Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Robotics, Mechatronics, Dynamics and Machine Strength of the Institute of Power Machinery and Mechanics
доктор физико-математических наук, профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности машин Института энергомашиностроения и механики
The aim of the work is to derive a formula for the dependence of the first frequency of the natural oscillations of a planar statically determinate beam truss with parallel belts on the number of panels, sizes and masses concentrated in the nodes of the lower truss belt. Truss has a triangular lattice with vertical racks. The solution uses Maple computer math system operators. Methods. The basis for the upper estimate of the desired oscillation frequency of a regular truss is the energy method. As a form of deflection of the truss taken deflection from the action of a uniformly distributed load. Only vertical mass movements are assumed. The amplitude values of the deflection of the truss is calculated by the Maxwell - Mohr’s formula. The forces in the rods are determined in symbolic form by the method of cutting nodes. The dependence of the solution on the number of panels is obtained by an inductive generalization of a series of solutions for trusses with a successively increasing number of panels. For sequences of coefficients of the desired formula, fourth-order homogeneous linear recurrence equations are compiled and solved. Results. The solution is compared with the numerical one, obtained from the analysis of the entire spectrum of natural frequencies of oscillations of the mass system located at the nodes of the truss. The frequency equation is compiled and solved using Eigenvalue search operators in the Maple system. It is shown that the obtained analytical estimate differs from the numerical solution by a fraction of a percent. Moreover, with an increase in the number of panels, the error of the energy method decreases monotonically. A simpler lower bound for the oscillation frequency according to the Dunkerley method is presented. The accuracy of the lower estimate is much lower than the upper estimate, depending on the size and number of panels.
Цель исследования - вывод формулы зависимости первой частоты собственных колебаний плоской статически определимой балочной фермы с параллельными поясами от числа панелей, размеров и одинаковых масс, сосредоточенных в узлах нижнего пояса фермы. Решетка фермы треугольная с вертикальными стойками. В решении использованы операторы системы компьютерной математики Maple. Методы. Основой для верхней оценки искомой частоты колебаний регулярной фермы является энергетический метод. В качестве формы прогиба фермы взят прогиб от действия равномерно распределенной нагрузки. Предполагаются только вертикальные перемещения грузов. Амплитудные значения прогиба фермы вычисляются по формуле Максвелла - Мора. Усилия в стержнях определяются в символьной форме методом вырезания узлов. Зависимость решения от числа панелей получается индуктивным обобщением серии решений для ферм с последовательно увеличивающимся числом панелей. Для последовательностей коэффициентов искомой формулы составляются и решаются однородные линейные рекуррентные уравнения четвертого порядка. Результаты. Решение сравнивается с численным решением, полученным из анализа всего спектра собственных частот колебаний системы масс, расположенных в узлах фермы. Частотное уравнение составляется и решается с помощью операторов поиска собственных значений в системе Maple. Показано, что полученная аналитическая оценка отличается от численного решения на доли процента. При этом с увеличением числа панелей погрешность энергетического метода монотонно уменьшается. Приведена более простая нижняя оценка частоты колебаний по методу Донкерлея. Точность оценки снизу значительно меньше оценки сверху, зависит от размеров и числа панелей.