Doctor of Technical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Architecture and Civil Engineering, Head of the Department of Building Materials and Technologies, Academician of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences
доктор технических наук, профессор, декан архитектурно-строительного факультета, заведующий кафедрой строительных материалов и технологий, академик РААСН
Doctor of Engineering, Associate Professor of the Department of Applied Mechanics of the Faculty of Architecture and Civil Engineering
кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной механики архитектурно-строительного факультета
graduate student of the Department of Building Materials and Technologies of the Faculty of Architecture and Civil Engineering.
аспирант кафедры строительных материалов и технологии архитектурно-строительного факультета
In the literature, there are many studies of the representative volume of a composite material, in particular, those calculated using the formulas of Christensen, Voigt and Reiss. The aim of this work is to study the features of evaluating the set of forks of effective modules. Methods. On the basis of solving the Lame problem (for a thick-walled sphere), a spherical model of a representative volume (cell) of a composite material with a granular (spherical) filler is compiled and the value of the effective modulus of elasticity of a two-phase composite is determined. The study of the obtained formula for the effective modulus, expressed in dimensionless quantities, for the cell material revealed its identity with the R.M. Christensen’s formula, expressed in dimensional values, for the bulk modulus of composites with a spherical filler. In this case, Christensen’s solution was previously obtained by a different method when he considered the polydisperse model of the composite. The dimensionless form of the function (effective module) of three dimensionless parameters made it possible in flat spaces (two coordinate planes) to construct graphical images of the function of the named modules according to Christensen, which are compared and combined in one figure with similar images of the functions of estimating the values of the modules (real composites) according to Voigt and Reiss. Graphical studies in relation to the spherical representative volume model show that in the flat space of the set of Voigt - Reuss forks, these forks are not “narrowed”, but they are partially filled by the flat space of the set of Christensen - Reiss forks. The graphs of the functions of the modules, at the same time, form, simultaneously with the sets of two-toothed forks, a set of Voigt - Christensen - Reiss trident forks (tridents), which, depending on the size of the intervals of the numbers of the studied parameters, have “forks” of different sizes. Results. Graphic illustrations of numerical examples have been obtained showing that for given values of the module of the matrix and filler and the volume fraction of the latter, it is possible to determine the effective volumetric module and shear module of two-phase composites, and to perform a comparison with the conclusions of the applied plan. The dimensionless form of the obtained expressions makes it possible to solve the inverse problems of the mechanics of polydisperse composites, for example, to determine the volume module of the composite components by the effective modulus obtained by mechanical testing of standard samples.
В литературе приводится множество исследований представительного объема композитного материала, в частности рассчитываемых по формулам Кристенсена, Фойгта и Рейсса. Цель работы состоит в исследовании особенностей оценки множества вилок эффективных модулей. Методы. На базе решения задачи Ламе (для толстостенной сферы) компоновалась сферическая модель представительного объема (ячейки) композиционного материала с зернистым (сферическим) наполнителем и определялась величина эффективного модуля упругости двухфазного композита. Исследование полученной формулы эффективного модуля, выраженной в безразмерных величинах, для материала ячейки выявило ее идентичность с формулой Р.М. Кристенсена, выраженной в размерных величинах, для объемного модуля композитов со сферическим включением. При этом решение Кристенсена ранее было получено иным методом при рассмотрении им полидисперсной модели композита. Безразмерная форма функции (эффективного модуля) трех безразмерных параметров позволила в плоских пространствах (двух координатных плоскостей) построить графические образы функции названных модулей по Кристенсену, которые сопоставляются и совмещаются в одном рисунке с аналогичными образами функций оценок значений модулей (реальных композитов) по Фойгту и Рейссу. Графические исследования (применительно к сферической модели представительного объема) показывают, что в плоском пространстве множества вилок Фойгта - Рейсса имеет место не сужение этих вилок, а их частичное заполнение плоским пространством множества вилок Кристенсена - Рейсса. При этом графики функций модулей одновременно с множествами двузубых вилок образуют множества трезубых вилок (трезубцев) Фойгта - Кристенсена - Рейсса, которые в зависимости от величины интервалов чисел исследуемых параметров имеют вилки разной величины. Результаты. Получены графические иллюстрации численных примеров, демонстрирующие, что при заданных величинах модулей матрицы и заполнителя и объемной доли последнего можно определять эффективные объемные модули и модули сдвига двухфазных композитов, проводить сопоставление с выводами прикладного плана. Безразмерная форма полученных выражений позволяет решать обратные задачи механики полидисперсных композитов, например определять объемные модули компонентов композита по эффективным модулям, полученным механическими испытаниями стандартных образцов.