№ 4 (2013)

Изучен класс линейных и квазилинейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиально периодической матрицей при наличии определяющей матрицы различной фиксированной жордановой структуры. Ставится задача для этого нового класса систем разработать алгоритм их приводимости к более простым для анализа эквивалентным системам с почти диагональной матрицей, а также сформулировать и обосновать достаточные условия устойчивости или асимптотической устойчивости их тривиального решения. Эта задача актуальна, так как анализ рассматриваемого класса неавтономных систем известными методами (например, метод функций Ляпунова) затруднён. Кроме этого, рассмотрение неоднородных систем с помощью спектральных и других методов вызывает дополнительные трудности. Поставленная задача решена с помощью разработанного авторами аналитического метода, являющегося обобщением известных классических теорем. В основе предложенного алгоритма приводимости лежит один из вариантов метода расщепления по спектру определяющей матрицы в изучаемой неавтономной системе (с учётом её расщепления на диагональную и бездиагональную часть). Показана возможность приводимости систем указанного класса в зависимости от структуры спектра определяющей матрицы к системам с почти диагональной матрицей, что упрощает анализ вопросов устойчивости. Доказаны теоремы об устойчивости или асимптотической устойчивости тривиального решения преобразованных эквивалентных систем и соответствующих исходных систем, что является развитием и обобщением спектрального метода исследования устойчивости для рассмотренного в работе класса неавтономных систем.

В этой статье мы изучаем отсутствие положительных решений для некоторых полулинейных эллиптических неравенств высших порядков, в частности, содержащих полигармонический оператор: Δku(x) ≥ x1 α1 x2 α2… xn αnuq(x), где k ∈ ℕ,q > 1, x = (x1,x2,…,xn) и αi ∈ ℝ,i = 1,2,…,n. Целью данной статьи является установление условий на значения αi,i = 1,2,…,n для отсутствия положительных решений этой задачи в ограниченных и неограниченных областях. Основными инструментами являются априорные оценки и интегральные неравенства. Используя метод пробных функций, мы получим сначала априорные оценки для решений неравенства на основе интегральных неравенств и слабой постановки задачи с оптимальным выбором пробных функций, а затем сформулируем условие отсутствия решения задачи. Выбор таких функций определяется нелинейными членами задачи и зависит от понятия решения, с которым мы имеем дело.

Дано однородное (стационарное в широком смысле) случайное поле со средним нуль и вещественными компонентами. Рассматривается случай дискретного времени. Дана матрица периодограмм второго порядка, построенных по выборке. В работе изучается асимптотическое поведение второго момента спектральной оценки второго порядка однородного поля.

В работе приводятся результаты исследований методами классической молекулярной динамики процессов взаимодействия нейтральных металлических нанокластеров при соударении с металлической поверхностью. Исследована зависимость характерных размеров структуры образованного в результате соударения поверхностного слоя от размера, энергии соударения и частоты импульсного источника нанокластеров. В результате, численно определена функциональная зависимость глубины проникновения атомов кластера в материал мишени и толщины осаждаемого слоя от количества атомов в налетающих кластерах и частоты импульсного источника. Обнаружено также, что толщина осаждаемого слоя, в отличие от глубины проникновения, перестаёт зависеть от числа атомов в налетающих кластерах N, частоты импульсного источника ω и энергии налетающих кластеров E при увеличении N, ω и E. При этом осаждаемый слой становится неоднородным по толщине и принимает характерную воронкообразную форму. Показано, что существует зависимость характеристик различных энергетических режимов (soft landing, droplet spreading и implantation) от числа атомов в налетающих кластерах. Исследованные проблемы могут представлять интерес для развития технологий получения наноматериалов с новыми физическими и химическими свойствами.

В данной работе изучаются свойства решений уравнений геодезических для модели точечного источника гравитации, излучающего тепловую энергию. Уравнения геодезических строятся с использованием метрики, являющейся решением уравнений, которые представляют собой нулевой след тензора Риччи. Эти уравнения являются некоторым обобщением уравнений Эйнштейна в вакууме. Они позволяют получать решения в виде нестационарных сферически-симметричных метрик, чьи компоненты являются функцией двух переменных. Обыкновенная система дифференциальных уравнений геодезических второго порядка относительно натурального параметра состоит из четырёх уравнений. Она может быть частично проинтегрирована и сведена к системе из двух дифференциальных уравнений второго порядка. Метод подстановки системы сводится к двум дифференциальным уравнениям в частных производных от двух неизвестных переменных. Окончательно получается одно квазилинейное уравнение. В нормальном случае для такого типа уравнений образуются разрывы при ограниченных решениях. Однако численный расчёт показывает, что решения могут также становиться неограниченными ввиду особенностей в правых частях.

В работе представлен вывод дисперсионного уравнения для трёхслойной интегрально-оптической линзы Люнеберга на основе метода адиабатических волноводных мод. Из этого уравнения следует связь между коэффициентом фазового замедления и функцией, определяющей толщину нерегулярного волноводного слоя. Дисперсионное уравнение представляется в виде нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с коэффициентами, зависящими от параметров. В число таких параметров входят как толщины регулярных волноводных слоёв, так и оптические параметры рассматриваемой линзы Люнеберга. Для представления дисперсионного уравнения в виде дифференциального уравнения в частных производных возникает необходимость вычисления в символьном виде определителя матрицы 12-го порядка, определяющего разрешимость системы линейных алгебраических уравнений, следующих из граничных условий. Для вычисления данного определителя в аналитической виде предлагается процедура редуцирования системы линейных алгебраических уравнений с применением системы компьютерной алгебры Maple.

В настоящей работе развивается метод наименьших квадратов с Т-элементами для решения линейных краевых задач с уравнениями Лапласа и Пуассона. В этом подходе предлагается использовать ранее разработанные авторами разрывные базисные функции высокого порядка аппроксимации из специальных функциональных пространств. Преимуществом данного алгоритма по сравнению со стандартным методом Галёркина является то, что он позволяет в процессе адаптивного решения экономично сгущать сетку и при этом использовать разную степень аппроксимации решения на каждой ячейке разбиения расчётной области. В отличие от метода Галёркина с разрывными базисными функциями, здесь не требуется задание параметра штрафа, а матрица дискретизованной задачи также является симметричной и положительно определённой. Приводятся примеры расчётов с помощью схем, обеспечивающих компьютерную точность решения краевых задач для многочленов до седьмой степени включительно. В трёхмерном случае продемонстрирована h − p сходимость приближённого решения к точному.

В результате многочисленных исследований было установлено, что гидронизированный аморфный кремний являетса наиболее подходящим материалом для изготовления недорогих солнечных фотоэлементов. Однако, широкому практическому применению фотопреобразователей на основе этого материала мешают их низкий коэффициент полезного действия и быстрая деградация параметров фотоэлементов под действием солнечного излучения. Влияние солнечного излучения на параметры фотопреобразователей проверяется как на многослойных, так и на однослойных рin структурах при различных интенсивностях света. Сравнивается стабильность параметров многослойных структур с однослойными. В работе изучалось влияние освещения на параметры гетероструктурных солнечных фотоэлементов на основе гидронизированного аморфного кремния. В экспериментах было установлено, что механизм деградации параметров pinpin структур отличается от механизма деградации параметров pin структур при толщине нижнего слоя более 400 нм. Было обнаружено, что при толщине нижнего слоя менее 400 нм заметного отличия в механизмах деградации не наблюдалось. Обсуждается механизм деградации параметров могослойных фотоэлементов. Предполагается, что в случае толстого нижнего слоя фотоэлемента коэффициент полезного дейсвия определяется как фактором заполнения, так и током короткого замыкания. Деградация токов короткого замыкания в солнечных фотоэлементах с тонким нижним слоем незначительна.

Введённый в работе [Kopysov Yu. S., Stozhkov Yu. I., Korolkov D. N. (2001)] нейтринный заряд со своим калибровочным полем с целью снижения скоростей счёта в детекторах солнечных нейтрино порождает массу новых явлений в астрофизических объектах. Физика новых явлений определяется величиной нейтринного заряда eν, носителем которого являются нейтрино, кварки и нейтроны, а также почти вырожденным нейтринным конденсатом в веществе макроскопических тел. Показано, что наиболее сильное ограничение на значение eν можно получить методом теплового баланса Солнца, развитого в работе [Domogatsky G. V. (1968)]. Новое взаимодействие, порождённое новым калибровочным («нейтромагнитным») полем, порождает у нейтрино дираковский магнитный момент нового (нейтромагнитного) типа. Ограничение на его величину при полученных ограничениях на eν лишь на 2 ÷ 3 порядка ниже электронного магнетона Бора и на много порядков превосходит все возможные оценки традиционного аномального магнитного момента нейтрино! Предложен новый сценарий формирования солнечной активности, при котором новое взаимодействие может играть ключевую роль. Новая модель предполагает двухъярусную структуру конвективной зоны: внешнюю с развитой тепловой конвекцией и внутреннюю — солнечную тропосферу, — в которой под воздействием приливных сил планет формируются вихревые движения типа торнадо земной тропосферы. В этих вихрях генерируются магнитные поля нового (нейтромагнитного) типа, взаимодействие которых с веществом порождает и обычные магнитные поля. Новый класс явлений возникает при включении нейтринного заряда в физику коллапсирующих и нейтронизующихся звёзд. На этом пути открываются новые возможности для разрешения старых проблем. В связи с этим желательно иметь теоретическое обоснование необходимости введения нейтринного заряда. В данной работе поставлена проблема расширения стандартной объединённой модели электрослабого взаимодействия посредством включения второго заряда в правый сектор расширенной модели. Намечен возможный путь решения этой проблемы.