№ 3 (2015)

Методы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основаны на анализе особенностей, но самый популярный метод для численного решения, а именно метод конечных разностей, не работает вблизи особенностей. Однако Пенлеве дал алгебраический метод для решения в конечном виде дифференциальных уравнений, общие решения которых зависят от константы интегрирования алгебраически. Этот подход, который был представлен как своеобразная теория Галуа, напротив, может быть хорошо увязан с методом конечных разностей. Как известно, обыкновенное дифференциальное уравнение вида y′ = f(x,y), обладающее этом свойством, может быть преобразовано алгебраически заменой к уравнению Риккати. Схема Эйлера yn+1 = yn + f(xn,yn)Δx всегда задаёт (1,k)-соответствие между соседними слоями. В то же время точное решение уравнения Риккати задаёт (1,1)-соответствие между любыми слоями и поэтому мы можем написать схему, задающую (1,1)-соответствие между соседними слоями. В этом случае ангармоническое отношение четырёх точек не меняется от слоя до слоя не только для точного, но также и для приблизительного решения. Таким образом, если у точного решения имеется полюс, то приближенное решение проходит через бесконечность без накопления ошибки. В представленной статье это свойство (1,1)-схем будет проиллюстрировано двумя примерами: с и без решения в элементарных функциях. Таким образом, причина разрушения приближенного решения около полюса спрятана в саму схему Эйлера. В более общем случае, когда точное решение обыкновенного дифференциального уравнения зависит от постоянной интегрирования алгебраически, мы можем написать схему, которая задаёт (l,l)-корреспонденция между соседними слоями. Приближенное решение, найденное на этом пути, проходит через подвижные алгебраические особенности без накопления ошибки.

Рассмотрена трёхмерная модель взаимодействия популяций с учётом конкуренции и миграции видов. Для исследования модели использовано сочетание известных методов синтеза и анализа моделей и разработанного метода построения стохастических самосогласованных моделей. Получены условия существования состояний равновесия и выполнен анализ устойчивости. Предложены условия устойчивости на основе принципа редукции задачи об устойчивости решений дифференциального включения к задаче об устойчивости других типов уравнений. Указанный принцип предполагает переход от векторных обыкновенных дифференциальных уравнений к векторному дифференциальному включению и нечёткому дифференциальному уравнению, с учётом изменения параметров того или иного типа в исследуемых моделях. Для рассматриваемой модели популяционной динамики осуществлён синтез соответствующей стохастической модели на основе применения метода построения стохастических самосогласованных моделей. Описана структура стохастической модели, выписано уравнение Фоккера--Планка, сформулировано правило перехода к стохастическому дифференциальному уравнению в форме Ланжевена. Предложенный подход позволил провести сравнительный анализ качественных свойств моделей, учитывающих конкуренцию и миграцию видов, в детерминистическом и стохастическом случаях. Условия устойчивости могут быть использованы для изучения динамического поведения моделей популяционной динамики. Полученные результаты направлены на дальнейшее развитие методов построения и анализа устойчивости недетерминированных математических моделей естествознания.

В статье прослеживается эволюция гипотезы свободного блуждания, играющей выдающуюся роль во многих областях человеческого знания: в математике, молекулярной физике, гидро- и газодинамике, космологии, химии, биологии. Эта гипотеза является фундаментом, на котором в настоящее время базируется концепция эффективного рынка, источники многих современных теорий, а также методы анализа и прогнозирования финансовых рынков. Развитие гипотезы свободного блуждания привело в конце 90-х гг. прошлого века к появлению новой области знаний - эконофизики, научной дисциплины, возникшей на стыке экономики, физики и математики. Обсуждаются перспективные направления развития этой науки.

В классической механике понятие неголономности применяется, как правило, лишь к связям, наложенным на систему. При этом динамической системе с наложенной кинетической неголономной связью можно сопоставить векторное поле. Одной из характеристик такого поля является степень неголономности, которая определяет свойства геометрии данного поля. Однако использование этой характеристики в геометрии векторных полей ограничивалось полями в евклидовом пространстве. В данной статье предложено обобщение понятия степени неголономности на поля, определённые в неевклидовых пространствах. Для этого степень неголономности рассматривается как трёхлинейная форма. Коэффициенты этой формы, очевидно, связаны с компонентами метрического тензора пространства, в котором определённо векторное поле. Соответственно, обобщение метрического тензора на случай неевкидового пространства порождает обобщения коэффициентов трёхлинейной формы, которые, в свою очередь, обобщают понятие степени неголономности. В качестве примера в данной статье проводится анализ неголономности гамильтоновых векторных полей. Также ставится вопрос о возможности применения данного метода и о существовании механической трактовки полученных результатов.

В ноябре 2014 г. исполнилось 95 лет со дня рождения Абдельхака Сафиулловича Галиуллина, доктора технических наук, Заслуженного деятеля науки и техники Российской Федерации, Академика Международной Академии Высшей Школы, Почётного академика Академии наук Республики Татарстан. А.С. Галиуллин родился 26 ноября 1919 г. в деревне Старый Арнаш под старинным городом Арском. Учился А.С. Галиуллин в татарской средней школе № 13. В 1938 г. поступает учиться на физико-математический факультет Казанского государственного университета. С сентября 1941 по 1944 г. - слушатель Военно-воздушной инженерной академии имени Н.Е. Жуковского. В 1942 г. проходит фронтовую стажировку на Волховском фронте в качестве механика по вооружению. С 1946 по 1969 г. работает в Казанском авиационном институте. По совету научного руководителя Г. В. Каменкова ведёт исследовательскую работу в области теории устойчивости и управления. В 1950 г. защищает кандидатскую диссертацию. В 1958 г. состоялась защита его докторской диссертации. С 1961 по1964 г. А.С. Галиуллин - декан факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы и до 1988 г. - заведующий кафедрой теоретической механики. Организует работу научного семинара, первые научные конференции. Является председателем учёного совета по защите кандидатских и докторских диссертаций. Абдельхак Сафиуллович является известным учёным в области аналитической механики, теории устойчивости и управления движением. Им опубликовано более 90 научных работ, среди них 8 монографий и учебников, получивших признание. Результатом его исследований явились новые, нетрадиционные методы аналитической динамики, разделы, связанные с симметрией в динамике, с обобщениями гамильтоновой механики, системами Гельмгольца, Биркгофа и Намбу. А.С. Галиуллин скончался 17 апреля 1999 г.