# Principle of the overlay deformations in the theory of creep

## Abstract

The aim of the research is to justify in the non-linear statement the overlay principle of fraction creep deformation, known in the linear creep theory as Bolzmann’s principle of superposition. Methods. In contrast to the traditional approach the material of constructive elements is considered as an union of its links with statistical disturbed strength. The model of structural strength allows the deduction of rheological equations. In loading process so called structural stresses of capable to resist links are considered. Results. The modification Bolzmann’s principle of superposition for fraction creep deformations is proposed. This permits its applicability also under non-linearly dependence of deformations on stresses. In according to concept of the statistical distribution of the strengths of links and linear dependence of determinations on structural stresses the rheological of mechanical statement is reduced. This equation implies the suitable on relation problems the linear integral equation. The relation of structural strength of material with its energy of entirety and with the experimentally known independency of specific to strength deformation on age of concrete is showed. The correct interpretations of certain known mechanical state equations for concrete are represented.

## Full Text

Введение 1 В представленной работе наряду с некоторыми вопросами теории ползучести строительных ма- териалов (бетон, сталь, дерево, пластмасса) рассматривается значимый для этой теории принцип наложения деформаций и, в частности, корректность его применения. Принцип наложения заключается в суммировании в некоторый момент времени частичных приращений деформаций, порожденных последовательными предыдущими приращениями напряжений. Полное приращение деформации ползучести при условии взаимонезависимости частичных приращений определяется их суммой, согласно известному в теории линейной ползучести принципу суперпозиции Л. Больцмана. Это условие необходимо для применимости принципа наложения как принципа линейной суперпозиции. Следовательно, использование этого принципа в качестве принципа суперпозиции Л. Больцмана для взаимозависимых частичных приращений является некорректным и влечет ошибочные результаты. Например, перераспределение напряжений вследствие структурных повреждений при возрастающем нагружении влечет увеличение каждого частичного приращения деформации при последующих частичных приращениях напряжения, и условие взаимонезависимости не выполняется. Это обстоятельство приводит к необходимости модификации принципа суперпозиции Л. Больцмана для его применимости и при нелинейной зависимости деформаций от напряжений. Полная деформация при одноосном нагружении представляет сумму мгновенной деформации и деформации ползучести, определяемых наряду с нагружением модулем упругости и мерой ползучести соответственно. Выделение в некоторых работах части мгновенной деформации, отвечающей эволюции модуля упругости, влечет такое представление уравнения состояния, которое позволяет ошибочные выводы при его некорректной интерпретации. Данная работа касается и этого вопроса. Теории ползучести строительных материалов посвящено большое количество работ, значимые из которых принадлежат, например, Г.Н. Маслову, Н.Х. Арутюняну, С.В. Александровскому, А.А. Гвоздеву, В.М. Бондаренко, П.И. Васильеву, В.Г. Назаренко, Ю.Н. Работнову, А.Р. Ржаницыну, Р.С. Санжаровскому [2-11]. В неравновесном процессе силового деформирования ползучесть играет существенную роль. дификацию принципа суперпозиции Л. Больцмана и тем самым применение принципа наложения частичных деформаций ползучести и при нелинейной зависимости деформаций от напряжений. Часть мгновенной деформации, отвечающей эволюции модуля упругости, в некоторых работах добавляется к деформации ползучести, а потому корректная запись уравнения состояния получается лишь при вычитании из мгновенной деформации отмеченной выше ее части. При этом к мере ползучести, естественно, добавляется мера эволюции модуля упругости, и потому интерпретация такого уравнения состояния без указанной добавки не является корректной. Соотнесение части мгновенной деформации с деформациями ползучести не является целесообразным, так как добавление этой части с вычитанием ее из мгновенной деформации приводит к равносильному уравнению механического состояния. Кроме того, эта операция из-за опечаток в обозначениях в некоторых работах влечет некорректные интерпретации. В [2; 3] мгновенные деформации представлены с учетом эволюции модуля упругости, что исключает добавление к мере ползучести меры этой эволюции, а в формулах (2.90) и (2.93) из [2] величины С* (t,τ) и С(t, t) перепутаны местами. 1. Уравнения состояния в линейной постановке Реологическое уравнение механического состояния выводится при одноосном нагружении конструктивного элемента (балка, колонна). По- Напомним, что ползучесть - это явление приростоянное на промежутке времени t £ τ £ t ста при τ > t0 начальной деформации, порожден- напряжение o (τ) 0 порождает относительную деной нагружением в момент τ = t0 . Принципиально важным является применение принципа наложения частичных деформаций ползучести при выводе реологического уравнения ме- формацию ε (t, t ) = σ(t ) + C (t, t )σ(t ) ханического состояния материала. В линейной постановке эти частичные деформации взаимонеза- 0 E(t ) 0 0 , (1) висимы, и их сумма представляет полное прирагде E(t) - модуль упругости; C0 (t, t0 ) - мера щение деформации ползучести. В этом состоит известный в линейной теории ползучести принцип ползучести материала в момент τ = t жении в момент τ = t при нагрусуперпозиции Л. Больцмана. В работах [9-11] в отличие от традиционного подхода применяется кон- 0 Величины цепция прочностной структуры строительных материалов. Статистическое распределение прочно- ε (t ) = σ(t ) и ( ) ( ) ( ) стей образующих материалов звеньев порождает М E(t ) εП t = C0 t, t0 σ t (2) перераспределение нагружения на способные к силовому сопротивлению звенья, и взаимонезависимость частичных приращений деформации ползучести имеет место лишь относительно приращений напряжения на целых звеньях. Это допускает мопредставляют мгновенную деформацию и деформацию ползучести соответственно. Деформация ползучести Dε (t, t0 ) , отвечающая ступенчатому приросту n σ(t ) t ¶C (t, τ) Dσ = åDσ(τi ) (3) ε (t ) = - òσ(τ) 0 dτ . (9) i=1 t E(t ) ¶τ 0 напряжения § (τ) , определяется на основе прин- Мера ползучести ( ) ципа суперпозиции Л. Больцмана [1] наложением C0 t,τ принимается в виде в момент τ = t взаимонезависимых частичных при- ( ) ( * ) ( ) ( ) ращений ползучести C0 t,τ = C0 ¥, t ×W τ f t - τ , (10) DεП (t, τi ) = C0 (t, τi )Dσ(ti ). (4) где W(τ) - функция старения; f (t - τ) - функция наследственности; τ = t* - момент готовности Согласно Л. Больцману, частичное приращение строительного материала (для бетона t* = 28 су- DεП (t, τi ) определяется лишь величиной Dσ(τi ) ток); C (¥, t* ) = lim C (t, t* ). и его продолжительностью (t - τi ) и не зависит 0 t®¥ 0 σ(t) от остальных приращений Dσ(τ j ) , j ¹ i. Это Согласно равенству ε(t, τ) = + E(t) σ(t)C0 (t, τ) обстоятельство позволяет нахождение DεП (t, t0 ) при заданном напряжении σ(τ) мгновенная дефорналожением по τ деформаций DεП (t, τi ) и тем мация ( ) ( ) самым εМ t, τ и деформация ползучести εП t, τ n DεП (t, t0 ) = åC0 (t, τi )Dσ (τi ) . (5) i=1 определяются соответственно параметрами E(τ) и C0 (t,τ) . В общем случае напряжение σ(τ) является Влияние эволюции модуля упругости E(τ) кусочно-непрерывной функцией, а (5) представляет на деформацию εМ (t, τ) задается величиной интегральную сумму для функции C0 (t,τ) . Переходя в (5) к пределу при max Dσ(τi ) ¾n¾®¥¾® 0 , СE (t,τ) = 1 E(t ) - 1 E(τ) , и приращению Dσ(τi ) получим t напряжения σ(τ) сопоставим деформацию DεП (t, t0 ) = ò C0 (t, τ) dσ(τ) . (6) % é 1 1 ù t0 DεE (t, τi ) = ê - ú Dσ(τi ) . (11) E(t ) E(τ ) Интегрируя (6) по частям, имеем ë i û n DεП (t, t0 ) = ëéC0 (t, t ) - C0 (t, t0 )ùû σ(t0 ) - Напряжению Dσ(t, t0 ) = åDσ(τi ) i=1 соответ- * t ò - σ(τ) ¶C0 (t,τ) t ¶τ dτ. (7) ствует деформация n é 1 1 ù 0 D% ε (t, t ) = - Dσ(τ ) . (12) Ε 0 åêE E ú i Здесь C0 (t, t) так называемая кратковременi=1 ë (t ) (τi ) û ная ползучесть. Величина C0 (t, t) эксперименталь- Переходя в (12) к пределу, получим равенство но неопределима и как в большинстве работ по t é ù теории ползучести положим C0 (t, t) = 0 . DεE (t, t0 ) = ò ê 1 E(t ) - 1 E(τ) ú dσ(τ) , (13) С учетом порожденной напряжением ползучести получим § (t0 ) t0 ë û а после его интегрирования по частям t ¶C (t,τ) ε (t ) = -òσ(τ) 0 dτ . (8) t ¶ é 1 ù П ¶τ DεE (t, t0 ) = òσ(τ) ¶ êE( ) ú d (τ) t0 Добавляя к εП (t ) мгновенную деформацию, 0 t τ ë τ û é 1 1 ù выводим реологическое уравнение механического состояния материала при одноосном нагружении: ë û - êE(t ) - E(τ)ú σ(t0 ) . (14) С учетом деформации, отвечающей изменению Добавление к C0 (t,τ) слагаемого CE (t,τ) E(τ) на промежутке [t0 , t ] при σ(τ)=σ(t0 ) , имеем, отражает влияние твердения материала на упругое что часть мгновенной деформации εМ (t ) , соответдеформирование [2]. Заметим, что в [2; 3] C0 (t,τ) ствующая эволюции E(τ) , выражается величиной и C (t,τ) обозначены соответственно C (t,τ) и t ¶ é 1 ù C* (t,τ) , причем εE (t ) = òσ(τ) ¶τ êE(τ)ú d (τ) . (15) C* t,τ = 1 - 1 § C t,τ . (18) t0 ë û ( ) E(τ) E(t ) ( ) Равенство (15) можно вывести и следующим C t,τ = 1 - 1 получим ε% (t ) = образом. За время Dτi = τi+1 - τi напряжение При % ( ) ( ) ( ) E σ(τi ) порождает деформацию E E τ E t t é 1 1 ù = -òσ(τ) ¶ é 1 ù dτ, и уравнение (9) представ- ë û t DεE (τ,τi ) = ê - ú σ(τi ) = E(τ) E(τ ) ¶τ êE(τ)ú 0 ë i û ¶ é 1 ù ляется в виде t = ê ú ¶τ E(τ) ×Dτi ×σ(τi ), (15.1) ε (t ) = σ(t ) + òσ(τ) ¶ é 1 ù dτ - . ë ûτ=ζ где τi < ζ < τ . t E(t ) 0 t ¶ é ë û ¶τ êE(τ)ú 1 ù Согласно (15.1), имеем -òσ(τ) ¶τ êE(τ) + C0 (t, τ)ú dτ (19) ¶ é 1 ù t0 ë û dεE (τ) = σ(τ) ê ú dτ ¶τ E(τ) Равносильные уравнения (9), (17) и (19) озна- ë û чают, что добавление части εE (t ) деформации и снова получим (15). В силу (15) величина εМ (t ) к деформации εП (t ) возможно лишь при σ(t ) ε (t ) ε (t ) σ(t ) t ò σ(τ) ¶ é 1 ù d (τ) вычитании этой части из εМ (t ) = . E(t ) М - E = t E(t ) 0 ë û ¶τ êE(τ)ú (16) В силу (19) равенства есть часть мгновенной деформации без учета эво- σ(t) t ¶ é 1 ù люции модуля упругости E(τ) . Представим с ε(t) = - E(t) ë û òσ(τ) ¶τ êE(τ) +C0 (t, τ)ú dτ , (20) ¶ é 1 ù t0 o t t ¶ æ 1 ö учетом ê ú = 0 уравнение (9) в виде ε (t ) = ( ) - òσ(τ) ç ÷ dτ - ¶τ ëE(t ) û t E(t ) 0 è ø ¶τ ç E(τ) ÷ ε (t ) = σ(t ) t òσ(τ) ¶ é 1 ù dτ t -òσ(τ) ¶C0 (t,τ) dτ (21) E(t ) 0 ë û t t 0 ¶τ êE(τ)ú ¶τ t ¶ é 1 1 ù не имеют места. Действительно, согласно (21), вы- -òσ(τ) ¶τ êE(t ) - E(τ) + C0 (t, τ)ú dτ (17) читание из деформации εМ (t ) величины εΕ (t ) t0 ë û Величина без ее добавления к εП (t ) сохраняет равенство 1 - 1 + = + ε (t ) = εМ (t ) + εП (t ) , что невозможно. Замечание 1. Утверждение в [4], [17] об оши- C (t,τ) = E(t) E(τ) C0 (t,τ) C0 (t,τ) CE (t,τ) бочности уравнения (17) в силу вида C (t,τ) = является суммой меры ползучести C0 (t,τ) и меры = 1 - 1 § C (t,τ) не является корректным. CE (t,τ) влияния эволюции E(τ) . ( ) ( ) E t E τ 0 Это утверждение справедливо лишь в отношении уравнения (21). Уравнение ползучести бетона в работе [16] представлено в виде ε (t ) = éëεМ (t ) - εП (t )ùû + éëεП (t ) + εΕ (t )ùû , (26) ε ( ) σ( ) ( , ) t σ(τ) ¶J (t, t0 ) τ; сопутствующее общей мере C (t,τ) = C0 (t,τ) + t = t0 J t t0 + ò t0 d (22) ¶τ +CE (t,τ) этих деформаций, приводит лишь к J (t,τ) = 1 + C (t,τ) , E(τ) путанице в обозначениях и не является целесообразным. Следует подчеркнуть, что мера 1 C (t,τ) есть равносильном уравнению (9) при C (t,τ) = - E(t ) сумма различных по своей физической природе мер C0 (t,τ) 1 и CE (t,τ) и не может являться мерой § + C (t,τ) , и только в этом случае приме- E(τ) 0 ползучести. Гипотеза, что C (t,τ) § это мера полняется принцип наложения и получается корректное уравнение. зучести, приводит к некорректному уравнению (21), содержащему (согласно классификации в [17]) три вида ошибок: Согласно (20), имеем уравнение 1. неверное определение значения εМ (t ) ; ε (t ) σ(t ) t σ(τ) ¶ é 1 ù C (t, τ) dτ 2. неправильное нахождение выражения ядра = - ò ê + ú , (23) t E(t ) 0 ¶τ ëE(τ) û 1 1 ползучести; 3. ошибочное причисление к деформациям ползучести мгновенных упругих деформаций. которое при C (t,τ) = - + C (t,τ) E(t ) E(τ) 0 рав- В [17] полагают, что источником перечисленных ошибок является не указанная выше интерпреносильно уравнению (9), а при C (t,τ) = C0 (t,τ) неверному равенству (21). В работе [11] в нелинейной постановке с учетом эволюции E(τ) получено уравнение тация C (t,τ) , а принцип наложения деформаций ползучести. Замечание 3. Принцип наложения взаимонезависимых частичных деформаций ползучести (известный в линейной постановке как принцип суt ε (t ) = σ c (t ) - é 1 ù § C (t, τ) dσ (τ) перпозиции Больцмана) применяется для опредеt ë û E(t ) ò êE(τ) ú c 0 , (24) ления деформаций ползучести при переменном напряжении σ (τ) и не имеет отношения к ошибочприводящееся аналогично уравнению (23) при гипотезе C (t, t) = 0 к виду ной операции éëεП (t) + εΕ (t)ûù прибавления дефор- ε ( ) σc (t ) t ò o (τ) ¶C0 (t, τ) τ мации εE (t ) к деформации εП (t ) без ее вычитаt = t E(t ) c 0 d . (25) ¶τ ния из мгновенной деформации εМ (t ) . Здесь σс (t ) так называемое структурное на- Замечание 4. В работе [4] полагают, что второе слагаемое в (17) лишнее, появившееся из-за пряжение. Замечание 2. В работе [17], неверно полагая пренебрежения эволюцией E(τ) в мгновенной де- (как и в случае линейной постановки) отсутствие формации εМ (t ) . На самом деле как раз учет эвов функции C (t,τ) = C0 (t,τ) + CE (t,τ) слагаемо- люции упругой податливости 1 порождает го CE (t,τ) , утверждается ошибочность уравне- часть E(τ) εМ (t ) , и, согласно соотношению dε (τ) = ния (24). Согласно соотношению ε (t ) = σ(t ) + E(t ) ¶ æ σ(τ) ö = çç ÷÷ dτ , имеем +C (t,τ)σ(t ) , эволюция E(τ) порождает часть ¶τ è Ε (τ) ø εE (t ) именно мгновенной деформации, в арифме- ε (t ) = ε (t ) + t dσ(τ) t ò + ò ç σ(τ) ¶ çæ 1 ö ÷÷ dτ . тическом прибавлении которой к деформации пол- М М 0 t t E(τ) 0 0 ¶τ è E(τ) ø зучести εП (t ) нет необходимости. Представление Последнее слагаемое этого равенства является упругопластической деформацией εE (t ) . Эта часть мгновенной деформации добавлена к деформации полконстатируется, что мгновенная деформация εМ (t ) определяется (наряду с силовым нагружением при зучести. Поскольку ε ( ) t dσ (τ) ε ( ) t = τ ) величиной модуля E (t) при любой эво- М 0 ò E(τ) М E τ [t , t ] t + = t t0 люции ( ) в промежутке 0 . t ¶ æ 1 ö В частности, при E(τ) = E(t ) приращение -òσ(τ) ¶τ çç E(τ) ÷÷ dτ и ε (t ) = εМ (t ) + εП (t ) t0 è ø DεМ (t, t0 ) , порожденной любым режимом прирапервые два слагаемых представляют мгновенную деформацию без учета эволюции E(τ) . Существенным поводом для критических замеt щения нагружения Dσ(t ) = ò dσ(τ) в линейной поt0 t чаний в [17] послужило представление уравнения становке, определяется равенством Dε (t,t ) = σ(τ) t М 0 ò , ε (t ) σ (t ) σ(τ) ¶C (t, τ) dτ t E(t) = - ò (27) 0 в виде t E(t ) ¶τ 0 а в нелинейной [2] Dε t М (t,t0 ) = ò t0 SM (τ) E(t ) , где SM (τ) - ε (t ) ò σ (t ) t - σ(τ) ¶ æ 1 ö dτ функция напряжений мгновенных деформаций. = t E(t ) 0 è ø ¶τ çç E(τ) ÷÷ Поскольку t t S (τ) S (τ) t ¶ é 1 ù t § σ(τ) ¶C (t,τ) τ ò M M ò , (31) ò ¶ d , (28) = - S M (τ) ê ú dτ t τ t EM (τ) t EM (τ) t ¶τ ëE(τ)û 0 допускающем при отсутствии пояснения структуры его слагаемых интерпретацию, приводящую 0 0 0 то приведенные в [2] равенства (2.86) и t к противоречию. SM 1 1 é σ(τ) ù t t Источником представления (28) является ò E (τ) = E (t ) ò dSM = E S (t ) M ê R (τ)ú (32) t M M t M ë û t предложенное в [3] добавление к мере простой 0 0 0 ползучести C (t,τ) слагаемых для учета эволюозначают учет влияния твердения бетона в дефор- ции модуля упругости E(τ) мгновенной деформации εМ (t ) и исключают это влияние на меру 1 мации εМ (t ) . По-видимому, определенное обос- C (t,τ) , выражаемую добавлением слагаемых E(τ) нование этого предложения состоит в проявляемом в процессе разгружения возникновении пластической части εМП (t ) деформации εМ (t ) . По- 1 и E(t) . Отметим, что в [2] в равенствах (2.86) и скольку накопление εМП (t ) происходит (как и де- (2.87) вместо C (t,τ) по техническим причинам формация ползучести εП (t ) ) в течение промежутка напечатано ( ) C* t,τ , что не соответствует при- [t0 , t ], то деформация εМП (t ) условно полагается мененной в [2] логике вывода этих равенств. запаздывающей и рассматривается вместе с εП (t ) . Согласно [2], величина C* (t,τ) представляет Формальность этого подхода отмечена в [2] засумму меры ползучести C (t,τ) и меры CЕ (t,τ) мечанием, что первые два слагаемых равенства влияния твердения на деформацию εМ (t ) . * 1 1 C (t,τ) = E - (t ) E § C (t, t ) (t ) 0 (29) 2. Уравнения состояния М 0 М необходимы лишь для отражения влияния твердения бетона на упругое деформирование. В монографии [2] при выводе уравнения (2.87) механического состояния бетона соотношением в нелинейной постановке Эксперименты показывают, что зависимость деформаций ε (τ) от напряжений σ(τ) является нелинейной. Согласно А.А. Гвоздеву [5], нелинейность ¶ 1 = 0 (30) возникает вследствие более интенсивного разви- ¶t EМ (t) тия деформаций ползучести при сохранении линейной зависимости упругих деформаций и тем самым ций ползучести при условии признания взаимонезависимости ее частичных приращений. Тем самым, ε (τ) σ (t ) t ¶C% (t, τ) σ(τ) τ как и в работе [4], заранее предполагается взаимонеt = - ò d . (33) зависимость частичных деформаций ползучести от- E(t ) ¶τ 0 носительно частичных приращений функции на- Мера ползучести C% (t,τ) подбирается соглапряжений SП éëσ (τ) / R (τ)ùû . сованием с экспериментальными данными. Крутой подъем экспериментальных кривых ползучести, согласно А.А. Гвоздеву [5], означает быстрое нате- Возникшая в теории бетона необходимость обоснования нелинейных реологических уравнений механического состояния сопряжена с принкание εП (t, τ) при малых значениях t - τ . В раципом наложения нелинейных частичных деформаций ползучести - ключевым моментом вывода боте [6] в согласии с нелинейными диаграммами этих уравнений. ε - σ Еврокодов приводится интегральное уравне- В работах [9-11] приведена модификация принние, имеющее при прочность) вид E(τ)=E и R (τ) = R ( R (τ) - ципа суперпозиции Л. Больцмана при нелинейной зависимости деформаций ε(τ) от напряжений σ(τ) . ε (t ) = f t éσ(t )ù f éε (τ)ù ¶C (t,τ) dτ Основой вывода принципа наложения в нели- ë û ò ë û . (34) τ 2 1 M ¶ t0 нейной постановке является концепция статистического распределения прочности Ri (t) звеньев Здесь f2 éëσ(t)ùû =εM (t) , а f1 éëεM (τ)ùû = σ(τ) (слоев, волокон), составляющих материал конструки (34) - нелинейное уравнение с линейной ползучестью. Таким образом, в уравнении (33) игнорируется нелинейность упругих, а в уравнении (34) запаздывающих деформаций ползучести. Далее покажем, что силовое нагружение порождает нелинейность по σ(τ) обоих видов деформаций. В работе [7] для нелинейной теории ползучетивного элемента. Замечание 6. В отличие от принятой нами концепции, восходящей к [12], в предыдущих работах конструктивный материал предполагался изотропным по прочности составляющих его звеньев. Силовое деформирование разрушало часть звеньев и напряжения с них перераспределялись на целые сти предлагается уравнение звенья. Например, одноосное усилие N (t) разруt ò ε ( ) = σ(t ) - σ(τ) ¶ é 1 ù dτ шает часть звеньев и тем самым оно воспринимаt E(t ) t ë û ¶τ êE(τ)ú ется лишь работоспособной площадью A(τ) се- 0 ë û t -ò f éσ(τ)ù ¶C (t,τ) dτ . (35) чения, порождая нормальное напряжение (τ) = N (τ) . (37) t ¶τ σc 0 A(τ) Замечание 5. В (33) и (34) интегральное слагаемое выводится в рамках линейной теории пол- Напряжение σc (τ) , возникающее вследствие зучести, а в (35) неявно предполагается (без обоснования) применимость принципа линейной суперпозиции деформаций ползучести. структурных повреждений, называется структурным и связано с расчетным напряжением В.М. Бондаренко нелинейную зависимость упругих и запаздывающих деформаций от σ(τ) представляет с помощью нелинейных функций. В мо- σ(τ) = N (τ) A соотношением (38) нографии [2] выводится уравнение M ë û S éσ (t ) / R (t )ù ε (t ) = - E(t ) σ (τ) = A σ(τ) , (39) c A(τ) где А - площадь нормального сечения элемента. Структурные повреждения, описываемые функt -ò SП t0 ë û éσ(τ) / R (τ)ù ¶C (t,τ) dτ ¶τ . (36) цией S 0 (τ) = A A(τ) , порождают нелинейную зави- При этом существенна ссылка на работу [8], симость деформаций от линейных напряжений σ(τ) . где высказана применимость принципа суперпозиции Л. Больцмана и для нелинейных деформа- Функция S 0 (τ) нелинейности напряжений опре- деляется их уровнем η(τ) = σ(τ) , где R (τ) - Предполагая отсутствие структурных повре- 0 ( ) = R (τ) ждений, получим S τ 1 и текущая прочность материала. В приложениях ис- ε (τ, t ) = σ (τ) . (47) пользуются функции [3] m 0 0 E(τ, t ) é σ (τ) ù S 0 (τ) = 1+ V , (40) Для вывода нелинейного уравнения ползучести ë û ê R (τ)ú необходимо найти приращение DεП (t, t0 ) дефор- S 0 (τ) = aσ(τ)b / σ(τ), где V, m, a и b - эмпирические параметры. (41) мации ползучести при переменном на отрезке [t0 £ τ £ t ] времени структурном напряжении. Физико-химические процессы в материале вле- 0 При силовом деформировании конструктивного элемента статистическое распределение прочкут изменения параметров Ri (τ) и функции S (τ) . ности Ri (τ) его звеньев (например, по нормаль- В частности, деградация Ri (τ) наряду с S 0 (τ) ному закону) влечет непрерывное перераспредеc увеличивает σ (τ) = S0 (τ)σ(τ) и при σ(τ) = const , а тем самым порожденную постоянным напряжеление по сечению напряжений σ(τ) на целые n нием σ(τ)=σ(t0 ) начальную деформацию. Это явå i звенья. Ступенчатому приросту Dσ = Dσ(τ ) i=1 ление последующего увеличения начальной дефоруже не отвечают взаимонезависимые, как в лимации при σ(τ) = const называют ползучестью. нейном случае, частные приращения деформаций Деформация работоспособной части элемента связана с порождающим ее структурным (исползучести. В самом деле действие приложенного в момент времени τi приращения Dσ(τi ) в мотинным) напряжением законом Гука σc (τ) = E (τ, t0 )ε (τ, t0 ), (42) мент τi ( j > i) усиливается из-за действия прирагде упруго-пластический модуль деляется равенством E (τ, t0 ) опрещения Dσ(τ j ) , разрушающего часть целых до момента τ j (звеньев) [9]. E(τ, t ) = E(τ) . (43) Пусть (Vt ) часть элемента (V ) , состоящая из 0 0 1+ E(τ)C (τ, t ) целых в момент τ его звеньев. Под действием на- В (43) - модуль упругих деформаций; C(τ,t0 ) - пряжения σc (τ) часть (Vt ) непрерывно уменьмера ползучести в момент τ при нагружении в шается до (Vt ) , состоящей из совокупности цемомент t0 . Соотношения (42) и (43) вытекают из предлых в течение всего промежутка [t0 , t ] элемента. звеньев ставления деформации e(t, t0 ) суммой мгновен- Деформации частей (Vt ) и (Vt ) под действиной упругой деформации ем напряжения σc (τ) совпадают. Существенно, εM (τ, t0 ) = σc (τ) . (44) E(τ) что ступенчатый прирост Dσс n = åDσ с (τi ) наи деформации ползучести [9] εП (τ, t0 ) = C (τ, t0 )σc (τ). Согласно (39) и (42), 0 (45) i=1 пряжения σ(τ) порождает взаимонезависимые в смысле Л. Больцмана частные приращения деформаций ползучести. Приращения Dσс (τi ) не разрушают звенья (Vt ) ε (τ, t S (τ) σ (τ) ) = . (46) и именно это влечет независимость величины 0 0 E (τ, t ) DεП (τi ) = C0 (t, τi )Dσс (τi ) (48) Равенства (44) - (46) означают, что деформации ε (τ, t0 ) , εM (τ, t0 ) и εП (τ, t0 ) являются нелинейот остальных приращений Dσс (τ j ) , ( j ¹ i), ными функциями расчетного напряжения σ(τ) . а потому n DεП (t, t0 ) = åC0 (t, τi )Dσc (τi ) . (49) Из равенства S éëσ (τ)ùû = S 0 ×σ(τ) находим i=1 С помощью приведенных выше для σ(τ) опефункцию нелинейности напряжений S 0 : ( ) ( ) раций получим реологическое уравнение механического состояния в нелинейной постановке S 0 = εM τ E τ σ(τ) , (52) ε ( ) o (t ) t o (τ) ¶C0 (t, τ) τ получаем соотношение ( ) ( ) 0 ( ) ò t = c - E(t ) c d . (50) ¶τ dεП t, τ = C t, τ d éëS σ τ ùû . (53) t0 Согласно (39), функция S 0 определяется уров- Соотношение (49) является аналогом приннем η(τ) = σ(τ) / R (τ) напряжений и, как покаципа наложения Л. Больцмана. зывают эксперименты, не зависит от возраста τ Согласно (44), с учетом σс (τ) = S0 ëéσ(τ)ûù σ(τ) материала, а потому имеем S 0 (t ) = éëσ (t )ùû σ(t ) - ë û ¶ S 0 éη(τ)ù = 0 . (54) ¶τ ε E(τ) t Равенства (53) и (54) означают, что справедливо соотношение 0 - S 0 éσ(τ)ù σ(τ) ¶ éC (t, τ)ù dτ. (51) dε (t, τ) = C0 (t, τ) S ëéη(τ)ûù dσ(τ) , (55) ò ë û t0 ¶τ ë 0 û позволяющее применение принципа наложения, Замечание 7. В уравнении (51) присутствует тем самым t единая функция напряжений S éëσ (τ)ùû , а в урав- ( ) ( ) 0 ( ) ( ) нении (36) различные функции напряжений DεП t, τ = ò C0 t0 t, τ S ëéη τ ûù dσ τ . (56) SM éëσ(τ) / R(τ)ùû и SП éëσ (τ) / R (τ)ùû для мгновен- Dε (t, τ) = C (t, t ) S éη(t )ù σ - ных и запаздывающих деформаций. Эти функции * 0 П 0 ë t * 0 û 0 суть напряжения, порождающего соответствующие - S 0 éη(τ)ù σ(τ) ¶C (t,τ) τ dτ, (57) деформации. В физическом аспекте силовое напряжение порождает обе составляющие εM (t) и εП (t ) ò ë û ¶ t0 а потому мы снова получим уравнение (51). Замечание 8. Принципиальное для применидеформации ε (t ) , и поэтому SM éëσ (τ) / R (τ)ùû = мости принципа Больцмана равенство (54) является следствием статистического распределения = SП ëéσ (τ) / R (τ)ûù . Таким образом, представление прочностей звеньев. Функция S 0 (τ) определяетдеформации ε (t ) в виде ε (t ) = εM (t ) + εП (t ) не означает, что мгновенные и запаздывающие деформации порождены разными напряжениями. Согласно диаграмме ε - σ , имеем нелинейную ся отношением доли всех разрушенных звеньев к доле всех целых звеньев. В модели одноосного нагружения имеем A ( ) ( ) ( ) S 0 τ A τ + A - A τ = = A = 1+ d τ , (58) зависимость εM (t ) = f ëéσ (t )ûù , которую по ана- ( ) A(τ) A(τ) A(τ) логии с равенством ε (t ) = σ(t ) M E (t ) представим в где Ad (τ) - площадь поперечного сечения всех виде ε ë û S éσ(τ)ù (t) = , где S éσ(τ)ù = E(t )ε (t ) . потерявших способность силового сопротивления звеньев. M E(t) ë û M На приведенном рисунке площадям Ad (τ) и Функцию S éëσ (τ)ùû назовем структурным на- A(τ) соответствуют площади Sd (σ) и Sp (σ) , пряжением (так как силовое нагружение влечет изменение структуры материала). Поскольку dS ëéσ (τ)ûù = d ëéE (t )εM (t )ùû , интегрально выражающие поврежденную и целые части нагруженного элемента. Поскольку физико-химические процессы происходят одинаково во всех звеньях, то заданное отто dεП (t, τ) = C (t, τ) dS éëσ (τ)ùû . ношение площадей Sd (σ) Sp (σ) не зависит от τ , что и влечет соотношение (54). В частности, заданный уровень η(τ) = σ(τ) / R (τ) не зависит от При простом нагружении φ(t, τ) ε (t, τ) = П . εМ (τ) t , что подтверждается экспериментами [18], согласно которым удельная по отношению к проч- Поскольку в [6] предполагается, что ползуности R (τ) деформация не зависит от возраста честь порождена напряжением S (τ)=εМ (τ)Ε(τ) = бетона. = S0 (τ)σ(τ)Ε(τ), то φ (t, τ) = E(τ)C (t, τ) . Н S 0 (σ) Далее в [6] εП (t ) t = -òεМ t0 (τ) ¶φ(t, τ) ¶τ dτ , (64) и, согласно (54), t =- εM (τ) ¶ éëE (τ)C (t, τ)ùû Рисунок. Плотность вероятности распределения εП ( ) ò S 0 (σ) τ τ t d . (65) ¶ прочностей звеньев: Rs - структурная прочность t0 [Figure. Probability density of the strength distribution of Очевидно, что лишь при E(τ)= const имеет links: Rs - structural strength] место заранее предполагаемое в [6] соотношение Итак, на основе статистического распределения прочностей мы привели еще одно обоснование принципа суперпозиции деформаций ползучести Больцмана в нелинейной постановке. t ¶C (t,τ) εП (t ) = -òσ(τ) ¶τ dτ . (66) t0 В работе [13] для развития структурно- Замечание 9. В предположении C (t, t) = 0 , энергетического подхода в теории железобетона введено понятие энергии целостности элемента M согласно (54), и S 0 (τ)σ(τ) = ε (τ)E(τ) имеем W (τ) · максимальной энергии его сопротивления εП (t ) t = -òεМ t0 (τ)Ε (τ) ¶С (t,τ) ¶τ dτ, (59) разрушению. Этот параметр равен работе разрушения элемента в момент τ и складывается из энергии целостности W (τ) и его звеньев. а при E(τ) = E(t ) (для зрелого и старого бетона): i Суммарная энергия потерявших способность t t εП (t ) = -òεМ (τ) ¶φ(t, τ) dτ τ ; (60) к силовому сопротивлению звеньев образует рас- ¶ сеянную часть Wd (τ) 0 энергии W (τ) и определя- ε ( ) ε ( ) t ε (τ) ¶φ(t, τ) τ ет необратимую часть εН (t ) деформации ε (t ) . t = М t - ò М t0 d . (61) ¶τ Деформация εН (t) порождается напряжением σd (τ) , Очевидно, что аналогом линейного относительполученным как добавка к напряжению σ(τ) в но σс (τ) интегрального уравнения при условии результате разрушения части звеньев. Величина E(τ) = E является линейное относительно упру- Wp (τ) = W (τ) -Wd (τ) представляет энергетичегой деформации уравнение (61). ский запас целостности. Энергиям Wd (τ) и Wp (τ) Функция φ(t, τ) = E(t )C0 (t, τ) называется отвечают на рисунке площади Sd (σ) и Sp (σ) , характеристикой ползучести. В работе [6] уравнение линейной ползучести и величина α(σ) = σd (τ) не зависит от τ . t ε (t ) =- σ(τ) ¶C (t,τ) dτ σ(τ) τ П ò ¶ t0 (62) Сумма éëσ (τ) + σd (τ)ùû = éë1+α (τ)ùû σ(τ) яввыражается через εM (τ) с помощью функции ляется структурным напряжением, и, согласно φН (τ) , отвечающей нелинейной постановке. равенству ( ) ( ) ë ( )û ( ) S 0 σ σ τ = é1+α τ ù σ τ , имеем éσ(τ) ù m S (τ) = éë1+α(τ)ùû σ(τ) . В частности, α(τ) =V × ê ú , деформации εМ (t ) , присовокупленную к линей- где V и m - эмпирические параметры. ë R(τ)û ной деформации ползучести, и тем самым [6] при С (t, t) = 0 и E(t) =E В силу ¶α(σ) = 0 ¶τ необратимая часть εПН (t ) ε (t ) = t f2 éëσ (t )ùû - òσ(t ) t0 ¶C (t,τ) ¶τ dτ . (71) деформации С (t, t) = 0 : εП (t ) находит наложением и при Получается реологическое уравнение с линейной ползучестью. Замечание 10. Пренебрежение в нелинейной εПН (t ) t = -ò α ëéσ (τ)ûù σ(τ) ¶C (t,τ)dτ ¶τ . (67) постановке необратимой частью εПН (t ) деформаt0 В результате необратимые деформации силового происхождения ë û α éσ (τ)ù σ(τ) εН (t ) = - E(t ) ции ползучести приводит к ошибочному реологическому уравнению, что имеет место и в рекомендациях Еврокодов [6; 15]. Заключение поэтому ë û t ò - α éσ(τ)ù σ(τ) ¶C (t,τ) t ¶τ 0 dτ, (68) Обоснование нелинейных реологических уравнений механического состояния строительных материалов (в частности, бетона) не реализуемо без модификации принципа суперпозиции Л. Больц- ε (t ) = σ (t ) t òσ(τ) ¶ é 1 ù o C (t, τ) dτ + мана относительно соответствующего силового фак- ê ú тора - структурного напряжения. E(t ) 0 t ¶τ ëE(τ) û Суть принципа Больцмана заключается во взаимонезависимости частичных деформаций пол- ë û α éσ (t )ù σ(t ) + - E(t ) t ¶ é 1 ù зучести, и именно на этой основе реализуется обоснованный подсчет деформаций ползучести. Существенно, что модификация принципа суперпо- - òα éëσ (τ)ùû σ(τ) ¶τ êE(τ) + C (t, τ)ú dτ. (69) зиции Больцмана применяется и при нелинейной t0 ë û В предложенной А.А. Гвоздевым двухкомпонентной нелинейной теории ползучести [5; 14] мгнозависимости деформаций от расчетных напряжений. Статистическое распределение прочностей фракций, составляющих бетонный элемент, влечет перераспределение напряжений и порождает венные деформации линейны по σ(τ) , величина структурное напряжение на его способных к силовому сопротивлению фракциях. εПН (t ) названа деформацией ползучести первого рода, а второе слагаемое в (68) - второго рода. При этом t εПН (t ) = ò f ëéσ (τ)ûùFH (t, τ) dτ , (70) Структурное напряжение (функция напряжений) едино для мгновенных и длительных деформаций, порождая оба эти вида. Функция напряжений, введенная в [2-7] является структурным напряжением, порождающим где t0 f éëσ (τ)ùû - нелинейная функция напряжений, как мгновенную ( ) εМ (t ) , так и запаздывающую а функция FH (t,τ) строится на основе экспери- εП t деформации. В [6] нелинейное реологическое уравнение ментальных данных [14]. содержит нелинейно зависящую от расчетного Величину εПН (t ) невозможно определить напряжения мгновенную деформацию и линейную зависящую от этого напряжения деформацию полналожением частичных деформаций ползучести, и в традиционном смысле она не деформация ползучести. Это означает, что упомянутые деформации порождены различными напряжениями, что зучести, каковой является ее часть εПН (t ) . Автопротиворечит физической сущности явления. ры в [4] полагают, что εН (t ) представляет нели- Причина нелинейности функции ε(τ) = f éëσ(t)ùû - нейную (необратимую) часть εМН (t ) мгновенной перераспределение напряжений σ(τ) , а не изменение характеристик E(τ) и С (t,τ) материала, 4. Санжаровский Р.С., Манченко М.М. Ошибки в теории ползучести и современные нормы // Строительопределяемых лишь физико-химическими в нем процессами. В [17] принцип наложения представлен «как основополагающая ошибка теории ползучести». Следует подчеркнуть, что этот принцип как суммирование последовательным по времени наложением запаздывающих частичных деформаций ползучести является естественным и при их взаимонезависимости корректным. Таким образом, не принцип наложения (это лишь схема суммирования) является ошибкой, а его ошибочное применение как принципа суперпозиции Л. Больцмана для взаимозависимых частичных приращений ползучести. Принцип суперпозиции Л. Больцмана (как наложение лишь взаимонезависимых деформаций) представляет простой конструктивный способ определения запаздывающих деформаций и вывода реологических уравнений механического состояния. Более того, этот принцип к возникающим при некорректной интерпретации структуры и параметров уравнения механического состояния ошибкам не имеет отношения. Приведенные в [17] утверждения, касающиеся ошибочности применения принципа наложения как обычного суммирования [16], справедливы и созвучны с отмеченным в данной работе необходимым условием линейной суперпозиции. Корректные критические замечания, приведенные в [4; 17] и в данной работе, полезны и необходимы для дальнейшего развития теории бетона и железобетона. К отмеченным в [17] ошибкам принцип наложения не имеет отношения, так как их возможное наличие порождено не применением этого принципа. Для дальнейшего совершенствования норм необходима добротная теория, безусловно, включающая значимые при расчете железобетонных конструкций результаты. Некоторые приложения теории ползучести в расчетах железобетонных сооружений на долгосрочную безопасность отражены в работах [19-27].

×

### Evgeniy A. Larionov

Moscow State University of Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: i.v.ivn@mail.ru

Doctor of Science (Technical), Professor of Department of Applied Mathematics

26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

Moscow State University of Civil Engineering

Email: i.v.ivn@mail.ru

Doctor of Science (Technical), Professor of Department of Construction; Corresponding Member of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences

26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

### Tatyana V. Zhdanova

Moscow State University of Civil Engineering

Email: i.v.ivn@mail.ru

graduate student of Department of Applied Mathematics

26 Yaroslavskoye Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

## References

1. Boltzmann L.E. (1874). Zur Theorie der Elastischen Nachwirkung. Sitzungsberichte Kaiserliche Akademie Wissenhaft Wien Mathematische-Naturwissenhaft, 70, 275–306.
2. Bondarenko V.M. (1982). Injenernie metodi nelineinoi teorii jelezobetona [Engineering methods of nonlinear theory of reinforced concrete]. Moscow, Stroiizdat Publ. (In Russ.)
3. Aleksandrovskii S.V., Vasilev P.I. (1976). Eksperimentalnie issledovaniya polzuchesti betona i jelezobetonnih konstrukcii [Experimental study of creep of concrete]. Polzuchest' i usadka betona i zhelezobetonnykh konstruktsii [Creep and shrinkage of concrete and reinforced concrete structures] (pp. 97–152). Moscow, Stroiizdat Publ. (In Russ.)
4. Sanjarovskii R.S., Manchenko M.M. (2016). Errors in the concrete theory and creepmodern regulations. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (3), 25–32. http://journals.rudn.ru/structural-mechanics/ article/view/11258. (In Russ.)
5. Gvozdev A.A. (1972). Zamechanie o nelineinoi teorii polzuchesti betona pri odnoosnom sjatii [Remark on the nonlinear theory of concrete creep under uniaxial compression]. Izv. AN SSSR, MTT, (5), 33. (In Russ.)
6. Sanjarovskii R.S. (2014). Non-linear hereditary creep theory. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (1), 63–68. http://journals.rudn.ru/structuralmechanics/article/view/11070. (In Russ.)
7. Arutyunyan N.H., Kolmanovskii V.B. (1983). Teoriya polzuchesti neodnorodnih tel [Theory of creep of inhomogeneous bodies]. Moscow, Nauka Publ. (In Russ.)
8. Persoz B. (1957). Le principe de superposition de Bolzman. Cahier Groupe Franzitudeszhicl., 2(1).
9. Larionov E.A., Bondarenko V.M. (2011). Strains superposition principle when construction elements have structural damages. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, (2). 16–22. http://journals.rudn.ru/ structural-mechanics/article/view/10938. (In Russ.)
10. Larionov E.A., Larionov A.E. (2015). Nonlinear creep theory. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (2), 58–65. http://stroy-mex.narod.ru/index/2015_ 2/0-185. (In Russ.)
11. Larionov E.A., Larionov A.E. (2017). The theory of nonlinear creep of materials. Structural Mechanics and Analysis of Constructions, (4), 35–39. http://stroy-mex. narod.ru/index/2017_4/0-23435-39. (In Russ.)
12. Wiebull W. (1949). A statistical representation of fatigue failures in solids. Trans. Roy. Inst. Techn., (27).
13. Larionov E.A. (2005). Dlitelnoe silovoe soprotivlenie i bezopasnost soorujenii [Long-term power resistance and safety of structures]: dis.. d-ra tehn. nauk. Moscow. (In Russ.)
14. Galustov K.Z. (2006). Nelineinaya teoriya polzuchesti betona i raschet jelezobetonnih konstrukcii [Nonlinear theory of concrete creep and calculation of reinforced concrete structures]. Moscow, Fizmatlit Publ. (In Russ.)
15. Beglov A.D., Sanjarovskii R.S. (2011). Evrostandarti i nelineinaya teoriya jelezobetona [European Standards and nonlinear theory of reinforced concrete]. SPbGASU Publ. (In Russ.)
16. Ciorino M.A. (2014). Analysis of structural effects of time-dependent behavior of concrete an internationally harmonized format. Plenary Papers of III All-Russian (International) Conference on Concrete and Reinforced Concrete, 7, 338–350.
17. Sanjarovskii R.S., Ter-Emmanuilyan T.N., Manchenko M.M. (2018). Superposition principle as the fundamental error of the creep theory and standards of the reinforced concrete. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 14(2), 92–103. http://dx.doi.org/ 10.22363/1815-5235-2018-14-2-92-104. (In Russ.)
18. Aleksandrovskii S.V., Solomonov V.V. (1972). Zavisimost deformacii polzuchesti betona ot nachalnogo urovnya napryajenii [Dependence of creep deformations of concrete on the initial level of stress]. Mejotraslevie voprosi stroitelstva. Otechestvennii opit: Referativnii sbornik, (6).
19. Krishan A.L., Narkevich M.Yu., Sagadatov A.I. (2018). Experimental investigation of selection of warm mode for high-performance self-stressing self-compacting concrete. 7th International Symposium on Actual Problems of Computational Simulation in Civil Engineering (APCSCE), Novosibirsk, Russia, Jul. 1–8, 2018.
20. Varlamov A.A., Rimshin V.I., Tverskoi S.Y. (2018). Security and destruction of technical systems. 18th International Federation of Automatic Control (IFAC) Conference on Technology, Culture and International Stability (TECIS), Baku, Azerbaijan (Sep. 13–15, 2018), 51(30), 808–811.
21. Varlamov A.A., Rimshin V.I., Tverskoi S.Y. (2018). Planning and management of urban environment using the models of degradation theory. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 177(1), 012040.
22. Kuzina E., Cherkas A., Rimshin V. (2018). Technical aspects of using composite materials for strengthening constructions. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 365, 032053.
23. Kuzina E., Rimshin V. (2018). Deformation Monitoring of Road Transport Structures and Facilities Using Engineering and Geodetic Techniques. International Scientific Conference Energy Management of Municipal Transportation Facilities and Transport, EMMFT-2017, Advances in Intelligent Systems and Computing, 692, 410–416.
24. Cherkas A., Rimshin V. (2017). Application of composite reinforcement for modernization of buildings and structures. MATEC Web Conf., 117, 00027.
25. Erofeev V.T., Zavalishin E.V., Rimshin V.I. (2016). Frame Composites Based On Soluble Glass. Research journal of pharmaceutical biological and chemical sciences, 7(3), 2506–2517.
26. Krishan A.L., Troshkina E.A., Rimshin V.I. (2016). Load-Bearing Capacity of Short Concrete-Filled Steel Tube Columns of Circular Cross Section. Research journal of pharmaceutical biological and chemical sciences, 7(3), 2518–2529.
27. Krishan A., Rimshin V., Erofeev V. (2015). The Energy Integrity Resistance to the Destruction of the LongTerm Strength Concrete. Urban Civil Engineering and Municipal Facilities (SPbUCEMF): International Scientific Conference, Saint Petersburg, Russia, Mar. 18–20, 2015.

Copyright (c) 2019 Larionov E.A., Rimshin V.I., Zhdanova T.V.