RUDN Journal of PhilosophyRUDN Journal of PhilosophyВестник Российского университета дружбы народов. Cерия: Философия2313-23022408-8900Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)11395ArticlesСтатьиTo What Extent Contemporary Mathematical Science is ReliableВ какой степени современные математические науки являются надежнымиKhakhanianValery KhХаханянВалерий ХристофоровичMoscow State University of Railway CommunicationsМосковский государственный университет путей сообщенияtu@miit.ru <mailto:tu@miit.ru>Moscow State University of Railway CommunicationsМосковский государственный университет путей сообщения150320113NO3 (2011)№3 (2011)869612092016Copyright ©; 2011, Khakhanian V.K.Copyright ©; 2011, Хаханян В.Х.2011Khakhanian V.K.Хаханян В.Х.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/philosophy/article/view/11395The crisis in foundation of mathematics at the end of 19th beginning of 20th centuries initiated a number of axiomatic set theoretical systems during the first half of the 20th century. These systems were the result of different philosophical approaches (in view of second Godel's Theorem) aimed at overcoming of the above crisis. But the way out of this situation has never been found.
In my article I offer a new approach to solve this problem using a basic axiomatic system of the set theory with intuitionistic logic. I will present a lot of mathematical results having been obtained during the last forty years. We will survey the development of the set theory with the intuitionistic logic underlining the main points and formulating unsolved problems and describe the basic system of the intuitionistic set theory.В статье предлагается философский подход к обоснованию математики (теории множеств как математической дисциплины, лежащей в основании математики), базирующийся на полученных к настоящему времени математических результатах в области неклассических аксиоматических формальных систем. Дается краткая историческая картина развития понятия строгости математических доказательств и обоснования математики от древних греков до наших дней. В статье приводится ряд новейших достижений в области формализованных теорий арифметики (теории чисел), теорий действительного числа (математического анализа) и аксиоматических теорий множеств, которые рассматриваются с подлежащей интуиционистской логикой, а также в области классических дескриптивной и аксиоматической теорий множеств.arithmeticmathematical analysisaxiomatic systems of set theoryintuitionismconstructivismbasic systemmathematicsарифметикаматематический анализаксиоматические системы теории множествинтуиционизмконструктивизмбазисная системаматематика[Meyer R.K., Mortensen C. Inconsistent models for relevant arithmetic // The Journal of Symbolic Logic. - V. 49. - 1984. P. 917-929][Friedman H., Meyer R.K. Whether relevant arithmetic // The Journal of Symbolic Logic. - V. 57. -1992. - P. 824-831.][Struik von Dirk J. Abriss der Geschichte der Mathematik. - Berlin, 1963.][Hilbert D. Grundlagen der Geometrie. - Leipzig und Berlin (Teubner), 1930.][Heyting A. Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus, Beweistheorie. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Hrsg. v. d. Schriftleitung des „Zentralblatt der Mathematik". III, Bd., 4. Heft.) - Berlin, 1934. - XII.][Cantor G. Proceeding on set theory. - M., 1985 (in Russian).][Fraenkel A.A., Bar-Hillel Y. Foundations of set theory. - Amsterdam, 1958.][Kleene S.C. Introduction to metamathematics. - New York, Toronto, 1952.][Markov A.A. About constructive mathematics. Proceedings of Math. Institute of V.A. Steklov of Acad. of Science of USSR. - Vol. LXVII. - Moscow-Leningrad, 1962 (in Russian).][Kushner B.A. Lectures on constructive mathematical analysis. - Moscow, 1973 (in Russian).][Beeson M. Problematic Principles in Constructive Mathematics. - Preprint № 185. - Department of Mathematics. - University of Utrecht. - February 1981. - Part 2.][Kanovei V.G. Axiom of choice and axiom of determinateness. - Moscow, 1984 (in Russian).][Hilbert D. Uber dieGrundlagender Logik und der Arithmetik // Verhanndlungen des Dritfen Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom. 8 bis 13 August 1904. - Leipzig, 1905 (application from VII of [2]).][Godel K. Zur intuitionistishen Arithmetik und Zahlentheorie Ergebnisse eines math. - Koll., 1931-1932.][Kolmogorov A.N. Jubilee edition in three books. Book 1.Truth is weal. Biobibliographia. -Phismathlit, 2003 (in Russian).][Kolmogorov A.N. About principle tertium non datur. Mathem // Transections. - 1925. - V. 32. - № 4 (in Russian).][Dragalin A.G. Mathematical Intuitionism. Introduction to the Proof Theory. Trans. of Math. Monographs. - 1988. - Vol. 67.][Khakhanian V. Thesis "Models of intuitionistic set theory". - Moscow, 1982 (in Russian).][Khakhanian V. Thesis "Intuitionistic logic and set theory". - Moscow, 2004 (in Russian).][Friedman H. Some applications of Kleene's method for intuitionistic systems // Lecture Notes in Mathematics. - № 337. - 1973.][Myhill J. Constructive set theory // The Journal of Symbolic Logic. - V. 40. - № 3. - 1975.][Glivenko V.I. Sur la logique de M. Brouwer // Academie Royale de Belgique, Bulletin de la classe des sciences. - Ser 5. - 4 (1928).][Glivenko V.I. Sur quelques points de la logique de M. Brouwer // Academie Royale de Belgique, Bulletin de la classe des sciences. - Ser. 5, 15 (1929).][Jech T. Set theory (english summary). The third millennium edition, revised and expanded Springer Monographs in Mathematics. - Springer-Verlag, Berlin, 2003.][Kanamori A. The higher infinite. Large cardinals in set theory from their beginning. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. - Springer-Verlag, Berlin, 2003.][Quine W.V. New foundations for mathematical logic //Amer. Mathem. Monthly. - 44. - 1937.][Shestopal V.E. A theory of elements and sets. Preprint of Institute of theoretical and experimental physics 90-8. - Moscow, 1990.]