№ 1 (2015)

В работе описывается общий метод, позволяющий с помощью непрерывных векторнозначных функций находить решения дифференциально-операторных уравнений определённого вида с переменными коэффициентами. Рассматриваемые уравнения включают в себя, как частный случай, дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциально-разностные и интегральные уравнения, а также другие функционально-операторные уравнения. Решения представляются равномерно сходящимися функциональными векторнозначными рядами, порождёнными набором решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка и некоторым набором элементов локально выпуклого пространства. Найдены достаточные условия непрерывной зависимости решений от порождающего набора. Также найдено решение задачи Коши для рассматриваемых уравнений и указаны условия его единственности. Кроме того, получено так называемое общее решение рассматриваемых уравнений (функция самого общего вида, из которой можно получить любое частное решение). Исследование проводится с помощью характеристик (порядка и типа) оператора, а также операторных характеристик (операторного порядка и операторного типа) вектора относительно оператора. Также в исследовании применяется сходимость операторных рядов относительно равностепенно непрерывной борнологии.

Традиционно средства геометрической оптики применяют для отыскания приближенных решений, соответствующих высокочастотному переделу, хотя известно, что, например, разрывы решений уравнений Максвелла распространяются тоже по закону Гюйгенса. В настоящей работе описывается класс точных решений уравнений Максвелла, для описания которых может быть все ещё употреблена геометрическая оптика. Рассмотрены решения уравнений Максвелла, с которыми можно связать ортогональную систему координат (x1,x2,x3) так, чтобы вектор ⃗E был направлен по ⃗e2, а вектор ⃗H - по ⃗e3. Найдены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты Ламе этой системы координат: μh1 не должен зависеть от x2 и x3, а логарифмические производные h1h3 h2 и μh1h2 h3 по x1 не должны зависеть от x2 и x3 соответственно. Первое условие означает, что x1-линиями служат лучи геометрической оптики, и это даёт повод называть такие системы координат лучевыми по аналогии с тем, как это принято в геометрической оптике. При этом само решение уравнений Максвелла может быть описано как волна, распространяющая вдоль луча, т.е. как решение двумерного гиперболического уравнения. Указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы с решением уравнений Максвелла можно было ассоциировать такую систему координат. Оказывается, что направления векторов ⃗E и ⃗H не должны меняться со временем, должны быть ортогональны друг другу и состоять в инволюции, то есть ⃗E × ⃗ H,rot ⃗E × ⃗ H = 0.

В работе предложена вычислительная схема решения задачи теплопроводности с периодической функцией источника в многослойной цилиндрической области. Область имеет нетривиальную геометрию и теплофизические коэффициенты являются нелинейными функциями, зависящими от температуры, и имеют разрывы первого рода на границах слоёв. Вычислительная схема основана на алгоритме решения разностной задачи с явно-неявной пространственно-временной аппроксимацией. Обсуждается реализация алгоритма на языке OpenCL для проведения расчётов на ГПУ, дано сравнение с вычислениями, выполненными на ЦПУ. Показано, что схема может быть успешно применена для моделирования тепловых процессов в импульсной криогенной камере, предназначенной для импульсной подачи рабочих газов в рабочую область ионного источника в миллисекундном диапазоне. Результаты приведены для моделирования конкретной структуры криогенной камеры, которая удовлетворяет требованиям для его практической реализации.

Решается задача управления динамикой системы, содержащей элементы различной физической природы. Используя известные динамические аналогии, процессы в сложной системе описываются уравнениями классической механики. Соответствующие дифференциально-алгебраические уравнения включают в себя уравнения динамики, уравнения связей и формулировку целей управления. Динамика системы описывается уравнениями Лагранжа или уравнениями в канонических переменных, содержащими неопределённые множители в правых частях. Задача определения множителей Лагранжа или управляющих функций, соответствующих уравнениям связей, сводится к построению множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы. Приводится определение устойчивости решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей. Для обеспечения асимптотической устойчивости и стабилизации связей при численном решении дифференциальных уравнений вводятся динамические показатели, учитывающие отклонения от уравнений связей. Строится расширенная система уравнений динамики, состоящая из уравнений динамики исходной системы и уравнений возмущений связей. Уравнения возмущений связей, построенные по модифицированным динамическим показателям, позволяют определить условия устойчивости и стабилизации связей. Приводятся условия стабилизации связей, соответствующие численному решению уравнений динамики методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Предлагается решение задачи стабилизации вертикального положения стержня, закреплённого шарнирно на тележке, совершающей прямолинейное движение. Управление осуществляется посредством действующей на тележку силы и момента, приложенного к стержню.