничных условий. Таким образом, были определены следующие цели исследования : 1) дополнить известный принцип Сен-Венана для случая заданных на малом участке тела перемещений; 2) построить на основе полуобратного метода модернизированный метод, дополняющий полученные классическим полуобратным методом решения быстро меняющимися затухающими решениями; 3) обосновать асимптотическую сходимость решений и уточнить классические теории для более полного понимания самой классической теории. Для достижения поставленных целей использовались такие методы , как: 1) строгое математическое выделение затухающей и незатухающей компонент решения из уравнений плоской задачи теории упругости методами теории функций комплексного переменного; 2) построение асимптотического решения без каких-либо гипотез и выполнение всех граничных условий; 3) оценка сходимости решения. Результаты. Предложена формулировка обобщенного принципа Сен-Венана для заданных на малом участке тела перемещений. Найден метод построения асимптотических аналитических решений уравнений теории упругости, позволяющий выполнить все граничные условия.