Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2447310.22363/1815-5235-2020-16-4-311-319Theory of elasticityТеория упругостиResearch ArticleStressed state of two-layer strip when interacting with rigid baseНапряженное состояние двухслойной полосы при взаимодействии с жестким основанием5677-6126BuldakovaJulia M.БулдаковаЮлия Михайловна

senior lecturer of the Department of Resistance of Materials and Applied Mechanics

старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и прикладной механики

KudryavcevSG@volgatech.net9756-6211KudryavtsevSergey G.КудрявцевСергей Геннадьевич

Associate Professor of the Department of Resistance of Materials and Applied Mechanics, Candidate of Technical Sciences

доцент кафедры сопротивления материалов и прикладной механики, кандидат технических наук

KudryavcevSG@volgatech.netVolga State University of TechnologyПоволжский государственный технологический университет15122020164VOL 16, NO4 (2020)ТОМ 16, №4 (2020)31131929082020Copyright ©; 2020, Buldakova J.M., Kudryavtsev S.G.Copyright ©; 2020, Булдакова Ю.М., Кудрявцев С.Г.2020Buldakova J.M., Kudryavtsev S.G.Булдакова Ю.М., Кудрявцев С.Г.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/24473

Relevance. In the calculation of multilayer bases, when the material of one or several layers has a pronounced anisotropy, the nature of the distribution of displacements and stresses depends on the direction of the anisotropy axes in each layer. Therefore, it is necessary to have an evaluation of the influence of this factor in the design and analysis of the operation of multilayer media. The aim of the work - to research the stress state in a strip composed of two anisotropic plane-parallel layers with different physical characteristics, lying without friction on a rigid base. Methods. The integration of the equations of the plane problem of the theory of elasticity of an anisotropic body is carried out by the symbolic method in combination with the method of initial functions. The initial functions on the contact line of the strip and the base are determined from the conditions of tight adhesion between the layers, the conditions of tight contact and the absence of friction between the strip and the base, the nature of the load applied to the upper plane of the strip. After transformations, the functions of displacements and stresses in each layer are written through the normal surface load in the form of improper integrals. Results. Plots of changes in stresses in the strip from the values of the characteristics of anisotropic materials, layer thicknesses are given. The maximum stresses on the interface line of the layers and on the line of contact with the base, depending on the direction of the anisotropy axes in each layer, are presented in the tables and shown in graphs. The effect of the elastic modules of materials on the nature of the stress distribution in a strip composed of two isotropic materials is estimated.

Актуальность. При расчете многослойных оснований, когда материал одного слоя или нескольких имеет выраженную анизотропию, характер распределения перемещений и напряжений в основании зависит от направления осей анизотропии в каждом слое. Поэтому при проектировании и анализе работы многослойных сред необходимо иметь оценку влияния данного фактора. Цель - исследовать напряженное состояние в полосе, составленной из двух с разными физическими характеристиками анизотропных плоскопараллельных слоев, лежащей без трения на жестком основании. Методы. Интегрирование уравнений плоской задачи теории упругости анизотропного тела проводится символическим методом в сочетании с методом начальных функций. Начальные функции на линии контакта полосы и основания определяются из условий жесткого сцепления между слоями, условий плотного контакта и отсутствия трения между полосой и основанием, характера нагрузки, приложенной к верхней плоскости полосы. После преобразований функции перемещений и напряжений в каждом слое записываются через нормальную поверхностную нагрузку в виде несобственных интегралов. Результаты. Представлены графики изменения напряжений в полосе от значений характеристик анизотропных материалов, толщины слоев. Максимальные значения напряжений на линии сопряжения слоев и на линии контакта с основанием, в зависимости от направления осей анизотропии в каждом слое, приведены в таблицах и показаны в виде графиков. Дана оценка влияния модулей упругости материалов на характер распределения напряжений в полосе, составленной из двух изотропных материалов.

displacement stressanisotropyelasticitybandlayerперемещениенапряжениеанизотропияупругостьполосаслойShehter O.Y. Raschet beskonechnoi fundamentalnoi pliti, lejaschei na uprugom osnovanii konechnoi i beskonechnoi moschnosti i nagrujennoi sosredotochennoi siloi [Calculation of an infinite fundamental plate lying on an elastic base of finite and infinite power and loaded with a concentrated force]. Sbornik trudov Nauchno-issledovatelskogo sektora Tresta glubinnih rabot [Collected Works of the Research Sector of the Trust of Deep Works]. Moscow, Leningrad: Stroiizdat Narkomstroya Publ.; 1939. p. 133–139. (In Russ.)Шехтер О.Я. Расчет бесконечной фундаментальной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой // Сборник трудов Научно-исследовательского сектора Треста глубинных работ. М. - Л.: Стройиздат Наркомстроя, 1939. С. 133-139.Rappoport R.M. Zadacha Bussineska dlya sloistogo uprugogo poluprostranstva [The Boussinesq problem for a layered elastic half-space]. Trudi Leningradskogo politehnicheskogo instituta [Proceedings of the Leningrad Polytechnic Institute]. 1948;(5):3–18. (In Russ.)Раппопорт Р.М. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства // Труды Ленинградского политехнического института. 1948. № 5. С. 3-18.Kogan B.I. Napryajeniya i deformacii mnogosloinih pokritii [Stresses and deformations of multilayer coatings]. Trudi HADI [Proceedings of HADI]. 1953;(14):33–46. (In Russ.)Коган Б.И. Напряжения и деформации многослойных покрытий // Труды ХАДИ. 1953. Вып. 14. С. 33-46.Vlasov V.Z., Leontev N.N. Balki, pliti i obolochki na uprugom osnovanii [Beams, plates and shells on an elastic base]. Moscow: Gos. izd. fiz.-mat. lit-ry. Publ.; 1960. (In Russ.)Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. 492 с.Uflyand Ya.S. Integralnie preobrazovaniya v zadachah teorii uprugosti [Integrated transformations in tasks of the theory of elasticity]. Moscow, Leningrad: AN SSSR Publ.; 1963. (In Russ.)Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М. - Л.: Изд-во АН СССР, 1963. 368 с.Garg N.R., Singh S.J. Residual response of a multilayered half- space to two-dimensional surface loads. Bull. Ind. Soc. Earthq. Tech. 1985;(22):39–52.Garg N.R., Singh S.J. Residual response of a multilayered half-space to two-dimensional surface loads // Bull. Ind. Soc. Earthq. Tech. 1985. No. 22. Pp. 39-52.Pan E. Static Green’s functions in multilayered half-spaces. Applied Mathematical Modelling. 1997;21(8):509–521.Pan E. Static Green’s functions in multilayered half-spaces // Applied Mathematical Modelling. 1997. Vol. 21. No. 8. Pp. 509-521.Torskaya E.V., Lushnikov N.A., Lushnikov P.A. Analysis of stress-strain state of multi-layer pavements. Journal of Friction and Wear. 2008;29(2):204–210. (In Russ.)Торская Е.В., Лушников Н.А., Лушников П.А. Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных дорожных одежд // Трение и износ. 2008. Т. 29. № 2. С. 204-210.Shirunov G.N. Method of initial functions in model of compression linearly deformable layered foundation under normal local load. Magazine of civil engineering. 2015;1(53): 91–96. (In Russ).Ширунов Г.Н. Метод начальных функций в модели упругого многослойного основания под действием нормальной локальной нагрузки // Инженерно-строительный журнал. 2015. № 1 (53). С. 91-96.Tarntira K., Senjuntichai T., Keawsawasvong S. Multilayered Elastic Medium under Axisymmetric Loading and Surface Energy. Advanced Materials and Engineering Materials VIII. 2019;814:320–326.Tarntira K., Senjuntichai T., Keawsawasvong S. Multilayered Elastic Medium under Axisymmetric Loading and Surface Energy // Advanced Materials and Engineering Materials VIII. 2019. Vol. 814. Pp. 320-326.Lehnickii S.G. Uprugoe ravnovesie transversalno-izotropnogo sloya i tolstoi pliti [The elastic equilibrium of a transversely isotropic layer and a thick plate]. Prikladnaya mehanika i matematika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics]. 1962;26(4):687–696. (In Russ.)Лехницкий С.Г. Упругое равновесие трансверсально-изотропного слоя и толстой плиты // Прикладная механика и математика. 1962. Т. 26. № 4. С. 687-696.Pan E. Static response of transversely isotropic and layered half-space to general surface loads. Phys. Earth Planet Inter. 1989;(54):353–363.Pan E. Static response of transversely isotropic and layered half-space to general surface loads // Phys. Earth Planet Inter. 1989. Vol. 54. Pp. 353-363.Garg N.R., Sharma R.K. Displacements and stresses at any point of a transversely isotropic multilayered half-space due to strip loading. Indian. J. Pure Appl. Math. 1991; 22(10):859–877.Garg N.R., Sharma R.K. Displacements and stresses at any point of a transversely isotropic multilayered half-space due to strip loading // Indian. J. Pure Appl. Math. 1991. No. 22 (10). Pp. 859-877.Garg N.R., Singh S.J., Manchanda S. Static deformation of an orthotropic multilayered elastic half-space by two-dimensional surface loads. Proceedings of the Indian Academy of Sciences – Earth and Planetary Sciences. 1991;100(2):205–218.Garg N.R., Singh S.J., Manchanda S. Static deformation of an orthotropic multilayered elastic half-space by two-dimensional surface loads // Proceedings of the Indian Academy of Sciences - Earth and Planetary Sciences. 1991. Vol. 100. Issue 2. Pp. 205-218.Krupoderov A.V. Fundamental solutions for transversely isotropic multilayered. News of the Tula State University. Sciences of Earth. 2011;(1):137–146. (In Russ.)Круподеров А.В. Фундаментальные решения для многослойных трансверсально изотропных оснований // Известия ТулГУ. Науки о Земле. 2011. № 1. С. 137-146.Kudryavtsev S.G., Buldakova J.M. Interaction of anisotropic band and rigid base. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2012;(4):29–35. (In Russ.)Кудрявцев С.Г., Булдакова Ю.М. Взаимодействие анизотропной полосы и жесткого основания // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2012. № 4. С. 29-35.Ai Z.Y., Cang N.R., Han J. Analytical layer-element solutions for a multi-layered transversely isotropic elastic medium subjected to axisymmetric loading. Journal of Zhejiang University Science A. 2012;13(1):9–17.Ai Z.Y., Cang N.R., Han J. Analytical layer-element solutions for a multi-layered transversely isotropic elastic medium subjected to axisymmetric loading // Journal of Zhejiang University Science A. 2012. Vol. 13. No. 1. Pp. 9-17.Lin C. Green’s function for a transversely isotropic multilayered half-space: an application of the precise integration method. Acta Mechanica. 2015;226(11):3881–3904.Lin C. Green’s function for a transversely isotropic multilayered half-space: an application of the precise integration method // Acta Mechanica. 2015. Vol. 226. No. 11. Pp. 3881-3904.Kudryavtsev S.G., Buldakova J.M. Stress-strain state of two-layered anisotropic foundation. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2015;(5):9–20. (In Russ.)Кудрявцев С.Г., Булдакова Ю.М. Напряженное и деформированное состояние двухслойного анизотропного основания // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2015. № 5. С. 9-20.Liu J., Zhang P., Lin G., Li C., Lu S. Elastostatic solutions of a multilayered transversely isotropic piezoelectric system under axisymmetric loading. Acta Mechanica. 2017;228(1):107–128.Liu J., Zhang P., Lin G., Li C., Lu S. Elastostatic solutions of a multilayered transversely isotropic piezoelectric system under axisymmetric loading // Acta Mechanica. 2017. Vol. 228. Issue 1. Pp. 107-128.Lehnickii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela [Theory of elasticity of an anisotropic body]. Moscow: Nauka Publ.; 1977. (In Russ.)Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.