Structural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsStructural Mechanics of Engineering Constructions and BuildingsСтроительная механика инженерных конструкций и сооружений1815-52352587-8700Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2071910.22363/1815-5235-2019-15-1-62-68Numerical methods of structures’ analysisЧисленные методы расчета конструкцийResearch ArticleSimulation of an incomplete algebraic problem of eigenvalues and vectors by the method of frequency-dynamic condensation based on FEM in the form of the classical mixed methodМоделирование неполной алгебраической проблемы собственных значений и векторов методом частотно-динамической конденсации на основе МКЭ в форме классического смешанного метода9405-9800IgnatyevAlexander VИгнатьевАлександр Владимирович

PhD in Technical Sciences, Associate Professor, Department of Automated Systems Software

кандидат технических наук, доцент кафедры программного обеспечения автоматизированных систем

alignat@gmail.comChumakovArtem VЧумаковАртем Владимирович

master student of the Department of Software of Automated Systems

магистрант кафедры программного обеспечения автоматизированных систем

chumakovtema@gmail.comGilkaVadim VГилкаВадим Викторович

master student of the Department of Software of Automated Systems

магистрант кафедры программного обеспечения автоматизированных систем

gilka_vv@mail.ruVolgograd State Technical UniversityВолгоградский государственный технический университет15122019151VOL 15, NO1 (2019)ТОМ 15, №1 (2019)626813032019Copyright ©; 2019, Ignatyev A.V., Chumakov A.V., Gilka V.V.Copyright ©; 2019, Игнатьев А.В., Чумаков А.В., Гилка В.В.2019Ignatyev A.V., Chumakov A.V., Gilka V.V.Игнатьев А.В., Чумаков А.В., Гилка В.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/structural-mechanics/article/view/20719

Relevance . Dynamic analysis of complex structures using numerical methods leads to the solution of the algebraic problem of eigenvalues and the corresponding eigenvectors of high orders. The solution of this problem for high order matrices is performed using reduction methods. One of the most effective methods is the method of sequential frequency-dynamic condensation, which allows partial consideration of the dynamic properties of the structure in the minor degrees of freedom. This allows for more accurate results compared to static condensation. Frequency-dynamic condensation is traditionally used to reduce frequency equations derived from the finite element method in the form of the displacement method or the force method. Methods. The authors have developed an algorithm for the frequency-dynamic condensation method for the frequency equation obtained on the basis of the FEM in the form of the classical mixed method. That allows to obtain not only the spectrum of the lower vibration frequencies, but also the corresponding vibration modes and the stress-strain state of the structure. Results . This article describes the algorithm and its practical implementation in the problem of dynamic analysis of a rectangular plate. The results of the numerical analysis of the problem are presented. An assessment of the accuracy of the method and recommendations for its use are given.

Актуальность. Динамический анализ сложных конструкций при помощи численных методов приводит к решению алгебраической проблемы собственных значений и соответствующих им собственных векторов высоких порядков. Решение этой задачи для матриц высоких порядков выполняется с использованием редукционных методов. Одним из наиболее эффективных является метод последовательной частотно-динамической конденсации, позволяющий частичный учет динамических свойств конструкции во второстепенных степенях свободы. Это позволяет получить более точные результаты по сравнению со статической конденсацией. Частотно-динамическая конденсация традиционно используется для редуцирования частотных уравнений, полученных на основе метода конечных элементов в форме метода перемещений или метода сил. Методы. Авторами разработан алгоритм метода частотно-динамической конденсации для частотного уравнения, полученного на основе метода конечных элементов (МКЭ) в форме классического смешанного метода, позволяющий получить не только спектр низших частот колебаний, но и соответствующие им формы колебаний и напряженно-деформированное состояние конструкции. Результаты. В статье приведены описание алгоритма и его практическая реализация в задаче динамического расчета прямоугольной пластины. Представлены результаты численного расчета задачи. Дана оценка точности метода, и приведены рекомендации по его использованию.

finite elements method in the form of the classical mixed methodalgebraic eigenvalues and eigenvectors problemfrequency-dynamic condensationметод конечных элементов в форме классического смешанного методаалгебраическая проблема собственных значений и собственных векторовчастотно-динамическая конденсацияChoi J.H., Kim H., Cho M. (2008). Iterative method for dynamic condensation combined with substructuring scheme. Journal of Sound and Vibration, 317(1), 199–218.Choi J.H., Kim H., Cho M. Iterative method for dynamic condensation combined with substructuring scheme // Journal of Sound and Vibration. 2008. Vol. 317. No. 1. Pp. 199-218.Vol'mir A.S., Terskih V.N. (1979). Issledovanie dinamiki konstrukcij iz kompozitnyh materialov na osnove metoda superehlementov [The investigation of the dynamics of structures made of composite materials based on the super-elements method]. Mekhanika kompozitnyh materialov [Mechanics of composite materials], (4), 652– 655. (In Russ.)Вольмир А.С., Терских В.Н. Исследование динамики конструкций из композитных материалов на основе метода суперэлементов // Механика композитных материалов. 1979. № 4. С. 652 - 655.Vol'mir A.S., Kuranov B.A., Turbaivskij A.T. (1989). Statika i dinamika slozhnyh struktur: prikladnye mnogourovnevye metody issledovanij [Statics and dynamics of complex structures: Applied multilevel research methods]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 248. (In Russ.)Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. М.: Машиностроение, 1989. 248 с.Tyuhanov V.V. (2011). Metod resheniya zadach dinamiki plastinok slozhnoj formy [The method of solving problems of dynamics of plates of complex shape] // Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki [Natural sciences. Journal of fundamental and applied researches], (1), 138–144. (In Russ.)Тюханов В.В. Метод решения задач динамики пластинок сложной формы // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. № 1. С. 138-144.Ignat'ev V.A., Romashkin V.N. (2014). Opredelenie reducirovannogo spektra chastot i form svobodnyh kolebanij sistem s bol'shim chislom stepenej svobody na osnove splajn-kollokacionnoj kondensacii [Determination of the reduced frequency spectrum and forms of free vibrations of systems with a large number of degrees of freedom based on spline-collocation condensation]. Bulletin of Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series: Construction and Architecture, 35(54), 140–152. (In Russ.)Игнатьев В.А., Ромашкин В.Н. Определение редуцированного спектра частот и форм свободных колебаний систем с большим числом степеней свободы на основе сплайн-коллокационной конденсации // Вестник ВолгГАСУ. Сер.: Строительство и архитектура. 2014. Вып. 35 (54). C. 140-152.Karpov D.V. (2002). Razvitie metoda reducirovannyh ehlementov dlya rascheta regulyarnyh sterzhnevyh sistem i analiza ploskih temperaturnyh polej (dis.. kand. tekhn. nauk) [Development of the reduced elements method for regular core systems and plane temperature fields analysis (PhD thesis)]. Vladivostok, 209. (In Russ.)Карпов Д.В. Развитие метода редуцированных элементов для расчета регулярных стержневых систем и анализа плоских температурных полей: дис.. канд. техн. наук. Владивосток, 2002. 209 с.Hurty W.C. (1965). Dynamic analysis of structural systems using component modes. AIAA Journal, 3(4), 678–685.Hurty W.C. Dynamic analysis of structural systems using component modes // AIAA Journal. 1965. Vol. 3. No. 4. Pp. 678-685.Craig R., Bampton M. (1968). Coupling of Substructures for Dynamic Analysis. Am. Inst. Aero. Astro. J., 6(7), 1313–1319.Craig R., Bampton M. Coupling of Substructures for Dynamic Analysis // Am. Inst. Aero. Astro. J. 1968. Vol. 6. No. 7. Pp. 1313-1319.Craig R.R. (1995). Substructure method in vibration. J. Vib. Acoust., 117(B), 207–213.Craig R.R. Substructure method in vibration // J. Vib. Acoust. 1995. No. 117(B). Pp. 207-213.Papadimiriou C., Papadioti D.C. (2013). Component mode synthesis technique for finite element model updating. Comput. Struct., (126), 15–28.Papadimiriou C., Papadioti D.C. Component mode synthesis technique for finite element model updating // Comput. Struct. 2013. 126. Pp. 15-28.Hou G., Maroju V. (1995). Component mode synthesis-based design optimization method for local structural modification. Struct. Optim., (10), 128–136.Hou G., Maroju V. Component mode synthesisbased design optimization method for local structural modification // Struct. Optim. 1995. 10. Pp. 128-136.Lall S., Marsden J. E., Glavaski S. (2002). A subspace approach to balanced truncation for model reduction of nonlinear control system. Int. J. Robust. Nonlinear Control., 12(6), 519–535.Lall S., Marsden J.E., Glavaski S. A subspace approach to balanced truncation for model reduction of nonlinear control system // Int. J. Robust. Nonlinear Control 2002. 12(6). Pp. 519-535.Bourquin F. (1990). Analysis and comparison of several component mode synthesis methods on one dimensional domains. Numer. Math., 58(1), 11–33.Bourquin F. Analysis and comparison of several component mode synthesis methods on one dimensional domains // Numer. Math. 1990. 58(1). Pp. 11-33.Kim J.G., Lee P.S. (2015). A posteriori error estimation method for the flexibility-based component mode synthesis. AIAA J., 53(10), 2828–2837.Kim J.G., Lee P.S. A posteriori error estimation method for the flexibility-based component mode synthesis // AIAA J. 2015. 53 (10). Pp. 2828-2837.Bennighof J.K., Lehoucq R.B. (2004). An automated multi-level substructuring method for eigenspace computation in linear elastodynamics. SIAM J. Sci. Comput., 25(6). 2084–2106.Bennighof J.K., Lehoucq R.B. An automated multilevel substructuring method for eigenspace computation in linear elastodynamics // SIAM J. Sci. Comput. 2004. 25 (6). Pp. 2084-2106.Kim J.G., Lee P.S. (2015). An enhanced Craig – Bampton method. Intl. J. Numer. Methods Eng., (103), 79–93.Kim J.G., Lee P.S. An enhanced Craig - Bampton method // Intl. J. Numer. Methods Eng. 2015. 103. Pp. 79-93.Kim J.G., Boo S.H., Lee P.S. (2015). An enhanced AMLS method and its performance. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., (287), 90–111.Kim J.G., Boo S.H., Lee P.S. An enhanced AMLS method and its performance // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2015. 287. Pp. 90-111.Rabczuk T., Belytschko T. (2005). Adaptivity for structured meshfree particle methods in 2D and 3D. Intl. J. Numer. Methods Eng., 63(11), 1559–1582.Rabczuk T., Belytschko T. Adaptivity for structured meshfree particle methods in 2D and 3D // Intl. J. Numer. Methods Eng. 2005. 63 (11). Pp. 1559-1582.Belostockij A.M., Dubinskij S.I., Potapenko A.L. (2006). Metody dinamicheskogo sinteza podkonstrukcij v zadachah modelirovaniya slozhnyh inzhenernyh system [Dynamic synthesis Methods of substructures in the problems of modeling complex engineering systems]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzhenij [Structural Mechanics and Analysis of Constructions], (10), 99–110. (In Russ.)Белостоцкий А.М., Дубинский С.И., Потапенко А.Л. Методы динамического синтеза подконструкций в задачах моделирования сложных инженерных систем // Строительная механика и расчет сооружений. 2006. № 10. C. 99-110.Belostockij A.M., Potapenko A.L. (2011). Submodeling and dynamic synthesis of substructures methods realizations in multipurposes and objectoriented program packages. Int. Jorn. for Computational Civil and Structural Engineering, 7(1), 76–83. (In Russ.)Белостоцкий А.М., Потапенко А.Л. Реализация и верификация методов субмоделирования и динамического синтеза подконструкций в универсальных и специализированных программных комплексах // Int. Jorn. for Computational Civil and Structural Engineering. 2011. Vol. 7. Iss. 1. Pp. 76-83.Ignatyev V.A. (1992). Redukcionnye metody rascheta v statike i dinamike plastinchatyh sistem [Reduction analysis methods in statics and dynamics of plate systems]. Saratov: SGU Publ., 142. (In Russ.)Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов: СГУ, 1992. 142 с.Ignatyev V.A., Romashkin V.N. (2010). Posledovatel'naya chastotno-dinamicheskaya kondensaciya. Materialy nauch.-tekhn. internet-konferencii [Sequential frequencydynamic condensation. Materials of scientific and technical Internet conference]. Volgograd: VolgGASU Publ., 63–87. (In Russ.)Игнатьев В.А., Ромашкин В.Н. Последовательная частотно-динамическая конденсация // Материалы науч.-техн. интернет-конференции. Волгоград: ВолгГАСУ, 2010. С. 63-87.Ignatyev V.A. (2011). Modificirovannyj metod posledovatel'noj chastotno-dinamicheskoj kondensacii [Modified method of sequential frequency-dynamic condensation]. Academia. Arhitektura i stroitel'stvo, (2), 100–103. (In Russ.)Игнатьев В.А. Модифицированный метод последовательной частотно-динамической конденсации // Academia. Архитектура и строительство. 2011. № 2. С. 100-103.Ignatyev V.A., Chanturidze A.U. (2011). Metod chastotno-dinamicheskoj kondensacii [Modified method of sequential frequency-dynamic condensation]. Vestnik VolgGASU, 24(43), 46–53. (In Russ.)Игнатьев В.А., Чантуридзе А.У. Метод частотно-динамической конденсации // Вестник ВолгГАСУ. 2011. Вып. 24 (43). С. 46-53.Romashkin V.N. (2013). Superehlementnaya formulirovka metoda chastotno-dinamicheskoj kondensacii. Internet-vestnik VolgGASU. Seria Multitematiceskaa, 1(25). http://vestnik.vgasu.ru/attachments/Romashkin-2013_1(25).pdf (In Russ.)Ромашкин В.Н. Суперэлементная формулировка метода частотно-динамической конденсации // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Серия: Политематическая. 2013. Вып. 1 (25). URL: http://vestnik.vgasu.ru/attachments/ Romashkin-2013_1(25).pdfGuyan R. J. (1965). Reduction of Stiffness and Mass Matrices. AIAA Journal, 3(2), 380.Guyan R.J. Reduction of Stiffness and Mass Matrices // AIAA Journal. 1965. Vol. 3. No. 2. P. 380.Ignatyev V.A., Ignatyev A.V., Zhidelev A.V. (2006). Smeshannaya forma metoda konechnyh ehlementov v zadachah stroitel'noj mekhaniki [Mixed form of the finite element method in problems of structural mechanics]. Volgograd: VolgGASU Publ., 171. (In Russ.)Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жиделев А.В. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики. Волгоград: ВолгГАСУ, 2006. 171 с.Gabova V.V. (2011). Primenenie smeshannoj formy MKEH k raschetam sterzhnevyh sistem (Dis. …kand. tekhn. nauk) [Application of the mixed form of the FEM to analysis of truss structures (PhD thesis)]. Institute of Architecture and Civil Engineering of Volgograd State Technical University. (In Russ.)Габова В.В. Применение смешанной формы МКЭ к расчетам стержневых систем: дис. … канд. техн. наук. Волгоград: Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет, 2011.Ignatyev V.A. (1973). Raschet regulyarnyh sterzhnevyh system [Design of regular truss systems]. Saratov: Rotaprint SVVU Publ., 433. (In Russ.)Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем. Саратов: Ротапринт СВВУ, 1973. 433 с.